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考情解读 备考指导
2021·山东卷·T5 　万有引力定律 2021·湖南卷·T7　人造卫星　宇宙速度 2021·河北卷·T4　人造卫星 2021·浙江1月选考·T7　人造卫星 2020·山东卷·T7　万有引力定律 2020·浙江1月选考·T9　人造卫星 2020·天津卷·T2　人造卫星 　　万有引力定律与航天模型是每年高考的必考内容，全部以选择题的形式出现，命题情境突出物理与现代科技的联系，试题与航天技术的联系非常密切，也经常考查万有引力和重力的关系以及天体的绕行，以卫星、飞船等生活实践问题和学习探索问题为命题情境，多为基础性的题目，一般为中等难度，考查热点仍然是重力和万有引力的联系、计算中心天体质量和密度、卫星稳定运行中的各个运动参量与轨道半径的关系、卫星变轨问题、同步卫星与双星等问题．复习时注意开普勒定律以及万有引力定律的应用，熟练掌握这两条研究天体运动的基本思路．卫星天体的绕行及变轨问题也是复习的重点．要多关注我国航空航天技术发展的最新成果，重点培养考生的模型建构能力、推理论证能力，培养考生的运算能力和估算能力，掌握运用比例法分析问题的技巧.
试题情境 生活实践类：地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类：开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
第1讲　万有引力定律及应用
目标要求　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一　开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．(　√　)
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．(　×　)
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1　如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式错误的有(　　)
A．TA>TB B．EkAC．SA＝SB D.＝
答案　C
解析　根据开普勒第三定律知，A、D正确；由＝和Ek＝mv2可得Ek＝，因RA>RB，mA＝mB，则EkA例2　某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若行星运动周期为T，则该行星(　　)
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>
D．c到d的时间tcd>
答案　D
解析　据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为，可得tab＝tda<；tbc＝tcd>，C错误，D正确．
例3　(2021·安徽六安市示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　)
A．8年 B．6年 C．4年 D．2年
答案　A
解析　由开普勒第三定律得：＝，解得T1＝8年，选项A正确．
考点二　万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
1．只有天体之间才存在万有引力．(　×　)
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力．(　×　)
3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．(　√　)
4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(　×　)
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
考向1　万有引力定律的理解和简单计算
例4　(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
答案　D
解析　在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝G，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
考向2　不同天体表面引力的比较与计算
例5　(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案　B
解析　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确．
考向3　重力和万有引力的关系
例6　一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案　C
解析　在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝ m/s2＝，因为G＝g′，可得r＝4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍，选C.
例7　某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　在“极点”处：mg2＝；在其表面“赤道”处：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故选C.
考向4　地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
例8　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
答案　A
解析　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，
故mg＝G，又M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝πρG(R－d)，联立解得＝1－，A正确．
考点三　天体质量和密度的计算
应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
(2)利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考向1　利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
例9　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝
(2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月
得月球的质量M＝
(3)月球的密度ρ＝＝＝.
考向2　利用“环绕法”计算天体质量和密度
例10　2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通．其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．该卫星运动的线速度为
B．地球的质量为
C．地球的质量为
D．地球的密度为
答案　C
解析　根据圆周运动的规律可知，卫星运动的线速度v＝，故A错误；在地球表面，质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，即mg＝，解得地球的质量M＝，故B错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，解得地球的质量M＝，故C正确；地球的密度为ρ＝＝＝，故D错误．
例11　(2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为
1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　)
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
答案　B
课时精练
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案　C
解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．
2.如图所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功．下列判断正确的是(　　)
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，火星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，火星的加速度aN>aP
答案　B
解析　已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误；根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以火星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，所以S1＞S2，故B正确；已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkM＜EkN，故C错误；根据万有引力公式得火星在N处受到的引力小于在P处受到的引力，根据牛顿第二定律得aN＜aP，故D错误．
3．2020年7月23日，我国第一个火星探测器“天问一号”成功升空，飞行约7个月抵达火星，已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，则火星表面的重力加速度为(　　)
A．0.2g B．0.4g C．2g D．4g
答案　B
解析　根据地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力，有G＝mg得g＝；同理，火星表面的重力加速度为g′＝＝＝0.4×＝0.4g，故选B.
4．(2017·北京卷·17)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案　D
解析　因为不考虑地球的自转，所以地球表面物体所受的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以根据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以根据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以根据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r0，得M太＝，所以根据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D.
5．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　)
A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
答案　D
解析　设小球的初速度为v0，由对称性可知在地球表面竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，在某星球同理，因此得＝＝，选项A、B错误；在地球表面由G＝mg得M地＝，在某星球同理，则＝＝×2＝，选项C错误，D正确．
6.(2018·浙江4月选考·9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A．5×1017 kg
B．5×1026 kg
C．7×1033 kg
D．4×1036 kg
答案　B
解析　根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，
则G＝m2r，化简得到M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B.
7．假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知：
G＝mg
对绕火星表面做匀速圆周运动的物体有：
＝m()2R1
结合两个公式可解得：M火＝，故A对．
8．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，不考虑气体阻力．由此可知，该行星的半径约为(　　)
A.R B.R
C．2R D.R
答案　C
解析　由平抛运动规律：x＝v0t，h＝gt2，得x＝v0，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故＝；由G＝mg，可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，选项C正确．
9．(2020·山东卷·7改编)质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m B．m
C．m D．m
答案　B
解析　着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a＝.在天体表面附近，有mg＝G，则＝·()2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有F－mg火＝ma，则制动力F＝m(0.4g＋)，选项B正确．
10．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　)
A．g0小于g
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为ω＝
D．地球的平均密度为
答案　C
解析　设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝G，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误．
11．(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案　C
解析　忽略火星自转，设火星半径为R，
则火星表面处有＝mg①
可知GM＝gR2
设与周期为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知
＝mr②
设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1③
设远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2④
由开普勒第三定律可知＝⑤
联立①②③④⑤可得d2≈6×107 m，故选C.
12．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G.由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝
πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．

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