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2021·山东卷·T11　抛体运动 2021·山东卷·T16　抛体运动 2021·浙江1月选考·T9　抛体运动 2021·浙江6月选考·T7　圆周运动 2021·江苏卷·T9　抛体运动 2020·山东卷·T16　抛体运动 2020·浙江7月选考·T2　 圆周运动 2020·江苏卷·T8 　抛体运动 2019·浙江4月选考·T17　实验：探究平抛运动的特点 2017·浙江4月选考·T17　实验：探究平抛运动的特点 　　本章主要考查曲线运动的一般处理方法——合成与分解，以及用该方法分析平抛运动和圆周运动两种特殊的曲线运动．本章的内容多以生产生活中的曲线运动为素材，密切联系实际，以选择题或计算题的形式出现，高、中、低档难度都有可能，体现了模型建构、方法优选和方法迁移运用，考查考生的模型建构能力、推理论证能力、分析综合能力、信息加工能力．曲线运动问题属于动力学问题，解决问题的主线是受力分析和运动分析，基本方法是分解法.
试题 情境 生活实践类：生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类：小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的细绳、细杆模型
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法．
考点一　曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3．做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上．
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动．(　×　)
2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力．(　×　)
3．做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．(　√　)
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3．速率变化的判断
例1　如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线匀速运动．在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．乒乓球将保持原有的动能继续前进
B．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
C．乒乓球将偏离原来的运动方向，但不会进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案　C
解析　当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，兵乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原有的速度的合速度方向斜向左下方，因此，乒乓球将偏离原来的运动方向，向左下方运动，不会进入纸筒．故选C.
例2　物体沿轨迹从M点向N点做减速圆周运动的过程中其所受合力方向可能是下列图中的(　　)
答案　C
解析　物体从M点向N点做曲线运动，合力方向指向轨迹的凹侧，故A、D错误；物体速度方向沿轨迹的切线，物体减速，合力方向与速度方向成钝角，故C正确，B错误．
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法．
4．合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
1．合运动的速度一定比分运动的速度大．(　×　)
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．(　×　)
3．分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则．(　√　)
1．运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考向1　合运动与分运动的关系
例3　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案　C
解析　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误．
考向2　两互成角度运动合运动性质的判断
例4　如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是(　　)
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
答案　C
解析　在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
考点三　小船渡河模型
两类问题，三种情景
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船 cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船考向1　渡河时间问题
例5　如图所示，两次渡河时船相对于静水的速度大小和方向都不变．已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1，由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2，则(　　)
A．t2>t1，v2＝
B．t2>t1，v2＝
C．t2＝t1，v2＝
D．t2＝t1，v2＝
答案　C
解析　设河宽为d，船相对于静水的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，船垂直河岸的分速度为vsin θ，过河时间t＝，则t1＝t2；对两次的合运动，过河时间相等，则有＝，解得v2＝，故选C.
考向2　最短位移渡河问题
例6　如图所示，小船自A点渡河，航行方向与上游河岸夹角为α时，能到达正对岸B点．现在水流速度变大，仍要使船到达正对岸B点，下列可行的办法是(　　)
A．航行方向不变，船速变大
B．航行方向不变，船速变小
C．船速不变，增大船与上游河岸的夹角α
D．无论如何改变，船都无法到达B点
答案　A
解析　设船速为v1，水流速度为v2.把船速沿河岸方向与垂直于河岸方向正交分解，则当
v1cos α＝v2时，就能保证船到达正对岸B点，由此可见，当水流速度v2变大时，若α不变，可增大v1，若v1不变，可减小α，均可使船到达正对岸B点，故选项A正确．
考向3　水速大于船速渡河问题
例7　唐僧、悟空、八戒、沙僧师徒四人想划船渡过一条宽200 m的河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观测到河水的流速为5 m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是(　　)
A．唐僧说：我们要想到达正对岸就得使船头朝向正对岸
B．悟空说：我们要想到达正对岸船头必须朝向上游划船
C．八戒说：我们要想走最少的路就得朝着正对岸划船
D．沙僧说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的
答案　D
解析　由于水速大于船速，无论怎么划船，都无法到达正对岸，A、B错误，D正确；v船考点四　绳(杆)速度分解模型
1．模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上．
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
考向1　绳端关联速度的分解
例8　如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是(　　)
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案　B
解析　汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M的重力，故选项A错误，B正确．
例9　A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cos α②
由于对应同一根绳，故v绳B＝v绳A③
联立①②③式解得vB＝，选项D正确．
考向2　杆端关联速度的分解
例10　曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
答案　A
解析　当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cos θ＝vcos θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误．
课时精练
1．一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力大小和方向均不变．关于该物体此后的运动，下列说法正确的是(　　)
A．不可能做圆周运动
B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
答案　A
解析　若撤去两个力后，保持第三个力大小和方向均不变，而圆周运动合力是变力，所以不可能做圆周运动，故A正确，B错误；若撤去两个力后，物体受到的第三个力与速度的方向相同，则物体做匀加速直线运动；若撤去两个力后，物体受到的第三个力与速度的方向相反，则物体做匀减速直线运动；当第三个力与速度不共线时，物体做曲线运动，由于第三个力恒定，故加速度恒定，即物体做匀变速曲线运动，故C、D错误．
2.如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向．已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是(　　)
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率先减小后增大
答案　C
解析　物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率大于B点的速率，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，夹角一直变小，物体的速率先减小后增大，故选项D错误．
3.如图所示，一热气球在匀加速竖直向上运动的同时随着水平气流向右匀速运动，若设竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，则热气球实际运动的轨迹可能是(　　)
答案　B
解析　气球水平向右做匀速运动，竖直向上做匀加速运动，则合加速度竖直向上，所受合力竖直向上，轨迹向上弯曲，故选B.
4.(2021·湖南省1月适应性考试·2)有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示．一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)．不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球下落时间与小球质量m有关
B．小球下落时间与小球初速度v有关
C．小球下落时间与水井井口直径d有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
答案　D
解析　根据分运动的独立性，小球在竖直方向的运动为自由落体运动，由h＝gt2知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差h有关，D项正确．
5．如图是某船采用甲、乙、丙三种过河方式的示意图(河宽相同)．船在静水中的速度v0不变，河中各处的水流速度v1不变，图中小船尖端指向为船头方向．下列判断正确的是(　　)
A．由甲图可判断出v0B．乙图过河方式过河时间最短
C．丙图过河方式过河速度最小
D．甲、丙图过河方式过河时间不可能相同
答案　B
解析　设题图甲中的小船船头方向与上游成θ角，由于合速度垂直河岸，故有v0cos θ＝v1，解得v0>v1，选项A错误；当船头垂直河岸过河时，其过河时间最短，B正确；由于题图丙中的小船船头指向与水速成锐角，其合速度是这三种情况中最大的，故C错误；若题图甲、丙中的船头方向与垂直河岸方向的夹角相等(船沿垂直河岸方向的分速度相同)，则它们过河时间就相同，故D错误．
6.质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g.当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A．P的速率为v
B．P的速率为vcos θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1
D．绳的拉力小于mgsin θ1
答案　B
解析　将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率vP＝v1＝vcos θ2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误．
7．民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d.要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，不计空气阻力，则(　　)
A．运动员放箭处离目标的距离为
B．运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
答案　C
解析　要想命中目标且使箭在空中飞行的时间最短，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C正确，D错误；运动员放箭处离目标的距离为，
又x＝v1t＝v1·，
故＝ ＝，A、B错误．
8.如图所示，从广州飞往上海的航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在开始降落时的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前(　　)
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
答案　D
解析　由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末水平方向的分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移大小x＝(v0xt20－axt202)－(v0xt19－axt192)＝21 m，竖直位移大小y＝(v0yt20－ayt202)－(v0yt19－ayt192)＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确．
9.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
答案　C
解析　将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为v1∥＝v1cos θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故选C.
10.某次抗洪抢险中，必须用小船将物资送至河流对岸．如图所示，A处的下游靠河岸处有个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为30°，若河流中水流的速度大小恒为2 m/s，为使小船从A点以恒定的速度安全到达对岸，则小船在静水中航行时速度的最小值为(　　)
A．0.5 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．4 m/s
答案　B
解析　如图所示，当小船在静水中的速度v2与其在河流中的速度v垂直时，小船在静水中的速度v2最小，则最小值为v1sin 30°＝1 m/s，A、C、D错误，B正确．
11．一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是(　　)
A．船渡河的最短时间是25 s
B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
答案　C
解析　船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝ s＝20 s，故A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，故B错误；船在最短时间内渡河，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝0到x＝50 m之间均匀增加，则a1＝ m/s2＝0.4 m/s2，同理x＝50 m到x＝100 m之间a2＝ m/s2＝－0.4 m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2，故C正确；船在河水中的最大速度为v＝ m/s＝ m/s，故D错误．
12．(2019·全国卷Ⅱ·19改编)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则(　　)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的小
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案　D
解析　根据v－t图线与t轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间长，由a＝可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B错误；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确．

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