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专题强化九　动能定理在多过程问题中的应用
目标要求　1.会用动能定理解决多过程、多阶段的问题.2.掌握动能定理在往复运动问题中的应用．
题型一　动能定理在多过程问题中的应用
1．运用动能定理解决多过程问题，有两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破．
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算．
2．全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．
例1　(2021·全国甲卷·20改编)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动．该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为.已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g.则(　　)
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
答案　C
解析　物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
－μmg·2lcos α＝－Ek，
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
－mglsin α－μmglcos α＝0－Ek，
整理得l＝，μ＝0.5，A错误，C正确；
物体向下滑动时根据牛顿第二定律有
ma下＝mgsin α－μmgcos α，
解得a下＝，B错误；
物体向上滑动时根据牛顿第二定律有
ma上＝mgsin α＋μmgcos α，解得a上＝g，
故a上>a下，
由于上滑过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据位移公式l＝at2，
则可得出t上例2　如图所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，右端与静止在O点质量为m＝1 kg的小物块接触而不连接，此时弹簧无形变．现对小物块施加F＝10 N的水平向左的恒力，使其由静止开始向左运动．小物块在向左运动到A点前某处速度最大时，弹簧的弹力为6 N，运动到A点时撤去推力F，小物块最终运动到B点静止．图中OA＝0.8 m，OB＝0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2.求小物块：
(1)与桌面间的动摩擦因数μ；
(2)向右运动过程中经过O点的速度大小；
(3)向左运动的过程中弹簧的最大压缩量．
答案　(1)0.4　(2)1.26 m/s　(3)0.9 m
解析　(1)小物块速度达到最大时，加速度为零．
F－μmg－F弹＝0，μ＝＝0.4.
(2)设向右运动通过O点时的速度为v0，
从O→B，由动能定理得－FfxOB＝0－mvO2，Ff＝μmg＝4 N，
解得vO＝ m/s≈1.26 m/s.
(3)弹簧最大压缩量为xmax，对小物块运动的全过程，根据动能定理得
FxOA－Ff(2xmax＋xOB)＝0，
代入数值得xmax＝0.9 m.
例3　如图甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙所示的模型．倾角为45°的直轨道AB、半径R＝10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C′E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离l＝40 m．现有质量m＝500 kg的过山车，从高h＝40 m处的A点由静止下滑，经BCDC′EF最终停在G点．过山车与轨道AB、EF间的动摩擦因数均为μ1＝0.2，与减速直轨道FG间的动摩擦因数μ2＝0.75，其他部分光滑．过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，g取10 m/s2.求：
(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小；
(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小；
(3)减速直轨道FG的长度x.(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)8 m/s　(2)7×103 N　(3)30 m
解析　(1)设过山车在C点的速度大小为vC，由动能定理得mgh－μ1mgcos 45°·＝
mvC2①
代入数据得vC＝8 m/s②
(2)设过山车在D点速度大小为vD，由动能定理得
mg(h－2R)－μ1mgcos 45°·＝mvD2③
F＋mg＝m，④
联立③④解得F＝7×103 N⑤
由牛顿第三定律知，过山车在D点对轨道的作用力大小为7×103 N
(3)全程应用动能定理
mg[h－(l－x)tan 37°]－μ1mgcos 45°·－μ1mgcos 37°·－μ2mgx＝0⑥
解得x＝30 m．⑦
题型二　动能定理在往复运动问题中的应用
1．往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．
2．解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化．
例4　如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圆心O与A、D点在同一高度，θ＝37°，圆弧面的半径R＝3.6 m，一滑块质量m＝5 kg，与AB斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块从A点由静止释放(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)．求在此后的运动过程中：
(1)滑块在AB段上运动的总路程；
(2)在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值和最小值．
答案　(1)8 m　(2)102 N　70 N
解析　(1)由题意可知斜面AB与水平面的夹角为θ＝37°，
知mgsin θ>μmgcos θ，
故滑块最终不会停留在斜面上，
由于滑块在AB段受摩擦力作用，
则滑块做往复运动的高度将越来越低，
最终以B点为最高点在光滑的圆弧面上做往复运动．
设滑块在AB段上运动的总路程为s，
滑块在AB段上所受摩擦力大小Ff＝μFN＝μmgcos θ，
从A点出发到最终以B点为最高点做往复运动，
由动能定理得mgRcos θ－Ffs＝0，解得s＝8 m.
(2)滑块第一次过C点时，速度最大，设为v1，此时滑块所受轨道支持力最大，设为Fmax，
从A到C的过程，由动能定理得mgR－FflAB＝mv12－0，
斜面AB的长度lAB＝，
由牛顿第二定律得Fmax－mg＝，
解得Fmax＝102 N.
滑块以B为最高点做往复运动的过程中过C点时，速度最小，设为v2，此时滑块所受轨道支持力最小，设为Fmin，从B到C，
由动能定理得mgR(1－cos θ)＝mv22－0，
由牛顿第二定律得Fmin－mg＝，
解得Fmin＝70 N，
根据牛顿第三定律可知C点受到的压力最大值为102 N，最小值为70 N.
例5　(2021·湖北省1月选考模拟·7)如图所示，两倾角均为θ的光滑斜面对接后固定在水平地面上，O点为斜面的最低点．一个小物块从右侧斜面上高为H处由静止滑下，在两个斜面上做往复运动．小物块每次通过O点时都会有动能损失，损失的动能为小物块当次到达O点时动能的5%.小物块从开始下滑到停止的过程中运动的总路程为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知，小物块第一次到达O点由动能定理可得mgH＝Ek，此时小物块所走路程s1＝，第一次通过O点后动能Ek1＝95%Ek＝95%mgH，此时利用动能定理知小物块上升高度H1＝95%H，第二次到达O点所走的路程s2＝＝95%，同理第二次离开O点到第三次到达O点所走路程s3＝(95%)2，…，故小物块所走的总路程s总＝s1＋s2＋…sn＝＋95%＋(95%)2＋…(95%)n－1，n无穷大时，可得s总＝(等比数列求和)，故B正确．
课时精练
1.如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定在AB杆上，杆长L＝1 m，半圆与水平方向相切于B点，半径R＝0.5 m，距其右侧一定水平距离处固定一个斜面体．斜面C端离地高度h＝0.8 m，E端固定一轻弹簧，弹簧原长为DE，DE＝0.375 m，斜面CD段粗糙而DE段光滑．现将一质量为1 kg的物块(可看作质点)从圆轨道某处静止释放，离开最低点B后恰能落到斜面顶端C处，且速度方向恰好平行于斜面，物块沿斜面下滑压缩弹簧后又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点C.斜面倾角θ＝53°，重力加速度g＝10 m/s2.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)物块运动到B点时对轨道的压力大小；
(2)物块在粗糙斜面CD段上能滑行的总路程s.
答案　(1)14.5 N　(2)3.25 m
解析　(1)物块从B到C做平抛运动，则有vy2＝2g(L－h)
在C点时有tan θ＝
代入数据解得vB＝1.5 m/s
在B点对物块进行受力分析得F－mg＝m
解得F＝14.5 N
根据牛顿第三定律知物块对轨道的压力大小F′＝F＝14.5 N
(2)物块在C点的速度为vC＝＝2.5 m/s
物块从C点下滑到返回C点的过程，根据动能定理得
－μmgcos θ×2xCD＝0－mvC2
xCE＝＝1 m
xCD＝xCE－xDE
代入数据解得μ＝
最终物块在DE段来回滑动，从C到D，根据动能定理得：
mgxCDsin θ－μmgcos θ×s＝0－mvC2
解得s＝3.25 m.
2．如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R＝0.3 m的竖直放置的光滑圆轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L＝2 m，θ＝53°，小球质量为m＝0.5 kg，D点与A孔的水平距离s＝2 m，g取10 m/s2.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求摆线能承受的最大拉力为多大；
(2)要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求摆球与粗糙水平面间的动摩擦因数μ的范围．
答案　(1)9 N　(2)0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025
解析　(1)当摆球由C到D运动，
根据动能定理有mg(L－Lcos θ)＝mvD2
在D点，由牛顿第二定律可得Fm－mg＝m，
解得Fm＝9 N
(2)小球不脱离圆轨道分两种情况
①要保证小球能到达A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，由动能定理可得
－μ1mgs＝0－mvD2，
可得μ1＝0.4
若进入A孔的速度较小，那么小球将会在圆心以下做往返运动，不脱离轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由动能定理可得－mgR＝0－mvA2
由动能定理可得－μ2mgs＝mvA2－mvD2，
可求得μ2＝0.25
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，当小球恰好到达最高点时，在圆轨道的最高点，由牛顿第二定律可得
mg＝m，
由动能定理可得－μ3mgs－2mgR＝mv2－mvD2，
解得μ3＝0.025
综上所述，动摩擦因数μ的范围为0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025.
3．如图所示，粗糙水平面AB与粗糙斜面BC平滑连接，斜面倾角为37°，一半径为R＝4 m的光滑圆弧轨道CD与斜面相切于C点，D点在圆心O的正上方，A、B、C、D均在同一竖直平面内．在水平面上的A点静止放有一质量为m＝0.5 kg的小物块，给小物块施加斜向右上方与水平方向夹角为37°、大小为F＝5 N的恒力，一直保持F对小物块的作用，小物块恰好能够通过D点．已知小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)小物块运动到D点的速度大小；
(2)AB的长度．
答案　(1)4 m/s　(2) m
解析　(1)设小物块在半圆轨道的最高点D的速度为vD，
根据牛顿运动定律有mg－Fsin 37°＝m
解得vD＝4 m/s
(2)小物块从C点到D点，根据动能定理有
FRsin 37°－mg(R＋Rcos 37°)＝mvD2－mvC2
小物块从B点到C点，根据牛顿第二定律有
F－mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma1
解得a1＝0，说明小物块从B点到C点做匀速直线运动，则
vB＝vC＝4 m/s
小物块从A点到B点，根据动能定理有
FLABcos 37°－(mg－Fsin 37°)μLAB＝mvB2
联立解得LAB＝ m.
4．如图所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R＝10 cm的光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h＝0.8 m，水平距离s＝1.2 m，水平轨道AB长为L1＝2.75 m，BC长为L2＝3.5 m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度大小；
(2)小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点初速度大小的范围．
答案　(1)4 m/s　(2)4 m/s≤vA≤5 m/s或vA≥ m/s
解析　(1)小球恰好通过圆形轨道的最高点时，根据牛顿第二定律得mg＝
从A点到圆形轨道的最高点的过程中，根据动能定理得：
－μmgL1－mg×2R＝mv12－mvA12
解得小球在A点的初速度vA1＝4 m/s
(2)若恰好运动到C点时，速度为零，则从A到C的过程中，根据动能定理得－μmg(L1＋L2)＝0－mvA22
解得小球在A点的初速度vA2＝5 m/s
因此若小球停在BC段，则满足4 m/s≤vA≤5 m/s
若恰好能越过壕沟，则从C到D做平抛运动
h＝gt2
s＝vt
从A到C的过程中，根据动能定理得－μmg(L1＋L2)＝mv2－mvA32
解得小球在A点的初速度vA3＝ m/s
因此若小球能越过壕沟，则满足
vA≥ m/s.

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