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考情解读 备考指导
2021·广东卷·T16(1)　简谐运动 2021·湖南卷·T16(1)　振动图像、机械波 2021·河北卷·T16(1)　简谐运动 2021·浙江6月选考·T9　机械波 2020·北京卷·T6　振动图像和波的图像 2020·天津卷·T4　波的图像 2020·山东卷·T4　波的图像 2020·浙江7月选考·T17(2)　实验：用单摆测量重力加速度的大小 　　本章多以振动图像和波的图像为载体，综合考查机械振动和机械波．内容包括简谐运动的成因、图像和振动规律，波的形成、传播及图像．对于波的干涉、衍射、多普勒效应等机械波的特性问题也有涉及．机械振动和机械波的考查常以振动图像或波的图像展开，两者常结合在一起考查，波的形成和传播规律结合波速公式是考查的重点，有时涉及多解问题．要理解波的图像和振动图像的相互转化，根据振动图像判断振动方向，根据波的图像确定波的传播方向、传播时间等．学会结合简谐运动图像及波的图像解决波的传播的多解问题，以及相干波的叠加问题等.
试题情境 生活实践类：共振筛、摆钟、地震波、多普勒彩超等
学习探究类：简谐运动的特征、单摆的周期与摆长的定量关系、用单摆测量重力加速度的大小、受迫振动的特点、共振的条件及其应用、波的干涉与衍射现象、多普勒效应
第1讲　机械振动
目标要求　1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图像.2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件．
考点一　简谐运动的规律
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．
3．回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．
1．简谐运动的回复力可以是恒力．(　×　)
2．简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置．(　×　)
3．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的．(　×　)
4．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小．(　√　)
对简谐运动的理解
受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′ (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
考向1　简谐运动基本物理量的分析
例1　如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点．现使小物块在M、N两点间沿光滑水平面做简谐运动，在此过程中(　　)
A．小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
B．小物块每次运动到N点时的加速度一定相同
C．小物块从O点向M点运动过程中做加速运动
D．小物块从O点向N点运动过程中机械能增加
答案　B
解析　根据F＝－kx可知小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，故A错误；根据a＝－可知小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，故B正确；小物块从O点向M点运动过程中加速度方向与速度方向相反，做减速运动，故C错误；小物块从O点向N点运动过程中弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减少，故D错误．
考向2　简谐运动的周期性与对称性
例2　一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点经过O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点(　　)
A．7 s B．14 s C．16 s D. s
答案　C
解析　由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确．
考点二　简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝.
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin t
乙：x＝Asin (t＋)．
1．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹．(　×　)
2．简谐运动的振动图像一定是正弦曲线．(　√　)
从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f )和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
例3　如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像．下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在O点两侧关于O点对称
C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
答案　C
解析　在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B错误；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误．
例4　某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．1 s和3 s时刻，质点的速度相同
B．1 s到2 s时间内，质点的速度与加速度方向相同
C．简谐运动的表达式为y＝2sin (0.5πt＋1.5π) cm
D．简谐运动的表达式为y＝2sin (0.5πt＋0.5π) cm
答案　D
解析　y－t图像上某点的切线的斜率表示速度；1 s和3 s时刻，质点的速度大小相等，方向相反，故A错误；1 s到2 s时间内，质点做减速运动，故加速度与速度反向，故B错误；振幅为2 cm，周期为4 s，ω＝＝ rad/s＝0.5π rad/s，t＝0时，y＝2 cm，则φ＝0.5π，故简谐运动的表达式为y＝Asin (ωt＋φ)＝2sin (0.5πt＋0.5π) cm，故C错误，D正确．
考点三　单摆及其周期公式
1．定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆．(如图)
2．视为简谐运动的条件：θ<5°.
3．回复力：F＝mgsin θ.
4．周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．
(2)g为当地重力加速度．
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动．(　×　)
2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定．(　×　)
3．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零．(　×　)
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动．
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，FT－mgcos θ＝m.
①当摆球在最高点时，v＝0，FT＝mgcos θ.
②当摆球在最低点时，FT最大，FT＝mg＋m.
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆处在电梯中处于超重、失重状态时，重力加速度为等效重力加速度．
例5　学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中不正确的是(　　)
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
答案　A
解析　单摆的周期与振幅与摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2π可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确；由加速度公式a＝＝，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确．
例6　如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑小钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处无初速度释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，重力加速度为g，小球可看成质点，则此摆的周期是(　　)
A．2π B．2π
C．2π(＋) D．π(＋)
答案　D
解析　悬点在O点时，单摆摆长为L，此时单摆的周期为T1＝2π.悬点在O′点时，单摆摆长为L－＝，此时单摆的周期为T2＝2π.当小球在A、B、C间来回振动时，此摆的周期为＋＝π(＋)，故选D.
考点四　受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线(如图所示)．
f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关．(　×　)
2．物体在发生共振时的振动是受迫振动．(　√　)
3．驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大．(　×　)
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动 项目　　 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
例7　如图所示为某物体做受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是(　　)
A．物体的固有频率等于f0
B．物体做受迫振动时的频率等于f0
C．物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同
D．为避免共振发生应该让驱动力的频率接近f0
答案　A
解析　由题图可知，物体的固有频率等于f0，选项A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率才是f0，即物体做受迫振动的频率不一定等于f0，选项B错误；物体做受迫振动时振幅相同，频率不一定相同，选项C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0，选项D错误．
例8　(2021·浙江1月选考·15改编)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则(　　)
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率相同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案　D
解析　根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A错误； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确．
课时精练
1. 如图所示，足够长的光滑固定斜面的倾角为θ，劲度系数为k的轻弹簧上端固定在斜面的挡板上，下端固定有质量为m的小球，重力加速度为g.将小球沿斜面上移并保持弹簧处于原长状态，然后松开小球，则(　　)
A．小球运动过程中机械能守恒
B．小球在最低点的加速度大小为0
C．弹簧弹力充当小球运动的回复力
D．小球做简谐运动的振幅为
答案　D
解析　小球运动过程中，除重力做功外，还有弹簧的弹力做功，则小球的机械能不守恒，选项A错误；根据对称性可知，小球在最低点时的加速度大小等于开始时弹簧处于原长时的加速度大小，即加速度大小为a＝gsin θ，选项B错误；弹簧弹力与重力沿斜面方向的分力的合力充当小球运动的回复力，选项C错误；小球的运动满足mgsin θ＝kA，可知小球做简谐运动的振幅为A＝，选项D正确．
2．关于单摆，下列说法正确的是(　　)
A．将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变小
B．将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C．当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D．当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
答案　C
解析　将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2π可知，单摆周期变大，选项A错误；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误．
3. 一个单摆在地面附近做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法有误的是(　　)
A．此单摆的固有周期为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
答案　C
解析　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故选C.
4. 如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆．下列说法错误的是(　　)
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同但加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π
C．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案　C
解析　某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播振动形式，还传播能量，故C错误，D正确．
5. 如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动．运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　)
答案　C
6．(2021·河北卷·16(1))如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m．该弹簧振子的周期为________ s，振幅为________ m.
答案　4　0.2
解析　根据简谐运动对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，而振子从A到B经过了半个周期，则周期为T＝2t＝4 s.
从A到B经过了半个周期，路程为s＝0.4 m，则振子经过一个完整的周期的路程为0.8 m，故有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m.
7．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，则下列说法中错误的是(　　)
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
答案　C
解析　由题图可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公式T＝2π可得，甲、乙两单摆的摆长相等，故A、B正确；两单摆摆球的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故C错误；在t＝0.5 s时，乙摆在负向最大位移处，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故D正确．
8. 科技馆内有共振秋千，参观者坐上秋千，双脚离地，前后摆动，会发现对面的球摆也在跟着大幅度摆动．关于这个现象，以下说法不正确的是(　　)
A．如果改变对面球的质量，会使球摆动幅度变小
B．秋千系统的重心高度与对面球摆的重心高度大致相同
C．如果对秋千施加一个周期性的驱动力，摆球的振动周期与该驱动力周期相同
D．若把共振秋千移到太空舱中则无法实现共振现象
答案　A
解析　球发生摆动是因为参观者晃动秋千使球做受迫振动，受迫振动的周期和频率等于驱动力的周期和频率，故摆球的振动周期与对该秋千施加的周期性的驱动力的周期相同，C正确；球的摆动幅度和参观者晃动秋千频率与球摆的固有摆动频率有关，根据T＝2π，可知球摆的固有频率只与摆长和重力加速度有关，与质量没有关系，A错误；发现对面的球摆也在跟着大幅度摆动，说明发生共振，周期相同则摆长相同，说明重心高度大致相同，B正确；单摆的重力沿切线方向的分力提供回复力，共振秋千移到太空舱中处于完全失重状态，则不能形成单摆，所以无法实现共振现象，故D正确．
9.(2019·全国卷Ⅱ·34(1))如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是(　　)
答案　A
解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，
小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处N、M距离最低点的高度相同，设小球到达左侧最高点为M点，几何知识可知，OO′＋O′M＝l，OM10．(2021·广东卷·16(1))如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.经时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)．
答案　小于　最大
解析　根据简谐运动的位移公式y＝Asin
则t＝时有
y＝Asin＝－A，
所以小球从最低点向上运动的距离为
Δy＝A－A＝A则小球从最低点向上运动的距离小于.
在t＝时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大．
11．(2018·天津卷·8改编)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
答案　D
解析　若振幅为0.1 m，则t＝＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时，T＝ s.
故选项A、B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知
t＝0时，－＝Asin φ，φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若由C点振动到O点用时1T，振子由C点振动到D点用时T，则T为 s.
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.
综上所述，选项C错误，D正确．

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