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实验十二　用单摆测量重力加速度的大小
目标要求　1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法．
实验技能储备
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．
2．实验器材
单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表．
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．
(6)改变摆长，重做几次实验．
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度．
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝
T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．
5．注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
(4)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
(5)一般选用一米左右的细线．
考点一　教材原型实验
例1　实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验．
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________.(用l、n、t表示)
(2)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________．(填选项前的字母)
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图__________中所示的固定方式．
(4)某实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示，这样做的目的是________．(填选项前的字母)
A．保持摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(5)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为_______ mm.
(6)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________．(填选项前的字母)
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期
(7)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量．你认为横坐标所代表的物理量是________(填“l2”“l”或“”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．
(8)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是________．(填选项前的字母)
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下停表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
D．测量摆长时，以悬点到小球下端边缘的距离为摆长
答案　(1)　(2)AC　(3)乙　(4)AC　(5)12.0　(6)BC　(7)　　(8)CD
解析　(1)单摆的周期T＝，由单摆周期公式T＝2π得重力加速度g＝＝.
(2)为了便于测量周期和减小空气阻力，摆线选择较细且结实、无弹性的线，故选A；为了减小空气阻力的影响，摆球选择质量大体积小的，故选C.
(3)为了避免运动过程中摆长发生变化，悬点要固定，不能松动，则选题图乙．
(4)这样做的目的是便于调节摆长，把摆线夹得更紧一些，使摆动过程中摆长不变，因此A、C正确．
(5)摆球的直径为d＝12.0 mm.
(6)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；将停表测量摆球完成一次全振动所用时间作为单摆的周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误．
(7)根据单摆周期公式T＝2π＝ ，所以应该作出T－图像，故横坐标所代表的物理量是，斜率k＝，解得g＝.
(8)由周期公式T＝2π，得g＝，单摆振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下停表，周期偏大，则g偏小，故B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，周期偏小，则g偏大，故C正确；摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，若测量摆长时以悬点到小球下端边缘的距离为摆长，摆长偏大，g＝，所以g偏大，故D正确．
例2　某同学在“用单摆测定重力加速度的大小”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺测量摆球的直径如图，可读出摆球的直径为________ cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L.
(2)用停表测量单摆的周期，测定了40次全振动的时间如图所示，那么停表读数是________ s.
(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线，此图线斜率的物理意义是________．
A．g B.
C. D.
(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小________．
A．偏大 B．偏小
C．不变 D．都有可能
答案　(1)2.06　(2)75.2　(3)C　(4)C
解析　(1)用游标尺测量摆球的直径为2 cm＋0.1 mm×6＝2.06 cm
(2)停表读数是1 min＋15.2 s＝75.2 s
(3)根据T＝2π，可得T2＝L
可知T2－L图像的斜率为，故选C.
(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长
T＝2π，可得T2＝L＋
图像的斜率不变，则由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小不变，故选C.
考点二　探索创新实验
例3　(2022·山东菏泽市调研)在探究单摆运动的实验中：
(1)图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________s，摆长为________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)．
(2)单摆运动的回复力是________．
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C．摆线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________．
A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B．用米尺量得细线长度l，即摆长为l
C．在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球
D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案　(1)0.5　0.64　(2)B　(3)AC
解析　(1)摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题图(b)的信息可得，所对应的时刻为t＝0.5 s．根据题图(b)的信息可得，单摆周期T＝1.6 s，由单摆周期公式T＝2π，解得摆长为l＝0.64 m.
(2)单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项B正确．
(3)测得摆长应为l＋，选项B错误；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆的周期，选项D错误．
课时精练
1．在“用单摆测量重力加速度”实验中．(如图所示)
(1)下列操作正确的是________．
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝.其他操作步骤均正确．多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是________．
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将______．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案　(1)BD　(2)D　(3)偏大
解析　(1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为小球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确．
(2)根据T＝2π得，T2＝，可知T2与L成正比，故D正确，A、B、C错误．
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝知，测得的重力加速度偏大．
2．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中．
(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图所示，则摆球直径d＝________ cm，再测量摆线长l，则单摆摆长L＝________(用d、l表示)；
(2)摆球摆动稳定后，当它到达_______(填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3…)，当n＝60时刚好停表．停止计时的停表如图所示，其读数为_______ s，该单摆的周期为T＝______ s(周期要求保留三位有效数字)；
(3)计算重力加速度测量值的表达式为g＝________(用T、L表示)，如果测量值小于真实值，可能原因是________；
A．将摆球经过最低点的次数n记少了
B．计时开始时，停表启动稍晚
C．将摆线长当成了摆长
D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长
(4)正确测量不同摆长L及相应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与L的关系图线，如图所示．由图线算出重力加速度的大小g＝________ m/s2(保留3位有效数字，计算时π2取9.86)．
答案　(1)1.84　＋l　(2)最低点　67.5　2.25　(3)　AC　(4)9.86
解析　(1)摆球直径d＝1.8 cm＋0.1 mm×4＝1.84 cm；
单摆摆长L＝＋l；
(2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3……)，当n＝60时刚好停表．停止计时的停表读数为67.5 s，该单摆的周期为
T＝＝ s＝2.25 s；
(3)根据T＝2π可得计算重力加速度测量值的表达式为g＝
将摆球经过最低点的次数n记少了，则计算周期T偏大，则g测量值偏小，选项A正确；计时开始时，停表启动稍晚，则周期测量值偏小，则g测量值偏大，选项B错误；将摆线长当成了摆长，则L偏小，则g测量值偏小，选项C正确；将摆线长和球的直径之和当成了摆长，则L偏大，则g测量值偏大，选项D错误．
(4)根据T＝2π可得T2＝L，由图像可知k＝＝＝4，解得g＝9.86 m/s2.
3．(2022·湖南省雅礼中学高三月考)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．
答案　2t0　变小　变小
解析　单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R－t图线可知周期T＝2t0.摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，摆球的直径变小，摆线长度不变，则摆长减小，根据T＝2π知周期变小．摆球的直径减小，则挡光的时间变短，所以Δt将变小．

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