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专题强化二十　洛伦兹力与现代科技
目标要求　1.理解质谱仪和回旋加速器的原理，并能解决相关问题.2.会分析电场和磁场叠加的几种实例．
题型一　质谱仪
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素．
2．原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝，m＝，＝.
例1　如图所示，电荷量相等的两种离子氖20和氖22从容器下方的狭缝S1飘入(初速度为零)电场区，经电场加速后通过狭缝S2、 S3垂直于磁场边界MN射入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，离子经磁场偏转后发生分离，最终到达照相底片D上．不考虑离子间的相互作用，则(　　)
A．静电力对每个氖20和氖22做的功相等
B．氖22进入磁场时的速度较大
C．氖22在磁场中运动的半径较小
D．若加速电压发生波动，两种离子打在照相底片上的位置不可能重叠
答案　A
解析　静电力对粒子做的功为W＝qU，则静电力对每个氖20和氖22做的功相等，A正确；根据qU＝mv2，得v＝，所以氖22(质量较大)进入磁场时的速度较小，B错误；根据r＝和v＝得r＝，因为氖22质量较大，所以氖22在磁场中运动的半径较大，C错误；加速电压发生波动，根据r＝，两种离子打在照相底片上的位置可能重叠(不同时刻)，D错误．
例2　现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为(　　)
A．11 B．12 C．121 D．144
答案　D
解析　由qU＝mv2得带电粒子进入磁场的速度为v＝，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，联立得到R＝ ，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故离子和质子的质量之比＝144，故选D.
题型二　回旋加速器
1．构造
如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能
由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.(忽略粒子在狭缝中运动的时间)
例3　(2021·江苏卷·15改编)如图甲所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略．为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图乙所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离．求：
(1)粒子加速到P点所需要的时间t；
(2)极板N的最大厚度dm.
答案　(1)
(2)2
解析　(1)设粒子在P点的速度大小为vP，
则根据qvPB＝m
可知R＝
根据动能定理，粒子在静电场中加速有nqU＝mvP2
粒子在磁场中运动的周期为T＝
粒子运动的总时间为t＝(n－1)·
解得t＝
(2)由粒子的运动半径r＝，
结合动能表达式Ek＝mv2
变形得r＝
则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为
r1＝，
r2＝
由几何关系dm＝2(r1－r2)
结合EkP＝，
解得dm＝2.
题型三　电场与磁场叠加的应用实例分析
共同特点：当带电粒子(不计重力)在叠加场中做匀速直线运动时，洛伦兹力与静电力大小相等qvB＝qE或qvB＝q.
考向1　速度选择器
(1)平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡
qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
例4　如图所示为一速度选择器，两极板MN之间的距离为d，极板间所加电压为U，两极板间有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．一束质子流从左侧两板边缘连线的中点沿两板中心线进入板间区域，能够沿直线运动，不计粒子重力．则下列说法正确的是(　　)
A．M极板接电源的负极
B．质子流的入射速度为
C．如果将质子换成电子，从右侧沿中心线以与质子流相同的速率进入板间区域，则电子在该区域运动过程中电势能增加
D．如果换成一束α粒子，仍从左侧沿中心线以与质子流相同的速度进入板间区域，则α粒子同样可以沿直线飞出该区域
答案　D
解析　质子流从左侧两板边缘连线的中点沿两板中心线进入板间区域，所受的洛伦兹力垂直于M极板向上，因垂直于极板方向受力平衡，故静电力方向垂直于M极板向下，即电场强度方向向下，M极板接电源的正极，故A错误；由平衡条件得qBv＝q，解得质子流的入射速度为v＝，故B错误；如果将质子换成电子，从右侧沿中心线以与质子流相同的速率进入板间区域，电子受到的静电力和洛伦兹力都垂直于M极板向上，静电力做正功，电势能减少，故C错误；如果换成一束α粒子，仍从左侧沿中心线以与质子流相同的速度进入板间区域，所受洛伦兹力垂直于M极板向上，静电力方向垂直于M极板向下，且有qαBv＝qα，则α粒子同样可以沿直线飞出该区域，故D正确．
考向2　磁流体发电机
(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B是发电机的正极．
(3)发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝Bdv，则E＝U＝Bdv.
当发电机接入电路时，遵从闭合电路欧姆定律．
例5　磁流体发电机的原理如图所示．将一束等离子体连续以速度v垂直于磁场方向喷入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，可在相距为d、正对面积为S的两平行金属板间产生电压．现把上、下板和电阻R连接，上、下板等效为直流电源的两极．等离子体稳定时在两极板间均匀分布，电阻率为ρ.忽略边缘效应及离子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．上板为正极，a、b两端电压U＝Bdv
B．上板为负极，a、b两端电压U＝
C．上板为正极，a、b两端电压U＝
D．上板为负极，a、b两端电压U＝
答案　C
解析　根据左手定则可知，等离子体射入两极板之间时，正离子偏向a板，负离子偏向b板，即上板为正极；稳定时满足q＝Bqv，解得U′＝Bdv；根据电阻定律可知两极板间的电阻为r＝，根据闭合电路欧姆定律：I＝，a、b两端电压U＝IR，联立解得U＝，故选C.
考向3　电磁流量计
(1)流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的液体的体积．
(2)导电液体的流速(v)的计算．
如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转，使a处积累正电荷，b处积累负电荷，使a、b间出现电势差，φa>φb.当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
(3)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(4)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
例6　(2022·湖南常德市模拟)某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下．污水(含有大量的正、负离子)充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端的电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)．则(　　)
A．a侧电势比c侧电势低
B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大
C．污水流量Q与U成正比，与L、D无关
D．匀强磁场的磁感应强度B＝
答案　D
解析　污水中正、负离子从左向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向后表面偏，负离子向前表面偏转，所以a侧电势比c侧电势高，故A错误；最终正、负离子会在静电力和洛伦兹力作用下处于平衡状态，有qE＝qvB，即＝vB，则污水流量Q＝＝·＝，可知Q与U、D成正比，与L无关，显示仪器的示数与离子浓度无关，匀强磁场的磁感应强度B＝，故D正确，B、C错误．
考向4　霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
(3)霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝＝k，k＝称为霍尔系数．
例7　(2022·江苏省海安市高三模拟)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件．当显示屏翻开时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作，当显示屏合上时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态．如图所示，这是一块长为a、宽为b、高为c的半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，元件中通入方向向右的恒定电流．当显示屏合上时，元件处于垂直于上表面且方向向下的匀强磁场中，元件的前、后表面间产生电压U，以此来控制屏幕的熄灭．则元件的(　　)
A．前表面的电势低于后表面
B．前、后表面间的电压U与a的大小有关
C．前、后表面间的电压U与b的大小有关
D．前、后表面间的电压U与c的大小有关
答案　D
解析　电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向里，则后表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势高，A错误；
稳定后，由后续电子受力平衡可得
e＝evB
根据电流的微观表达式可知
I＝neSv＝nebcv
解得
U＝×
所以前、后表面间的电压U与c成正比，与a和b无关，B、C错误，D正确．
课时精练
1．关于洛伦兹力的应用，下列说法正确的是(　　)
A．图a速度选择器中筛选出的粒子沿着PQ做匀加速直线运动
B．图b回旋加速器接入的工作电源是直流电
C．图c是质谱仪的主要原理图，其中H、H、H在磁场中偏转半径最大的是H
D．图d是磁流体发电机，将一束等离子体喷入磁场，A、B两板间会产生电压，且A板电势高
答案　C
解析　题图a速度选择器中筛选出的粒子运动时受到静电力和洛伦兹力，二力平衡，粒子沿着PQ做匀速直线运动，故A错误；回旋加速器接入的工作电源是交流电，故B错误；题图c是质谱仪的主要原理图，由qU＝mv2和qvB＝m得R＝＝，可知在磁场中偏转半径最大的是比荷()最小的粒子，故C正确；将一束等离子体喷入磁场，根据左手定则可知，正离子向下偏转，负离子向上偏转，所以B板电势高，故D错误．
2.如图所示，若速度为2v0、电荷量为q的正离子恰能沿直线飞出离子速度选择器，选择器中磁感应强度为B，电场强度为E，则在其他条件不变的情况下(　　)
A．若改为电荷量为－q的离子，将往上偏
B．若速度变为v0将往上偏
C．若改为电荷量为＋2q的离子，将往下偏
D．若速度变为3v0将往上偏
答案　D
解析　正离子恰能沿直线飞出，说明粒子做匀速直线运动，根据平衡条件有q·2v0B＝qE，若改为电荷量为－q的离子，根据左手定则判断可知离子受的洛伦兹力方向向下，静电力方向向上，由于两个力的关系仍满足2qv0B＝qE，此时洛伦兹力与静电力仍然平衡，所以负离子不偏转，仍沿直线运动，A错误；若速度变为v0，洛伦兹力减小为原来的，而正离子受的洛伦兹力方向向上，静电力不变，所以正离子将向下偏转，B错误；若改为电荷量为＋2q的离子，根据题意可得2q·2v0B＝2qE，即2qv0B＝qE，此时洛伦兹力与静电力仍然平衡，所以离子不偏转，仍沿直线运动，C错误；若速度变为3v0，正离子所受洛伦兹力为原来的1.5倍，方向向上，而静电力不变，所以离子将向上偏转，D正确．
3．(2022·江苏省高三月考)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器如图甲所示，其原理如图乙所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氚核(H)加速，所需的高频电源的频率为f，已知元电荷为e，下列说法正确的是(　　)
A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B．高频电源的电压越大，氚核最终射出回旋加速器的速度越大
C．氚核的质量为
D．该回旋加速器接频率为f的高频电源时，也可以对氦核(He)加速
答案　C
解析　根据周期公式T＝可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期不变，A错误；设D形盒的半径为R，则最终射出回旋加速器的速度满足evB＝m，即有v＝，最终射出回旋加速器的速度与电压无关，B错误；根据周期公式T＝可知m＝＝，C正确；因为氚核(H)与氦核(He)的比荷不同，所以不能用来加速氦核(He)，D错误．
4.如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P、Q与电阻R相连接．下列说法正确的是(　　)
A．Q板的电势高于P板的电势
B．R中有由b向a方向的电流
C．若只改变磁场强弱，R中电流保持不变
D．若只增大离子入射速度，R中电流增大
答案　D
解析　等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P板的电势高于Q板的电势，流过电阻R的电流方向由a到b，故A、B错误；根据静电力等于洛伦兹力，即q＝qvB，则有U＝Bdv，由闭合电路欧姆定律得I＝＝，电流与磁感应强度成正比，故C错误；由以上分析可知，若只增大离子的入射速度，R中电流会增大，故D正确．
5．(2022·浙江省柯桥中学模拟)在实验室中有一种污水流量计如图甲所示，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出．流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积．空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，并测出M、N间的电压U，则下列说法正确的是(　　)
A．正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B．容器内液体的流速为v＝
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．污水流量为Q＝
答案　B
解析　离子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到洛伦兹力向上，故A错误；当达到平衡时有q＝qvB，解得v＝，故B正确；不带电的液体在磁场中不受力，M、N两点没有电势差，无法计算流速，故C错误；污水流量为Q＝vS＝πd2·＝，故D错误．
6.海底通信电缆通电后会产生磁场，科学家为了检测某一海域中磁感应强度的大小，利用图中一块长为a、宽为b、厚为c，单位体积内自由电子数为n的金属霍尔元件，放在海底磁场中，当有如图所示的恒定电流I(电流方向和磁场方向垂直)通过元件时，会产生霍尔电势差UH，通过元件参数可以求得此时海底的磁感应强度B的大小(地磁场较弱，可以忽略)．下列说法正确的是(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I＝nevbc，其中e为单个电子的电荷量)(　　)
A．元件上表面的电势高于下表面的电势
B．仅增大霍尔元件的宽度c，上、下表面的电势差不变
C．仅增大霍尔元件的厚度b，上、下表面的电势差不变
D．其他条件一定时，霍尔电压越小，则该处的磁感应强度越大
答案　C
解析　金属材料中定向移动的是自由电子，自由电子定向移动的方向与电流方向相反，由左手定则可知，电子聚集在上表面，上表面的电势低，故A错误；当电子受到的静电力和洛伦兹力平衡时，霍尔电压也趋于稳定，可得e＝evB，解得UH＝Bvb，电流I＝nevbc，可得UH＝，仅增大霍尔元件的宽度c，上、下表面的电势差变小；仅增大霍尔元件的厚度b，上、下表面的电势差不变，故B错误，C正确；根据UH＝Bvb可知，其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越小，故D错误．
7.如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小恒定，且被限制在AC板间，虚线中间不需加电场，带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，对这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是(　　)
A．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸无关
B．带电粒子每运动一周被加速一次
C．带电粒子每运动一周P1P2等于P2P3
D．加速电场方向需要做周期性的变化
答案　B
解析　带电粒子只有经过AC板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，电场的方向没有改变，则在AC间加速，电场方向不需要做周期性的变化，故B正确，D错误；根据qvB＝和nqU＝mv2，式中n为加速次数，得r＝＝，可知P1P2＝2(r2－r1)＝2(－1)，P2P3＝2(r3－r2)＝2(－)，所以P1P2≠P2P3，故C错误；当粒子从D形盒中出来时，速度最大，根据r＝知加速粒子的最大速度与D形盒的半径有关，故A错误．
8．如图所示为质谱仪的结构图，该质谱仪由速度选择器与偏转磁场两部分组成，已知速度选择器中的磁感应强度大小为B0、电场强度大小为E，荧光屏PQ下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B0.三个带电荷量均为q、质量不同的粒子沿竖直方向经速度选择器由荧光屏上的狭缝O进入偏转磁场，最终打在荧光屏上的S1、S2、S3处，相对应的三个粒子的质量分别为m1、m2、m3，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用．则下列说法正确的是(　　)
A．三个粒子均带负电
B．打在S3位置的粒子质量最小
C．如果S1S3＝Δx，则m3－m1＝
D．粒子进入偏转磁场的速度是
答案　D
解析　荧光屏PQ下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，由左手定则知三种粒子均带正电，A错误；三种粒子在速度选择器中做匀速直线运动，受力平衡，qE＝qvB0，解得v＝，则粒子进入偏转磁场的速度是，根据qv·2B0＝m，解得m＝，打在S3位置的粒子半径最大，则打在S3位置的粒子质量最大，B错误，D正确；根据qvB＝m，解得r1＝，r3＝，S1S3＝Δx＝2r3－2r1，解得m3－m1＝，C错误．
9．(2022·黑龙江实验中学月考)磁流体发电机可简化为如下模型：两块长、宽分别为a、b的平行板，彼此相距L，板间通入已电离的速度为v的气流，两板间存在一磁感应强度大小为B的磁场，磁场方向与两板平行，并与气流垂直，如图所示．把两板与外电阻R连接起来，在磁场力作用下，气流中的正、负离子分别向两板移动形成电流．设该气流的导电率(电阻率的倒数)为σ，则(　　)
A．该磁流体发电机模型的内阻为r＝σ
B．产生的感应电动势为E＝Bav
C．该磁流体发电机模型的路端电压为
D．流过外电阻R的电流I＝
答案　D
解析　根据左手定则知正电荷向上偏，负电荷向下偏，上极板带正电，下极板带负电，最终电荷处于平衡状态，有qvB＝q
解得电动势为E＝BLv
内阻为r＝ρ＝＝
根据闭合电路欧姆定律有I＝＝
路端电压为U＝IR＝
综上所述，D正确，A、B、C错误．
10．如图为某种质谱仪的示意图，质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．静电分析器通道中心轴线的半径为R，通道内存在均匀辐向电场；磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外．质子和待测未知粒子x，先后从静止开始经加速电压为U的电场加速后沿中心轴线通过静电分析器，从P点垂直边界进入磁分析器，最终分别打到胶片上的C、D点．已知质子质量为m、电荷量为q，粒子x的电荷量是质子的2倍，PC＝2R，PD＝2R.求：
(1)静电分析器中心轴线处的场强大小E；
(2)磁感应强度大小B；
(3)粒子x的质量M.
答案　(1)　(2)　(3)4m
解析　(1)设质子加速后的速度为v1，根据动能定理有
qU＝mv12，在通道内，静电力提供向心力，有qE＝m
联立解得E＝；
(2)设质子在磁场运动的半径为r1，则有PC＝2r1
又PC＝2R，可得r1＝R，在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有qv1B＝m，
联立解得B＝
(3)设未知粒子x在磁场中运动的半径为r2，则有
PD＝2r2
又PD＝2R，可得
r2＝R
设未知粒子x加速后的速度为v2，则有
2qU＝Mv22
2qv2B＝M
联立解得：M＝4m.
11．图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并与高频电源相连．带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是(　　)
A．t3－t2＝t2－t1＝t1
B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
C．粒子在电场中的加速次数为
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
答案　A
解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝m，可得r＝，粒子运动周期为T＝＝，故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知t3－t2＝t2－t1＝t1，A正确；粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为mvn2＝nqU，可得vn＝，故速度之比为v1∶v2∶v3＝1∶∶，B错误；由B的分析可得mv12＝qU，mvn2＝nqU，联立解得n＝，故粒子在电场中的加速次数为，C错误；由A的分析可得r＝，由B的分析可知v3－v2≠v2－v1，故r3－r2≠r2－r1，即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误．

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