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专题强化二十三　电磁感应中的电路及图像问题
目标要求　1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法.2.会计算电磁感应电路问题中电压、电流、电荷量、热量等物理量.3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题．
题型一　电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
考向1　动生电动势的电路问题
例1　如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中．一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中(　　)
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
答案　C
解析　设PQ左侧电路的电阻为Rx，则右侧电路的电阻为3R－Rx，
所以外电路的总电阻为R外＝，外电路电阻先增大后减小，再根据闭合电路欧姆定律可得PQ中的电流I＝先减小后增大，路端电压U＝E－Ir先增大后减小，故A、B错误；由于导体棒做匀速运动，拉力等于安培力，即F＝BIl，拉力的功率P＝BIlv，先减小后增大，所以C正确；外电路的总电阻R外＝，当Rx＝R时R外最大，最大值为R，小于导体棒的电阻R，又外电阻先增大后减小，由电源的输出功率与外电阻的关系可知，线框消耗的电功率先增大后减小，故D错误．
例2　如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A连接的长度为2a、电阻为的导体棒AB，由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度大小为v，则这时导体棒AB两端的电压大小为(　　)
A. B.
C. D．Bav
答案　A
解析　当摆到竖直位置时，导体棒AB产生的感应电动势为E＝B·2a＝2Ba＝Bav，圆环被导体棒分为两个半圆环，两半圆环并联，并联电阻R并＝，电路电流：I＝＝，AB两端的电压为UAB＝IR并＝，故选A.
考向2　感生电动势的电路问题
例3　在如图甲所示的虚线框内有匀强磁场，设图甲所示磁场方向为正，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．边长为l、电阻为R的正方形均匀线框abcd有一半处在磁场中，磁场方向垂直于线框平面，此时线框ab边的发热功率为P，则(　　)
A．线框中的感应电动势为
B．线框中的感应电流为
C．线框cd边的发热功率为
D．b、a两端电势差Uba＝
答案　D
解析　由题可知线框四个边的电阻均为.由题图乙可知，在每个周期内磁感应强度随时间均匀变化，线框中产生大小恒定的感应电流，设感应电流为I，则对ab边有P＝I2·R，得I＝2，选项B错误；根据法拉第电磁感应定律得E＝＝·l2，由题图乙知，＝，联立解得E＝，故选项A错误；线框的四边电阻相等，电流相等，则发热功率相等，都为P，故选项C错误；由楞次定律可知，线框中感应电流方向为逆时针，则b端电势高于a端电势，Uba＝E＝，故选项D正确．
题型二　电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝.即q＝n
例4　(2019·江苏卷·14)如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S＝0.3 m2、电阻R＝0.6 Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2 T．现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5 s时间内合到一起．求线圈在上述过程中
(1)感应电动势的平均值E；
(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
(3)通过导线横截面的电荷量q.
答案　(1)0.12 V　(2)0.2 A　电流方向见解析图　(3)0.1 C
解析　(1)感应电动势的平均值E＝
磁通量的变化ΔФ＝BΔS
联立可得E＝，代入数据得E＝0.12 V；
(2)平均电流I＝
代入数据得I＝0.2 A(电流方向见图)；
(3)电荷量q＝IΔt
代入数据得q＝0.1 C.
例5　(2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝＝
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有
E2＝＝
I2＝
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即＝
所以＝.
题型三　电磁感应中的图像问题
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
考向1　感生问题的图像
例6　将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内．回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图像是(　　)
答案　B
解析　根据B－t图像可知，在0～时间内，B－t图线的斜率为负且为定值，根据法拉第电磁感应定律E＝nS可知，该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的，由楞次定律可知，ab中电流方向为b→a，再由左手定则可判断ab边受到向左的安培力，且0～时间内安培力恒定不变，方向与规定的正方向相反；在～T时间内，B－t图线的斜率为正且为定值，故ab边所受安培力大小仍恒定不变，但方向与规定的正方向相同．综上可知，B正确．
考向2　动生问题的图像
例7　(2018·全国卷Ⅱ·18)如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是(　　)
答案　D
解析　设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为i.
线框位移 等效电路的连接 电流
0～ I＝2i(顺时针)
～l I＝0
l～ I＝2i(逆时针)
～2l I＝0
分析知，只有选项D符合要求．
例8　在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd，被限制在沿ab方向的水平直轨道自由滑动．bc边右侧有一正直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ge和ef的长也等于L，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示，线框在水平拉力作用下向右以速度v匀速穿过磁场区，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向．则感应电流i－t图像正确的是(时间单位为)(　　)
答案　D
解析　bc边的位置坐标x在0～L的过程，根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿a→b→c→d→a，为正值．线框bc边有效切线长度为l＝L－vt，感应电动势为E＝Blv＝B(L－vt)·v，随着t均匀增加，E均匀减小，感应电流i＝，即知感应电流均匀减小．同理，x在L～2L过程，根据楞次定律判断出来感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，感应电流仍均匀减小，故A、B、C错误，D正确．
课时精练
1．如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为(　　)
A.E B.E C.E D．E
答案　B
解析　a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电势差为U＝E，选项B正确．
2．如图所示，在一磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L＝0.1 m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻．导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r＝0.2 Ω.当金属棒在水平拉力作用下以速度v＝4.0 m/s向左做匀速运动时(　　)
A．ab棒所受安培力大小为0.02 N
B．N、Q间电压为0.2 V
C．a端电势比b端电势低
D．回路中感应电流大小为1 A
答案　A
解析　ab棒产生的感应电动势E＝BLv＝0.2 V，感应电流I＝＝0.4 A，ab棒受到的安培力大小F＝BIL＝0.02 N，A正确，D错误；N、Q之间的电压U＝E＝0.12 V，B错误；由右手定则得a端电势较高，C错误．
3．有一磁感应强度B随时间t的变化关系如图甲所示的匀强磁场．现有如图乙所示的直角三角形导线框abc水平放置，放在匀强磁场中保持静止不动，t＝0时刻，磁感应强度B的方向垂直纸面向里，设产生的感应电流i顺时针方向为正，竖直边ab所受安培力F的方向水平向左为正．则下面关于F和i随时间t变化的图像正确的是(　　)
答案　A
解析　在0～3 s时间内，磁感应强度随时间线性变化，由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势恒定，回路中感应电流恒定，由F＝BIL可知，安培力与磁感应强度成正比，又由楞次定律判断出回路中感应电流的方向应为顺时针方向，即正方向，0～2 s内安培力水平向右，为负方向，2～3 s内安培力水平向左，为正方向，在3～4 s时间内，磁感应强度恒定，感应电动势为零，感应电流为零，安培力为零，同理可判断出4～7 s内的安培力变化情况，故B、C错误，A正确；0～3 s时间内，磁感应强度随时间线性变化，由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势恒定，回路中感应电流恒定，故D错误．
4．如图甲所示，一铝制圆环处于垂直环面的磁场中，圆环半径为r，电阻为R，磁场的磁感应强度B随时间变化关系如图乙所示，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是(　　)
A．在t＝t0时刻，环中的感应电流沿逆时针方向
B．在t＝t0时刻，环中的电功率为
C．在t＝t0时刻，环中的感应电动势为零
D．0～t0内，圆环有收缩的趋势
答案　B
解析　由磁场的磁感应强度B随时间变化关系图像可知，磁场反向后，产生的感应电流的方向没有改变，0～t0时间内，磁场垂直纸面向里，B减小，根据楞次定律可判断环中的电流方向为顺时针，所以A错误；由图像可得斜率为＝，
则由法拉第电磁感应定律可得，环中的感应电动势为E＝＝＝，环中的电功率为P＝＝，所以B正确，C错误；0～t0内，磁感应强度在减小，所以根据楞次定律可知，圆环有扩张趋势，所以D错误．
5. (2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
答案　B
解析　由法拉第电磁感应定律知棒产生的电动势U＝Br2ω，故A错误；对极板间微粒受力分析，如图所示，
微粒静止，则mg＝qE＝q，得＝，而电容器两极板间电势差与电源电动势相等，即U＝U′，故＝，故B正确；电路中电流I＝＝，则电阻R消耗的电功率P＝I2R＝，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝CU′＝，故D错误．
6．如图所示，半径为L的金属圆环固定，圆环内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.长为L、电阻为r的导体棒OA，一端固定在圆环中心的O点，另一端与圆环接触良好．在圆环和O点之间接有阻值为R的电阻，不计金属圆环的电阻．当导体棒以角速度ω绕O点逆时针匀速转动时，下列说法不正确的是(　　)
A．O点的电势高于A点的电势
B．导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为BL2ω
C．OA两点间电势差大小为
D．增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大
答案　B
解析　由右手定则判断知，导体棒OA中产生的感应电流方向由A到O，O端相当于电源的正极，则O点的电势高于A点的电势，选项A正确；导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝BL＝BL＝BL2ω，选项B错误；感应电流的大小为I＝＝，增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大，选项D正确；OA两点间电势差大小为UOA＝IR＝，选项C正确．
7．如图所示，边长为2L的等边三角形区域abc内部的匀强磁场垂直纸面向里，b点处于x轴的坐标原点O；一与三角形区域abc等高的直角闭合金属线框ABC，∠ABC＝60°，BC边处在x轴上．现让金属线框ABC沿x轴正方向，以恒定的速度v穿过磁场，在t＝0时，线框B点恰好位于原点O的位置．规定逆时针方向为线框中感应电流的正方向，在下列四个i－x图像中，能正确表示线框中感应电流随位移变化关系的是(　　)
答案　D
解析　当△ABC向前移动L的过程中，只有AB边切割磁感线，根据楞次定律可得电流方向为逆时针方向，当移动L时有效切割长度为·AC＝，所以感应电流为；当△ABC向前移动L～2L的过程中，除AB边切割磁感线外，AC边也切割磁感线，感应电动势逐渐减小到零，根据楞次定律可得电流方向为逆时针方向，当移动2L时有效切割长度为0，感应电流为零；当△ABC向前移动2L～3L的过程中，只有AC边切割磁感线，根据楞次定律可得电流方向为顺时针方向，最大的感应电动势为LBv，所以最大的感应电流为，当△ABC离开磁场的过程中，感应电流逐渐减小，所以A、B、C错误，D项正确．
8．如图甲所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，磁场方向相反，且与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，在y轴方向足够长．现有一高和底均为L的等腰三角形导线框，顶点a在y轴上，从图示x＝0位置开始，在外力F的作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域．在运动过程中，线框bc边始终与磁场的边界平行．线框中感应电动势E大小、线框所受安培力F安大小、感应电流i大小、外力F大小这四个量分别与线框顶点a移动的位移x的关系图像中正确的是 (　　)
答案　B
解析　线框从开始进入到全部进入第一个磁场时，因切割磁感线的有效长度均匀减小，由E＝B(L－x)v可知，电动势也均匀减小；由闭合电路欧姆定律得，感应电流也均匀减小；线框匀速运动，外力F与安培力大小相等，F＝F安＝，外力F与安培力不是均匀减小，与x不是线性关系，故B正确，A、C、D错误．
9．如图所示，两电阻不计的足够长光滑导轨倾斜放置，上端连接一电阻R，空间有一垂直导轨平面向上的匀强磁场B，一质量为m的导体棒与导轨接触良好，从某处自由释放，下列四幅图像分别表示导体棒运动过程中速度v与时间t关系、加速度a与时间t关系、机械能E与位移x关系、以及通过导体棒电荷量q与位移x关系，其中可能正确的是(　　)
答案　C
解析　根据牛顿第二定律，导体棒在沿导轨方向有mgsin θ－＝ma，可得a＝gsin θ－，可知，速度逐渐增大，其他物理量不变，加速度逐渐减小，而v－t图像中斜率表示加速度，v－t图像的斜率应逐渐减小，A错误；导体棒加速度a＝gsin θ－，则＝－·＝－，故a－t图像斜率逐渐减小，B错误；开始时，合力方向沿导轨向下，位移沿导轨向下，合力做正功，动能增加，由动能定理有WF＋WG＝ΔEk，又WG＝－ΔEp，联立可得ΔEk＋ΔEp＝WF<0，因此，机械能减小，当加速度为零时，导体棒继续匀速下滑，此后动能不变，重力势能减小，机械能减小，C正确；电荷量q＝IΔt，在电磁感应中，电流与磁通量的关系为I＝，联立可得q＝＝，可知，电荷量与位移成正比，D错误．
10．在如图甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝2R，圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2　
(1)判断通过电阻R2的电流方向、电容器上极板所带电荷的电性；
(2)求线圈中产生的感应电动势的大小E；
(3)求稳定后电阻R2两端的电压U2.
答案　(1)方向向右　带负电　(2)　(3)
解析　(1)由题图乙，可知磁感应强度减小，根据楞次定律的增反减同判断出线圈中感应电流方向为顺时针，则电阻R2的电流方向向右，电容器上极板带负电．
(2)根据法拉第电磁感应定律，有E＝，S＝πr22，＝，解得E＝.
(3)电路中的电流已稳定，电容器充电完毕，在电路中相当于断路，根据电路的分压原理，有U2＝E
解得U2＝.
11．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡L1、L2，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯泡L1足够远．现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯泡恰好正常工作．棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计．
(1)求磁场移动的速度；
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B0.试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt.
答案　(1)　(2)B0±t
解析　(1)当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则电路中路端电压
U外＝U
由电路的分压之比得U内＝2U
则感应电动势为E＝U外＋U内＝3U
由E＝B0lv＝3U
可得v＝
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与L1并联后再与L2串联，则正常工作的灯泡为L2，所以L2两端的电压为U，电路中的总电动势为
E＝U＋＝
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝ld
联立解得＝
所以经过时间t时磁感应强度的可能值Bt＝B0±t.

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