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实验九　导体电阻率的测量
目标要求　1.熟悉“导体电阻率的测量”的基本原理及注意事项.2.掌握测电阻率的电路图及误差分析．
实验技能储备
1．实验原理(如图所示)
由R＝ρ得ρ＝＝，因此，只要测出金属丝的长度l、直径d和金属丝的电阻R，即可求出金属丝的电阻率ρ.
2．实验器材
被测金属丝，直流电源(4 V)，电流表(0～0.6 A)，电压表(0～3 V)，滑动变阻器(0～50 Ω)，开关，导线若干，螺旋测微器，毫米刻度尺．
3．实验过程
(1)用螺旋测微器在被测金属丝上的三个不同位置各测一次直径，求出其平均值d.
(2)连接好用伏安法测电阻的实验电路．
(3)用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属丝的有效长度，反复测量三次，求出其平均值l.
(4)把滑动变阻器的滑片调到最左(填“左”或“右”)端．
(5)闭合开关，改变滑动变阻器滑片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I和U的值，填入记录表格内．
(6)将测得的R、l、d值，代入公式ρ＝中，计算出金属丝的电阻率．
4．求R的平均值时可用两种方法
(1)用R＝分别算出各次的数值，再取平均值．
(2)用U－I图线的斜率求出．
5．注意事项
(1)本实验中被测金属丝的电阻值较小，因此实验电路一般采用电流表外接法．
(2)测量被测金属丝的有效长度，是指测量被测金属丝接入电路的两个端点之间的长度，亦即电压表两端点间的被测金属丝长度，测量时应将金属丝拉直，反复测量三次，求其平均值．
(3)测金属丝直径一定要选三个不同部位进行测量，求其平均值．
(4)在用伏安法测电阻时，通过被测金属丝的电流不宜过大(电流表用0～0.6 A量程)，通电时间不宜过长，以免金属丝的温度明显升高，造成其电阻率在实验过程中逐渐增大．
(5)若采用图像法求电阻阻值的平均值，在描点时，要尽量使各点间的距离拉大一些，连线时要尽可能地通过较多的点，不在直线上的点均匀分布在直线的两侧，个别明显偏离较远的点应舍去．
6．误差分析
(1)金属丝直径、长度的测量、读数等人为因素带来误差．
(2)测量电路中电流表及电压表对电阻测量的影响，因为电流表外接，所以R测(3)通电电流过大，时间过长，致使金属丝发热，电阻率随之变化带来误差．
考点一　教材原型实验
例1　(2019·江苏卷·11)某同学测量一段长度已知的电阻丝的电阻率．实验操作如下：
(1)螺旋测微器如图所示．在测量电阻丝的直径时，先将电阻丝轻轻地夹在测砧与测微螺杆之间，再旋动________(选填“A”“B”或“C”)，直到听见“喀喀”的声音，以保证压力适当，同时防止螺旋测微器的损坏．
(2)选择电阻丝的________(选填“同一”或“不同”)位置进行多次测量，取其平均值作为电阻丝的直径．
(3)图甲中Rx为待测电阻丝．请用笔画线代替导线，将滑动变阻器接入图乙实验电路中的正确位置．
(4)为测量Rx，利用图甲所示的电路，调节滑动变阻器测得5组电压U1和电流I1的值，作出的U1－I1关系图像如图丙所示．接着，将电压表改接在a、b两端，测得5组电压U2和电流I2的值，数据见下表：
U2/V 0.50 1.02 1.54 2.05 2.55
I2/mA 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
请根据表中的数据，在方格纸上作出U2－I2图像．
(5)由此，可求得电阻丝的Rx＝________Ω.根据电阻定律可得到电阻丝的电阻率．
答案　(1)C　(2)不同　(3)如图所示　
(4)如图所示
(5)23.5(23.0～24.0均可)
解析　(1)A起固定作用，便于读数；B为粗调，调节B使电阻丝与测微螺杆、测砧刚好接触；然后调节C，C起微调作用．(2)电阻丝电阻R＝ρ，测量一段电阻丝的电阻，S为这段电阻丝的横截面积，而不是某位置处的横截面积，故应在不同位置进行多次测量，取平均值作为电阻丝的直径以减小误差．(4)把U2和I2的数据在方格纸中描点，用过原点的直线把它们连在一起，让尽可能多的点在直线上．(5)结合题图中图线的斜率可知R0＋Rx＋RA＝49.0 Ω，R0＋RA＝25.5 Ω，解得Rx＝23.5 Ω.
例2　在“测定金属的电阻率”实验中，所用测量仪器均已校准，待测金属丝接入电路部分的长度约为50 cm.
(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径，其中某一次测量结果如图甲所示，其读数应为_____ mm.(该值接近多次测量的平均值)
(2)用伏安法测金属丝的电阻Rx，实验所用器材为：电池组(电动势为3 V，内阻约为1 Ω)、电流表(内阻约为0.1 Ω)、电压表(内阻约为3 kΩ)、滑动变阻器R(0～20 Ω，额定电流为2 A)、开关、导线若干．某小组同学利用以上器材正确连接好电路，进行实验测量，记录数据如下：
次数 1 2 3 4 5 6 7
U/V 0.10 0.30 0.70 1.00 1.50 1.70 2.30
I/A 0.020 0.060 0.160 0.220 0.340 0.460 0.520
由以上实验数据可知，他们测量Rx是采用图中的________(选填“乙”或“丙”)图．
(3)图丁是测量Rx的实物图，图丁中已连接了部分导线．请根据(2)中所选的电路图，补充完整图中实物间的连线．
(4)这个小组的同学在坐标纸上建立U、I坐标系，如图戊所示，图中已标出了与测量数据对应的4个坐标点．请在图中标出第2、4、6次测量数据的坐标点，并描绘出U－I图线．由图线得到金属丝的阻值Rx＝________ Ω.(保留两位有效数字)
(5)根据以上数据可以算出金属丝电阻率约为________(填选项前的字母)．
A．1×10－2 Ω·m B．1×10－3 Ω·m
C．1×10－6 Ω·m D．1×10－8 Ω·m
(6)任何实验测量都存在误差，本实验所用测量仪器均已校准．下列关于误差的说法中正确的是________(填选项前的字母)
A．用螺旋测微器测量金属丝直径时，由于读数引起的误差属于系统误差
B．由于电流表和电压表内阻引起的误差属于偶然误差
C．若将电流表和电压表的内阻计算在内，可以消除由测量仪表引起的系统误差
D．用U－I图像处理数据求金属丝电阻可以减小偶然误差
答案　(1)0.396(0.395～0.398均可)　(2)乙　(3)如图(a)所示　(4)如图(b)所示　4.5(4.3～4.7均可)　(5)C　(6)CD
考点二　探索创新实验
例3　某同学要测量粗细均匀的金属丝的电阻率，设计了如图甲所示的电路，Rx为待测金属丝(允许通过的最大电流为0.5 A)，R为电阻箱，电流表的规格为(0～3 A，内阻约为0.012 5 Ω；0～0.6 A，内阻约为0.125 Ω)，每节干电池的电动势为1.5 V.
(1)实验前先用螺旋测微器测量金属丝的直径，示数如图乙所示，则金属丝的直径d＝____mm；
(2)根据连接好的电路，实验中闭合开关S后，可以通过改变接线夹(即图甲中滑动变阻器符号上的箭头)接触金属丝的位置以控制接入电路中金属丝的长度，并通过改变电阻箱接入电路中的阻值R，使电流表的示数如图丙所示，该示数的值为I＝________A；多次改变线夹的位置，调节电阻箱接入电路的电阻，使电流表指针每次指在图丙所示的位置．记录电阻箱接入电路中的阻值R和对应的金属丝接入电路中长度L，并在R－L坐标系中描点连线，作出R－L的图线如图丁所示，请用金属丝的直径d、R－L图线斜率的绝对值k和必要的常数，写出该金属丝电阻率测量值的表达式ρ＝________.
答案　(1)4.500　(2)0.44　kπd2
解析　(1)螺旋测微器的读数为
d＝4.500 mm
(2)由于电流表的量程为0.6 A，精度为0.02 A，因此电流表的示数为0.44 A
电流表示数不变，说明电阻箱和金属丝的总电阻是一个定值R′，故R′＝R＋ρ
得R＝R′－L
因此有k＝
则电阻率表达式为ρ＝.
例4　(2022·江苏如皋市高三模拟)某实验小组测量一段长度已知的金属丝的电阻率．
(1)用螺旋测微器测量金属丝直径时，应选择金属丝的__________(选填“同一”或“不同”)位置进行多次测量，取其平均值作为金属丝的直径．某次的结果如图甲所示，其读数是________mm.
(2)先用欧姆表粗略测量该段金属丝的电阻．选择开关置于“×100”挡时，发现表头指针偏转角度过大，应将选择开关置于________(选填“×10”或“×1 000”)挡，正确操作后，表盘的示数如图乙所示，则金属丝的电阻约为________Ω.
(3)除金属丝Rx外，实验室还有如下器材：
电源E(10 V，内阻约1 Ω)
电流表A1(0～100 mA，内阻r1为2.5 Ω)
电流表A2(0～200 mA，内阻r2约5 Ω)
滑动变阻器R(最大阻值10 Ω，额定电流2 A)
定值电阻R0(阻值100 Ω)
开关S及导线若干
为了尽量准确地测量金属丝的电阻，请在方框中画出合适的电路图，并在图中标明器材符号．
(4)该小组设计的电路图正确，实验中测量得到的电流表A1的读数为I1，电流表A2的读数为I2，则该段金属丝电阻的表达式Rx＝________，金属丝电阻的测量值与真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)．
(5)若该段金属丝的长度为L，直径为D，电阻为Rx，则该金属丝电阻率的表达式ρ＝________.
答案　(1)不同　0.202(0.201～0.203均可)　(2)“×10”　100　(3)见解析图
(4)　相等　(5)
解析　(1)用螺旋测微器测量金属丝直径时，应选择金属丝的不同位置进行多次测量，取其平均值作为金属丝的直径．螺旋测微器读数为
D＝0 mm＋20.2×0.01 mm＝0.202 mm
(2)先用欧姆表粗略测量该段金属丝的电阻．选择开关置于“×100”挡时，发现表头指针偏转角度过大，说明电阻较小，换用小挡位，故选“×10”挡．表盘的示数如题图乙所示，则金属丝的电阻约为10×10 Ω＝100 Ω
(3)实验中没有电压表，故用电流表A1和定值电阻R0改装成电压表测电压，因为电压表内阻已知，故用外接法，待测阻值大于滑动变阻器阻值，采用分压式接法，故电路图如图所示
(4)实验中测量得到的电流表A1的读数为I1，电流表A2的读数为I2，则该段金属丝电阻的表达式
Rx＝
因为电压表内阻已知，表达式中各量均为准确值，故金属丝电阻的测量值与真实值相等．
(5)待测电阻阻值为：
Rx＝ρ＝ρ
解得：ρ＝.
课时精练
1．(2022·江苏省镇江中学高三月考)某同学为测量一段金属丝的电阻率，完成了以下步骤的操作：
(1)用螺旋测微器和刻度尺测出了待测金属丝的直径和长度，如图甲所示；则直径d＝___ mm，长度为l＝________ cm.
(2)为测出金属丝的电阻，他选用多用电表测该金属丝阻值，当他选择倍率为×1的欧姆挡测量时，得到的结果如图乙所示，读出R＝________ Ω.
(3)通过(1)(2)的测量，可以用公式ρ＝________(用步骤(1)(2)中的字母表示)计算出该金属丝的电阻率．
(4)为了检验上述的结果是否准确，该同学选择用伏安法再测一次电阻R，实验所用器材为：
电池组(电动势3 V，内阻为1 Ω)
电流表(内阻约5 Ω)
电压表(内阻约3 kΩ)
滑动变阻器(0～5 Ω，额定电流2 A)
开关、导线若干；
则以下电路中最合适的是________．
(5)该同学根据步骤(4)的电路图采用多次测量求平均值的方法完成实验，分析该实验的系统误差，电阻的测量值________真实值(填“大于”“等于”或“小于”)．
答案　(1)2.157　60.10　(2)15　(3)　(4)A　(5)小于
解析　(1)螺旋测微器需要估读到分度值的下一位，由题图可知螺旋测微器的读数为
d＝2 mm＋15.7×0.01 mm＝2.157 mm
刻度尺需要估读，由题图可知刻度尺的读数为
l＝60.10 cm
(2)由题可知多用电表选择倍率为×1的欧姆挡，则测量出的电阻为R＝15 Ω
(3)由电阻定律R＝ρ＝ρ
可得ρ＝
(4)由多用电表示数可得金属丝的阻值约为15 Ω，
可得>
则采用电流表外接法，在测量电阻时，为了减小误差需要多次测电阻求平均值，所以需要多组数据，且范围越大误差越小，故采用滑动变阻器分压式接法，故A电路图最合适．
(5)由于电压表的分流作用，导致电流的测量值比流过电阻的实际值大，由欧姆定律R＝可知电阻的测量值小于真实值．
2．在“测量金属丝的电阻率”的实验中，所用测量仪器均已校准．某次实验中，待测金属丝接入电路部分的长度为50.00 cm，电阻约几欧．
(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径，某次测量结果如图所示，读数应为________mm(该值与多次测量的平均值相等)．
(2)实验电路如图所示，实验室提供了电源E(3 V，内阻不计)、开关S、导线若干，还备有下列实验器材：
A．电压表V1(0～3 V，内阻约2 kΩ)
B．电压表V2(0～15 V，内阻约15 kΩ)
C．电流表A1(0～3 A，内阻约0.01 Ω)
D．电流表A2(0～0.6 A，内阻约0.05 Ω)
E．滑动变阻器R1(0～10 Ω，0.6 A)
F．滑动变阻器R2(0～2 kΩ，0.1 A)
应选用的实验器材有________．(选填实验器材前的序号)
(3)请用笔画线代替导线，在图中完成实物电路的连接．
(4)实验中，调节滑动变阻器，电压表和电流表示数记录如下：
U/V 1.05 1.40 1.80 2.30 2.60
I/A 0.22 0.28 0.36 0.46 0.51
请在坐标纸中作出U－I图线．由图线可知，金属丝的电阻Rx＝___Ω(结果保留两位有效数字)．
(5)根据以上数据可以算出金属丝的电阻率ρ＝________Ω·m(结果保留两位有效数字)．
(6)下列关于该实验误差的说法中正确的有________．
A．金属丝发热会产生误差
B．电流表采用外接法，会使电阻率的测量值偏小
C．电压表内阻引起的误差属于偶然误差
D．用U－I图像处理数据可以减小系统误差
答案　(1)0.400(0.398～0.402均正确)　(2)ADE　(3)见解析图　(4)见解析图　5.0　
(5)1.3×10－6　(6)AB
解析　(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径为d＝0 mm＋0.01×40.0 mm＝0.400 mm；
(2)电源电动势为3 V，则电压表选择A；待测电阻为几欧姆，则电流表选择D；据滑动变阻器允许的最大电流可得，滑动变阻器选择与待测电阻阻值相当的E；即应选用的实验器材有A、D、E；
(3)连线如图：
(4)根据数据作出U－I图线如图：
由图线可知，金属丝的电阻Rx＝＝ Ω＝5.0 Ω
(5)根据Rx＝ρ＝ρ，解得ρ＝
代入数据可得金属丝的电阻率ρ≈1.3×10－6 Ω·m；
(6)金属丝发热电阻率会发生变化，会产生误差，选项A正确；电流表采用外接法，由于电压表的分流作用，使得电流的测量值偏大，电阻的测量值偏小，即会使电阻率的测量值偏小，选项B正确；电压表内阻引起的误差属于系统误差，选项C错误；用U－I图像处理数据可以减小偶然误差，选项D错误．
3．某物理实验兴趣小组测定某品牌矿泉水的电阻率，用一两端开口的玻璃管通过可移动的密封塞封满一定量的矿泉水．
(1)某同学用如图甲所示的游标卡尺的______(填“A”“B”或“C”)部位去测玻璃管的内径，测出的读数如图乙，则玻璃管的内径d为________cm.
(2)该组同学按图丙连好电路后，调节滑动变阻器的滑片，从最右端向左端移动的整个过程中，发现电压表有示数但几乎不变，可能的原因是 ________
A．滑动变阻器阻值太小
B．电路中5、6之间断路
C．电路中7、8之间断路
(3)该组同学在改进实验后，测出玻璃管中有水部分的长度为L，电压表示数为U，电流表示数为I.多次改变玻璃管中的水量，测出多组数据，并描绘出相应的L－图像如图丁所示，若图线的斜率为k，则矿泉水的电阻率ρ＝________(用k、d和常数表示)．
答案　(1)A　2.150　(2)AC　(3)
解析　(1)A部位测内径，游标卡尺读数为
2．1 cm＋0.05 mm×10＝2.150 cm
(2)电压表有示数但几乎不变，可能是滑动变阻器阻值远小于矿泉水的电阻，也可能7、8间断路导致滑动变阻器与电压表串联．
(3)根据R＝＝ρ＝
得出ρ＝＝.
4．小张同学想测量构成滑动变阻器的金属丝的电阻率．于是他找到了一个坏了的滑动变阻器，拆下一段长约1 m、阻值约为100 Ω的金属丝，进行如下测量．
(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径，如图甲所示，则金属丝的直径d＝________ mm.
(2)为了准确测量这段金属丝的电阻，小明找到如下器材：
电流表(量程0～50 mA)
电阻箱(0～99.99 Ω)
一节干电池(电动势约1.5 V)
开关一个、线夹一个、导线若干
①请你利用上述器材，帮他设计一个可以完成电阻测量的电路图，画在图乙的方框中．
②完善小张同学的实验步骤(步骤中出现的物理量均需给出相应的符号)．
a．去掉金属丝的绝缘漆，接在线夹上，如图丙所示；
b．按电路图连接实物；
c．调节电阻箱和线夹位置使电流表有一个较大的示数，除记录该电流表示数外还需记录________和________；
d．改变线夹的位置，调节电阻箱使电流表的示数不变，记录________和________；
e．用米尺测量出________；
f．写出电阻率的表达式：________________(用实验过程中出现的物理量符号表示)；
g．重复上述步骤进行多次测量取平均值．
答案　(1)0.531　(2)①见解析图　②c.线夹的位置M　电阻箱的示数R1　d．线夹的位置N　电阻箱的示数R2　e．两次线夹位置M、N间的距离L　f．ρ＝
解析　(1)由题图甲可知d＝0.5 mm＋3.1×0.01 mm＝0.531 mm
(2)①本实验由于缺少电压表，所以不能采用传统的伏安法测量电阻率．可通过控制电路中电流一定，即总电阻一定，通过改变电阻箱和金属丝接入回路的阻值，找到金属丝的阻值与长度的关系，进而求出电阻率，因此电阻箱、金属丝和电流表应串联，如图所示．
②根据上面对实验原理的介绍可知，在步骤c中，除了记录电流表的示数外还需记下此时线夹的位置M和电阻箱的示数R1.在步骤d中，改变线夹的位置后，调节电阻箱使电流表的示数不变，记录此时线夹的位置N和电阻箱的示数R2.为了求出金属丝的阻值与长度的关系，需要用米尺测量出两次线夹位置M、N间的距离L.
设步骤c中金属丝接入电路的阻值为RM，步骤d中金属丝接入电路的阻值为RN，则有
R1＋RM＝R2＋RN
M、N间的电阻为
R＝＝
根据电阻定律有
R＝ρ
解得电阻率为
ρ＝.
5．(2021·江苏南京市高三月考)某同学为测定电阻丝的电阻率ρ，设计了如图甲所示的电路，电路中ab是一段电阻率较大、粗细均匀的电阻丝，保护电阻R0＝4.0 Ω，电源电动势E＝ 3.0 V，电流表内阻忽略不计，滑片P与电阻丝始终接触良好．
(1)实验中用螺旋测微器测得电阻丝的直径如图乙所示，其示数为d＝________mm.
(2)实验时闭合开关，调节滑片P的位置，分别测量出每次实验中aP长度x及对应的电流值I，实验数据如表所示：
x/m 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
I/A 0.49 0.43 0.38 0.33 0.31 0.28
/A－1 2.04 2.33 2.63 3.03 3.23 3.57
根据表中的数据，在图丙的坐标纸上作出－x图像，并由图线求出电阻丝的电阻率ρ＝________Ω·m(保留两位有效数字)．
(3)根据－x关系图线纵轴截距的物理意义，可求得电源的内阻为r＝________Ω(保留两位有效数字)．
(4)若电流表内阻不可忽略，则电流表的内阻对测量电阻丝的电阻率________(选填“有”或“无”)影响，根据－x关系图线纵轴截距的物理意义可求得的是______________________．
答案　(1)0.500　(2)见解析图　1.8×10－6　(3)1.3　(4)无　电源的内阻和电流表内阻之和
解析　(1)电阻丝的直径
0 mm＋50.0×0.01 mm＝0.500 mm
(2)－x图像如图所示
由电阻定律可得R＝ρ
由闭合电路欧姆定律可得R＝－R0－r
又S＝π()2
整理得＝x＋
由k＝得电阻率ρ＝
由图知k＝≈3.03
代入数据得ρ≈1.8×10－6 Ω·m
(3)根据－x图线纵轴截距为1.75，此时待测电阻丝电阻为零，由闭合电路欧姆定律得E＝I(r＋R0)
即3.0 V＝(r＋4.0 Ω)
解得r≈1.3 Ω
(4)若电流表内阻不可忽略，则＝x＋
整理得ρ＝
若电流表内阻不可忽略，则电流表的内阻对测量电阻丝的电阻率无影响．
根据－x图中关系图线纵轴截距为y，此时待测电阻丝电阻为零，由闭合电路欧姆定律得E＝I(r＋R0＋RA)，解得r＋RA＝－R0
可求得的是电源的内阻和电流表内阻之和．

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