资源简介

专题强化二十二　带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的 运动
目标要求　1.了解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题.2.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的解题思路和处理方法．
题型一　带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
例1　如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场．不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间．
答案　(1)　(2)　(3)(＋1)
解析　(1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲：
可知Eq＝mg，得：E＝.
(2)由平衡条件得：qvB＝mg
电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：qvB＝m
由几何知识可得：r＝l
联立解得：v＝，
B＝.
(3)微粒做匀速直线运动的时间：t1＝＝
微粒做匀速圆周运动的时间：t2＝＝
微粒在复合场中的运动时间：t＝t1＋t2＝(＋1).
例2　如图所示，直角坐标系xOy所在竖直平面内分布着场强大小相等的匀强电场，第一、二象限中场强方向沿y轴正方向，第三、四象限中场强方向沿x轴正方向；第一、四象限还分布着垂直于平面向里的匀强磁场．一质量为0.02 kg、带正电的微粒自坐标为(0，－0.4 m)的A点出发，与y轴成45°角以2 m/s的速度射入第四象限，并能在第四象限内做匀速直线运动，已知重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)微粒第一次通过y轴正半轴时的纵坐标；
(2)微粒运动轨迹与初速度方向所在的直线第一次相交时，所需要的时间(结果可用根式表示)；
(3)微粒从射出到第(2)问所说的时刻，动能的增加量．
答案　(1)0.4 m　(2)(6＋π) s　(3)0.16 J
解析　(1)微粒受力及运动过程分析如图所示：
微粒在第四象限内沿与y轴成45°角做匀速直线运动，
有qE＝mg
qvB＝mg
微粒在第一象限内，重力与静电力二力平衡，微粒做匀速圆周运动，
由qvB＝
联立解得r＝ m
由几何关系得，微粒在第一象限恰好做了半个周期的圆周运动，故微粒第一次通过y轴正半轴时的纵坐标为0.4 m.
(2)由A到B微粒做匀速直线运动：
位移为x1＝ m
时间t1＝
解得t1＝ s
由B到C微粒做匀速圆周运动：
t2＝
解得t2＝ s
由C到D微粒做匀速直线运动：
位移为x2＝ m
时间t3＝
解得t3＝ s
由D到E微粒做类平抛运动，轨迹交BA延长线于G点
加速度方向沿D指向A，大小为a＝g
沿DA方向位移大小为x3＝ m
由x3＝at42，
解得t4＝ s
故t总＝t1＋t2＋t3＋t4＝(6＋π) s
(3)只有在第三象限运动的过程，微粒动能有变化．
从D到G，合外力做的功W＝mg·x3
由动能定理知，W＝ΔEk，
解得动能的增加量为ΔEk＝0.16 J．
题型二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律 联立不同阶段的方程求解
例3　在科学研究中，常常通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子的运动控制．图甲所示的xOy平面为竖直平面，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图像如图乙所示，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量为m、电荷量为＋q.不计粒子重力，在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．
(1)求P第一次在磁场中运动时速度大小v0；
(2)求B0应满足的关系；
(3)若在t0(0< t0 <)时刻释放P，求P速度为零时的坐标．
答案　(1)　(2)B0＝，(n＝1,2,3……)　(3)x＝0，y＝或，(k＝1,2,3……)
解析　(1)粒子在～τ时间段内做匀加速直线运动，τ～2τ时间段内做匀速圆周运动，电场力
F＝qE0
则加速度a＝
速度为v0＝at
其中t＝，解得v0＝
(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示
设P在磁场中做圆周运动的周期为T，则
(n－)T＝τ，(n＝1,2,3……)
粒子做匀速圆周运动，有
qvB0＝，T＝
解得B0＝，(n＝1,2,3……)
(3)在t0时刻释放，P在电场中加速时间为τ－t0，在磁场中做匀速圆周运动，
v1＝
圆周运动的半径为r1＝
解得r1＝
又经τ－t0时间P减速为零后向右加速时间为t0，P再进入磁场
v2＝
圆周运动的半径为r2＝
解得r2＝
综上分析，速度为零时横坐标x＝0，相应的纵坐标为
y＝2[kr1－(k－1)r2]或2k(r1－r2)，(k＝1,2,3……)
解得
y＝或，(k＝1,2,3……)．
例4　如图甲所示，水平放置的平行金属板a、b间加直流电压U，a板上方有足够长的“V”字形绝缘弹性挡板，两板夹角为60°，在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图乙，垂直纸面向里为磁场正方向，其中B1＝B0，B2未知．现有一比荷为、不计重力的带正电粒子从c点静止释放，t＝0时刻，粒子刚好从小孔O进入上方磁场中，在t1时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在t1＋t2时刻粒子撞到右挡板，然后粒子又从O点竖直向下返回平行金属板间，粒子与挡板碰撞前后电荷量不变，沿板的分速度不变，垂直板的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的影响．求：
(1)粒子第一次到达O点时的速率；
(2)图中B2的大小；
(3)金属板a和b间的距离d.
答案　(1)　(2)2B0　(3)(n＝0,1,2，…)
解析　(1)粒子从b板到a板过程中，静电力做正功，根据动能定理有
qU＝mv2－0
解得粒子第一次到达O点时的速率v＝
(2)粒子进入上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由qvB＝m得r＝，
则得粒子做匀速圆周运动的半径
r1＝，r2＝
使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如图所示，由图易知：r1＝2r2，
则得B2＝2B0.
(3)在0～t1时间内，粒子做匀速圆周运动的周期
T1＝
在t1～(t1＋t2)时间内，粒子做匀速圆周运动的周期
T2＝
由轨迹图可知t1＝T1＝
t2＝T2＝
粒子在金属板a和b间往返时间为t，
有d＝×
且满足t＝t2＋n(t1＋t2)(n＝0,1,2，…)
联立可得金属板a和b间的距离d＝(n＝0,1,2，…)．
课时精练
1.质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．该微粒可能带正电荷
B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的电场强度大小为
答案　C
解析　若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE和垂直OA斜向右下方的洛伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE和垂直OA斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故A、B错误；由平衡条件得qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度大小B＝，电场的电场强度大小E＝，故C正确，D错误．
2．(2017·全国卷Ⅰ·16)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)
A．ma＞mb＞mc B．mb＞ma＞mc
C．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma
答案　B
解析　设三个微粒的电荷量均为q，
a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与静电力平衡，则
mag＝qE①
b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则
mbg＝qE＋qvB②
c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则
mcg＋qvB＝qE③
比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确．
3.如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　)
A．液滴带正电
B．液滴比荷＝
C．液滴沿顺时针方向运动
D．液滴运动速度大小v＝
答案　C
解析　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得＝，故选项B错误；静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向转动，选项C正确；对液滴，有qE＝mg，qvB＝m，得v＝，故选项D错误．
4.如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动轨迹的最低点，不计空气阻力，则以下说法中不正确的是(　　)
A．液滴一定带正电
B．液滴在C点时的动能最大
C．从A到C过程液滴的电势能增大
D．从C到B过程液滴的机械能增大
答案　A
解析　从题图中可以看出，带电液滴由静止开始向下运动，说明重力和静电力的合力向下，洛伦兹力指向弧线内侧，根据左手定则可知，液滴带负电，故A错误；重力向下，静电力向上，且重力大于静电力，从A到C的过程中，重力做正功，而静电力做负功，洛伦兹力不做功，合力做正功，液滴动能增大，从C到B的过程中，重力做负功，静电力做正功，洛伦兹力不做功，合力做负功，液滴动能减小，所以液滴在C点时的动能最大，故B正确；从A到C过程液滴克服静电力做功，电势能增大，故C正确；从C到B的过程中，静电力做正功，洛伦兹力不做功，机械能增大，故D正确．
5．如图，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下．一质量为m、电荷量大小为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了30°，重力加速度为g，求：
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)微粒从P运动到Q的时间．
答案　(1)　　(2)　(3)＋
解析　(1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上有：qE1sin 45°＝mg
解得：E1＝
微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则重力和静电力平衡，
有：mg＝qE2，解得：E2＝
(2)粒子进入磁场区域时满足：
qE1d1cos 45°＝mv2
qvB＝m
根据几何关系，分析可知：R＝＝2d2
整理得：B＝
(3)微粒从P到Q的时间包括在区域Ⅰ内的运动时间t1和在区域Ⅱ内的运动时间t2，
并满足：a1t12＝d1
mgtan 45°＝ma1
整理得t1＝
t2＝·＝·
得：t＝t1＋t2＝＋.
6．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示．一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)在t＝0时刻平行于Oc边从O点射入磁场中．已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外的方向为磁场的正方向．
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0.
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值．
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小．
答案　(1)　(2)　(3)　(n＝2,4,6，…)
解析　(1)由qvB0＝m，T0＝，
解得T0＝.
(2)如图甲所示为周期最大时粒子不能从Oa边射出的临界情况，由几何关系可知sin α＝，
解得α＝30°.
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150°，
运动时间为t＝T0＝.
而t＝
所以磁感应强度的变化周期T的最大值为.
(3)如图乙所示为粒子从b点沿着ab方向射出磁场的一种情况．在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为2β，其中β＝45°，即＝
所以磁场变化的周期为T＝
弦OM的长度为s＝(n＝2,4,6，…)
圆弧半径为R＝＝(n＝2,4,6，…)
由qv0B0＝m，
解得v0＝(n＝2,4,6，…)．
7.如图所示，平面直角坐标xOy的第一象限内存在着有界匀强磁场和匀强电场，直线y＝d与y轴相交于P点，磁场分布在x轴与直线y＝d之间，方向垂直纸面向里；电场分布在直线y＝d上方，电场强度为E，方向竖直向下，质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子从坐标原点O垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v0，方向与x轴正方向成60°角，并恰好从P点离开磁场．(不计粒子的重力)
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)若将磁感应强度大小变为，其他条件不变，求：
①粒子能达到的纵坐标的最大值ym；
②粒子在第一象限内运动的时间t.
答案　(1)　(2)①　②＋
解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律可得qv0B＝m，根据粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系可得R1＝d，联立解得B＝
(2)①磁感应强度大小变为后，粒子的轨道半径变为R2＝2d，粒子运动轨迹如图所示，粒子进入电场时速度沿y轴正方向，粒子从进入电场到速度减为0的过程，由动能定理可得－qEy＝0－mv02
解得y＝
粒子能达到的纵坐标的最大值ym＝d＋y
解得ym＝d＋
②由几何关系可知粒子第一次在磁场内运动的圆心角为，运动的时间t1＝＝＝
粒子在电场内先向上运动减速为零，再向下加速运动，设进入电场到离开电场运动的时间为t2，取向上为正方向，由动量定理可得－qEt2＝－mv0－mv0
解得t2＝
粒子从电场进入磁场仍做匀速圆周运动，设运动时间为t3，根据对称性可知t3＝t1＝
粒子在第一象限内运动的时间t＝t1＋t2＋t3
解得t＝＋.
8．如图甲所示，在xOy平面内存在大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)．在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子．v0、t0、B0为已知量，粒子的比荷为，不计粒子的重力．求：
(1)t＝t0时，粒子的位置坐标；
(2)若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；
(3)若粒子能够回到原点，满足条件的所有E0值．
答案　(1)(，0)　(2)(＋)v0t0　(3)(n＝1,2,3，…)
解析　(1)粒子在0～t0内沿顺时针方向做匀速圆周运动qv0B0＝m，T＝，解得r1＝，T＝
又粒子的比荷＝
解得r1＝，T＝2t0
故t＝t0时，粒子的位置坐标为(，0)．
(2)粒子在t＝5t0时回到原点，运动轨迹如图甲所示．由r2＝2r1，r1＝，r2＝，解得v2＝2v0
则在0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离hm＝t0＋r2＝(＋)v0t0.
(3)如图乙所示，设带电粒子在x轴下方做圆周运动的轨迹半径为r2′，由几何关系可知，要使粒子能够回到原点，则必须满足n(2r2′－2r1)＝2r1(n＝1,2,3，…)
其中r2′＝
解得v＝v0(n＝1,2,3，…)
又v＝v0＋t0
解得E0＝(n＝1,2,3，…)．

展开更多......

收起↑