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第2讲　牛顿第二定律的基本应用
目标要求　1.掌握动力学两类基本问题的求解方法.2.会利用牛顿第二定律对超重、失重、瞬时加速度问题进行分析计算．
考点一　瞬时问题
1．两种模型
加速度与合外力具有因果关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失，当物体所受合外力发生变化时，加速度也随着发生变化，而物体运动的速度不能发生突变．
2．解题思路
→→→
例1　如图所示，两小球悬挂在天花板上，a、b两小球用细线连接，上面是一根轻质弹簧，a、b两球的质量分别为m和2m，在细线烧断瞬间，a、b两球的加速度分别为a1、a2，则(取竖直向下为正方向，重力加速度为g)(　　)
A．a1＝0，a2＝g
B．a1＝g，a2＝g
C．a1＝－2g，a2＝g
D．a1＝－g，a2＝0
答案　C
解析　烧断细线之前，a、b球整体受到重力和弹簧的弹力F静止，此时弹簧的弹力大小F＝3mg，在细线烧断瞬间，弹簧的弹力不变，细线的拉力消失，根据牛顿第二定律得：对a球， mg－F＝ma1，解得a1＝－2g，b球只受重力，故b球的加速度为a2＝g，故C正确，A、B、D错误．
例2　(2022·安徽省蚌埠第三中学月考)如图，A、B两球质量相等，光滑斜面的倾角为θ，图甲中，A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻质杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，则在突然撤去挡板的瞬间(重力加速度为g)(　　)
A．图甲中A球的加速度不为零
B．图乙中两球加速度均为gsin θ
C．图乙中轻杆的作用力一定不为零
D．图甲中B球的加速度是图乙中B球加速度的3倍
答案　B
解析　对于题图甲，突然撤去挡板的瞬间，由于A、B还没开始运动，故弹簧弹力不变，A仍处于平衡状态，加速度为0，对于B，所受合力等于板在时板的支持力，为2mgsin θ，由牛顿第二定律有2mgsin θ＝maB，可得B的加速度为aB＝2gsin θ；对于题图乙，突然撤去挡板的瞬间，A、B加速度相同，整体由牛顿第二定律有2mgsin θ＝2ma′，可得A、B的加速度均为a′＝gsin θ，设轻杆对A的作用力为F，对A由牛顿第二定律有mgsin θ＋F＝ma′，可知F＝0，故题图乙中轻杆的作用力一定为零，故选B.
剪断绳子或撤去外力后，两物体用轻杆连接，采用整体法，得出整体的加速度，再隔离单个物体分析；两物体用轻绳连接，可假设绳子有力(绳子绷直)采用先整体后隔离的方法，判断假设是否成立，从而得出正确的结论．
例3　如图所示，质量为m的小球被一根轻质橡皮筋AC和一根绳BC系住，当小球静止时，橡皮筋处在水平方向上．重力加速度为g，下列判断中正确的是(　　)
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力不变
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gsin θ
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gsin θ
答案　B
解析　设小球静止时BC绳的拉力为F，AC橡皮筋的拉力为FT，由平衡条件可得Fcos θ＝mg，Fsin θ＝FT，解得F＝，FT＝mgtan θ，在AC被突然剪断的瞬间，AC的拉力突变为零，BC上的拉力F突变为mgcos θ，重力垂直于绳BC的分量提供加速度，即mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，B正确，A错误；在BC被突然剪断的瞬间，橡皮筋AC的拉力不变，小球的合力大小与BC被剪断前拉力的大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度a＝，C、D错误．
考点二　超重和失重问题
1．超重
(1)定义：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的现象．
(2)产生条件：物体具有向上的加速度．
2．失重
(1)定义：物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的现象．
(2)产生条件：物体具有向下的加速度．
3．完全失重
(1)定义：物体对支持物(或悬挂物)完全没有作用力的现象称为完全失重现象．
(2)产生条件：物体的加速度a＝g，方向竖直向下．
4．实重和视重
(1)实重：物体实际所受的重力，它与物体的运动状态无关．
(2)视重：当物体在竖直方向上有加速度时，物体对弹簧测力计的拉力或对台秤的压力将不等于物体的重力．此时弹簧测力计的示数或台秤的示数即为视重．
1．加速度大小等于g的物体处于完全失重状态．(　×　)
2．减速上升的升降机内的物体，物体对地板的压力大于物体的重力．(　×　)
3．加速上升的物体处于超重状态．(　√　)
4．物体处于超重或失重状态时其重力并没有发生变化．(　√　)
5．根据物体处于超重或失重状态，可以判断物体运动的速度方向．(　×　)
1．判断超重和失重的方法
(1)从受力的角度判断
当物体所受向上的拉力(或支持力)大于重力时，物体处于超重状态；小于重力时，物体处于失重状态；等于零时，物体处于完全失重状态．
(2)从加速度的角度判断
当物体具有向上的(分)加速度时，物体处于超重状态；具有向下的(分)加速度时，物体处于失重状态；向下的加速度等于重力加速度时，物体处于完全失重状态．
2．对超重和失重现象的理解
(1)发生超重或失重现象时，物体所受的重力没有变化，只是压力(或拉力)变大或变小了(即“视重”变大或变小了)．
(2)在完全失重的状态下，一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如天平失效、浸在水中的物体不再受浮力作用、液柱不再产生压强等．
考向1　超、失重现象的图像问题
例4　一名乘客乘坐竖直电梯上楼，其位移x与时间t的图像如图所示，其中t1到t2时间段图像为直线．则以下说法正确的是(　　)
A．t1～t2时间内，乘客的速度一直增大
B．t2～t3时间内，乘客的速度一直增大
C．t1～t2时间内，乘客对电梯的压力大于乘客重力
D．t2～t3时间内，乘客对电梯的压力小于乘客重力
答案　D
解析　根据x－t图像的斜率表示速度可知，0～t1时间内v增大，t2～t3时间内v减小，t1～t2时间内v不变，故A、B错误；t1～t2时间内，乘客匀速运动，FN＝mg；t2～t3时间内，速度逐渐减小，加速度向下，处于失重状态，则FN例5　蹦床属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称．某次比赛过程中，一运动员做蹦床运动时，利用力传感器测得运动员所受蹦床弹力F随时间t的变化图像如图所示．若运动员仅在竖直方向运动，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2.依据图像给出的信息，下列说法不正确的是(　　)
A．运动员的质量为60 kg
B．运动员的最大加速度为45 m/s2
C．运动员离开蹦床后上升的最大高度为5 m
D．9.3 s至10.1 s内，运动员一直处于超重状态
答案　D
解析　由题图所给信息可知，开始时运动员静止在蹦床上，所受弹力与重力大小相等，即mg＝600 N，解得运动员的质量m＝60 kg，选项A正确；在蹦床上时受到的最大弹力Fm＝3 300 N，最大加速度am＝＝45 m/s2，选项B正确；运动员离开蹦床后在空中运动的时间t＝2 s，上升和下落的时间均为1 s，则最大高度为h＝gt2＝5 m，选项C正确；9.3 s至10.1 s内，运动员先失重、后超重、再失重，D错误．
考向2　超、失重现象的分析和计算
例6　(2022·安徽六安一中高三月考)如图所示，在女子10 m跳台的决赛中，全红婵竖直向上跳离跳台的速度为5 m/s，竖直入水后到速度减为零过程的运动时间与空中运动时间相等，假设所受水的阻力恒定，不计空气阻力，全红婵的体重为35 kg，重力加速度大小为g＝10 m/s2，则(　　)
A．全红婵在空中运动的时间为1.5 s
B．入水后全红婵受到水的阻力为612.5 N
C．入水后全红婵处于失重状态
D．跳离跳台后上升阶段全红婵处于超重状态
答案　B
解析　取向上为正方向，则根据－h＝v0t－gt2
即－10＝5t－×10t2
解得t＝2 s
即全红婵在空中运动的时间为2 s，选项A错误；
入水时的速度v1＝v0－gt＝(5－10×2) m/s＝－15 m/s
在水中的加速度a＝＝7.5 m/s2
根据牛顿第二定律可知Ff＝mg＋ma＝612.5 N，
选项B正确；
入水后全红婵的加速度向上，处于超重状态，选项C错误；
跳离跳台后上升阶段，加速度向下，则全红婵处于失重状态，选项D错误．
考点三　动力学两类基本问题
1．动力学问题的解题思路
2．解题关键
(1)两类分析——物体的受力分析和物体的运动过程分析；
(2)两个桥梁——加速度是联系运动和力的桥梁；连接点速度是联系各物理过程的桥梁．
考向1　已知受力求运动情况
例7　如图所示，光滑斜面AB与一粗糙水平面BC连接，斜面倾角θ＝30°，质量m＝2 kg的物体置于水平面上的D点，DB间的距离d＝7 m，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，将一水平向左的恒力F＝8 N作用在该物体上，t＝2 s后撤去该力，不考虑物体经过B点时的速度损失．求撤去拉力F后，经过多长时间物体经过B点？(g取10 m/s2)
答案　1 s和1.8 s
解析　撤去F前，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1，
解得a1＝2 m/s2，
由匀变速直线运动规律得x1＝a1t2＝4 m，
v1＝a1t＝4 m/s，
撤去F后，
由牛顿第二定律得μmg＝ma2，
解得a2＝μg＝2 m/s2，
d－x1＝v1t1－a2t12，
解得第一次到达B点的时间t1＝1 s，或t1′＝3 s(舍去)，
第一次到达B点时的速度v2＝v1－a2t1＝2 m/s，
之后物体滑上斜面，由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma3，
解得a3＝gsin θ＝5 m/s2，
物体再经t2＝2＝0.8 s第二次到达B点，
故撤去拉力F后，经过1 s和1.8 s时间物体经过B点．
例8　如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心．每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间．下列关系不正确的是(　　)
A．t1＝t2 B．t2>t3
C．t1答案　A
解析　设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故A错误，B、C、D正确．
等时圆模型
1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如图甲所示；
2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示 ；
3．两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．
考向2　已知运动情况求受力
例9　2020年12月，嫦娥五号成功将采集的月球土壤样品送回地球．探测器在取样过程中，部分土壤采用了钻具钻取的方式采集，并沿竖直方向运送到月球表面．嫦娥五号所配备的钻杆具有独特的空心结构，具有收集土壤的作用，假设采集时钻杆头部深入月表h＝2 m深处，已采集到m＝500 g此深处的月壤，从静止开始竖直向上回收，15 s后钻杆头部上升至月球表面，速度恰好为零，此过程可简化成匀加速、匀速、匀减速三个阶段，上升最大速度是v＝20 cm/s，已知月球表面的重力加速度为1.63 m/s2，求：
(1)上升过程中匀速运动的时间t；
(2)若上述过程中匀加速和匀减速阶段加速度的大小相同，求三个阶段钻杆对采样月壤的作用力F的大小(保留三位有效数字)．
答案　(1)5 s　(2)见解析
解析　(1)设匀速运动时间为t，总时间为t总，
则有h＝vt＋v(t总－t)
代入数据得t＝5 s
(2)设匀加速阶段加速度大小为a加，匀减速阶段加速度大小为a减，a加＝a减
匀加速时间为t加，匀减速时间为t减，
则t加＝t减＝t′＝5 s，
a加＝a减＝＝0.04 m/s2
匀加速上升时有FN1－mg＝ma加
解得FN1＝0.835 N
匀速上升时有FN2＝mg＝0.815 N
匀减速上升时有mg－FN3＝ma减
解得FN3＝0.795 N.
课时精练
1.如图所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度上抛(不计空气阻力)．下列说法正确的是(　　)
A．在上升和下降过程中A对B的压力一定为零
B．上升过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A对B的压力等于A物体受到的重力
答案　A
解析　以A、B整体为研究对象：在上升和下降过程中仅受重力，由牛顿第二定律知加速度大小为g，方向竖直向下．再以A为研究对象：因加速度大小为g，方向竖直向下，由牛顿第二定律知A所受合力为A的重力，所以A仅受重力作用，即A和B之间没有作用力，故选A.
2．生活中经常测量体重．测量者在体重计上保持静止状态，体重计的示数即为测量者的体重，如图甲所示．现应用体重计研究运动与力的关系，测量者先静止站在体重计上，然后完成下蹲动作．该过程中体重计示数的变化情况如图乙所示．对此，下列说法正确的是(　　)
A．测量者的重心经历了加速、减速、再加速、再减速四个运动阶段
B．测量者的重心在t3时刻速度最小
C．测量者的重心在t4时刻加速度最大
D．测量者在t1～t2时间内表现为超重
答案　C
解析　在t1～t3阶段，示数小于重力，测量者在加速向下运动，在t3～t5阶段，示数大于重力，测量者在减速向下运动，所以测量者经历了加速和减速两个运动阶段，A错误；根据选项A可知，测量者的重心在t3时刻速度最大，B错误；t4时刻示数与重力相差最大，根据牛顿第二定律，加速度最大，C正确；测量者在t1～t2时间内示数小于重力，处于失重状态，D错误．
3．(2022·江苏扬州市高三模拟)如图所示，质量为0.5 kg的物块A悬挂在弹簧测力计下方，木板B托住物块A使整个装置静止，此时测力计的示数为3.0 N，重力加速度g＝10 m/s2.现使木板B以5 m/s2的加速度向下运动，木板B开始运动的瞬间，物块A的加速度大小为(　　)
A．0 B．4 m/s2
C．5 m/s2 D．6 m/s2
答案　B
解析　木板B开始运动的瞬间，物块A受到的合力大小为F＝mg－F′＝2 N
由牛顿第二定律可得物块A的加速度大小为a＝＝4 m/s2
故选B.
4．为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是(　　)
答案　C
解析　设屋檐的底角为θ，底边长为2L(不变)．雨滴做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得加速度a＝＝gsin θ，位移大小x＝at2，而x＝，联立以上各式得t＝.当θ＝45°时，sin 2θ＝1为最大值，时间t最短，故选项C正确．
5．如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为m＝0.2 kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，其速度v和弹簧压缩量Δx之间的函数图像如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g＝10 m/s2，则下列说法不正确的是(　　)
A．小球刚接触弹簧时速度最大
B．当Δx＝0.3 m时，小球处于超重状态
C．该弹簧的劲度系数为20.0 N/m
D．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的加速度先减小后增大
答案　A
解析　由小球的速度图像知，开始小球的速度增大，说明小球的重力大于弹簧对它的弹力，当Δx1＝0.1 m时，小球的速度最大，说明当Δx1＝0.1 m时，小球的重力等于弹簧对它的弹力，所以可得kΔx1＝mg，解得k＝20.0 N/m，A错误，C正确；弹簧的压缩量为Δx2＝0.3 m时，弹簧弹力为F＝20.0 N/m×0.3 m＝6 N > mg，故此时小球的加速度向上，小球处于超重状态，B正确；对小球进行受力分析可知，其合力由mg逐渐减小至零，然后反向增加，故小球的加速度先减小后增大，D正确．
6.如图所示，一根弹簧一端固定在左侧竖直墙上，另一端连着A小球，同时水平细线一端连着A球，另一端固定在右侧竖直墙上，弹簧与竖直方向的夹角是60°，A、B两小球分别连在另一根竖直弹簧两端．开始时A、B两球都静止不动，A、B两小球的质量相等，重力加速度为g，若不计弹簧质量，在水平细线被剪断瞬间，A、B两球的加速度分别为(　　)
A．aA＝aB＝g B．aA＝2g，aB＝0
C．aA＝g，aB＝0 D．aA＝2g，aB＝0
答案　D
解析　水平细线被剪断前，对A、B进行受力分析如图所示：
静止时，FT＝Fsin 60°，Fcos 60°＝mAg＋F1，F1＝F1′＝mBg，又mA＝mB
解得FT＝2mAg
水平细线被剪断瞬间，FT消失，其他各力不变，A所受合力与FT等大反向，所以aA＝＝2g，aB＝0，D正确．
7.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内．现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　)
A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB>tCD>tEF
C．tAB答案　B
解析　如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确．
8．如图甲所示，物块的质量m＝1 kg，初速度v0＝10 m/s，在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻F突然反向，大小不变，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，g＝10 m/s2.下列说法中不正确的是(　　)
A．0～5 m内物块做匀减速运动
B．在t＝1 s时刻，恒力F反向
C．恒力F大小为10 N
D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
答案　C
解析　0～5 m内，由v12－v02＝2a1x1，得v12＝2a1x1＋v02，由题图乙知，2a1＝－20 m/s2，则a1＝－10 m/s2，物块做匀减速运动，A正确；由题图乙知，物块的初速度v0＝10 m/s，恒力F在5 m处反向，在0～5 m内物块运动的时间t＝＝1 s，即在t＝1 s时刻，恒力F反向，B正确；5～13 m内，由v22＝2a2x2得物块的加速度a2＝＝ m/s2＝4 m/s2，由牛顿第二定律得－F－μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，联立两式解得F＝7 N，μ＝0.3，D正确，C错误．
9．(2018·浙江4月选考·19)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏．如图所示，有一企鹅在倾角为37°的倾斜冰面上，先以加速度a＝0.5 m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t＝8 s时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前滑行，最后退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)．若企鹅肚皮与冰面间的动摩擦因数μ＝0.25，已知sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小；
(2)企鹅在冰面滑动的加速度大小；
(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小．(计算结果可用根式表示)
答案　(1)16 m　(2)8 m/s2　4 m/s2　(3)2 m/s
解析　(1)在企鹅向上“奔跑”过程中：x＝at2，
解得x＝16 m.
(2)在企鹅卧倒以后将进行两个过程的运动，第一个过程是从卧倒到最高点，第二个过程是从最高点滑到出发点，两次过程根据牛顿第二定律分别有：
mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma1
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2
解得：a1＝8 m/s2，a2＝4 m/s2.
(3)企鹅从卧倒到滑到最高点的过程中，做匀减速直线运动，设时间为t′，位移大小为x′，则有t′＝，x′＝a1t′2，
解得：x′＝1 m.
企鹅从最高点滑到出发点的过程中，设末速度为vt，则有：
vt2＝2a2(x＋x′)
解得：vt＝2 m/s.
10．(2019·浙江4月选考·12)如图所示，A、B、C为三个实心小球，A为铁球，B、C为木球．A、B两球分别连接在两根弹簧上，C球连接在细线一端，弹簧和细线的下端固定在装水的杯子底部，该水杯置于用绳子悬挂的静止吊篮内．若将挂吊篮的绳子剪断，则剪断的瞬间相对于杯底(不计空气阻力，ρ木<ρ水<ρ铁)(　　)
A．A球将向上运动，B、C球将向下运动
B．A、B球将向上运动，C球不动
C．A球将向下运动，B球将向上运动，C球不动
D．A球将向上运动，B球将向下运动，C球不动
答案　D
解析　剪断绳子之前，A球受力分析如图甲所示，B球受力分析如图乙所示，C球受力分析如图丙所示．剪断绳子瞬间，水处于完全失重状态，水的浮力消失．又由于弹簧的形状来不及发生改变，弹簧的弹力大小不变，相对地面而言，A球的加速度aA＝g，方向竖直向下，其相对杯子的加速度方向竖直向下．绳子剪断瞬间，C球所受的浮力消失，其瞬时加速度与杯子的相同，故相对杯子静止，综上所述，D正确．

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