资源简介

2022年湖北省武汉七联体高考数学模拟试题
、选择题。（共60分）
本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。第 1-8 小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。第 9-12 小题为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题意要求。
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
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1. 已知集合 = { 2, 1, 0, 1, 2, 3}， = { | 2 4 < 0}，则 ∩ =（ ）
A. {0, 1, 2, 3} B. {1, 2, 3} C. {0, 1, 2} D. { 1, 1, 2, 3}
90ee9a9a9556154d84c00991ad3a761b
3
2. 1 i复数 = 1 + 2i 的虚部为（ ）
A. 15i B.
1
5i C.
1
5 D.
1
5
0358540b62c974e79832bab5e1d8d67a
3. “ < 8”是“方程 2 + 2 + 2 + 4 + = 0表示圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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4. 已知 ∈(0, π2)，2 sin 2 = cos 2 + 1，则 sin =（ ）
A. 1
√
B. 5
√3 2√C. D. 55 5 3 5
bda257be8b252f56a2643c3964e4fd4d
2
5. 1函数 ( ) = | | 的大致图象为（ ） e + 3
49736790ff9f5d75f7c1e56998f8193d
-1-
6. 核酸检测分析是用荧光定量 法，通过化学物质的荧光信号，对在 扩增进程中成指数级
增加的靶标 实时监测，在 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时， 的数量
与扩增次数 满足 lg = lg(1 + ) + lg 0，其中 为扩增效率， 0 为 的初始数量．已知某
被测标本 扩增 10次后，数量变为原来的 100倍，那么该样本的扩增效率 约为（ ）
（参考数据：100.2 ≈ 1.585，10 0.2 ≈ 0.631）
A. 0.369 B. 0.415 C. 0.585 D. 0.631
aa39e58955078bbc035caa2468653edd
2 2
7. 已知双曲线 ： 2 2 = 1（ > 0， > 0）的左、右焦点分别为 1、 2， 是 的渐近线上一
点，| 1 2| = | 2|，∠ 1 2 = 120°，则双曲线 的离心率为（ ）
√ √
A. 52 B.
7
2 C.
3
2 D. √3
0113eac7d0994fce0d049fac9b642ca2
8. ( ) ( )已知函数 ( )的定义域为R， (5) = 4， ( +3)是偶函数，任意 、 ∈[3, +∞)满足 1 21 2 > 0，1 2
则不等式 (3 1) < 4的解集为（ ）
A. (23 , 3) B. ( ∞,
2
3)∪(2, +∞) C. (2, 3) D. (
2
3 , 2)
9d56090b991a014f4109cb17a170f794
9. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能
够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况．下图是 2019年 1月至 2020年 6月中国仓储业务
量指数走势图，则下列说法正确的是（ ）
A. 2019年全年仓储业务量指数的极差为 24%
B. 两年上半年仓储业务量指数均是 2月份最低，4月份最高
C. 两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于 2020年
D. 2019年仓储业务量指数的中位数为 59%
1f507600941230060b30cf55d797fc05
10. 已知 ln > ln > 0，则下列结论正确的是（ ）
A. 1 < 1 B. (1) > (1 3 3)
C. log > log D. 2 +
4
( ) 8
-2-
ddedad0389294844008c5ae86ab6bc23
11. 已知函数 ( ) = 2√3 sin cos + sin2 cos2 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ( ) 5的图象关于点 (12π, 0)对称
B. ( )在 [π4,
π
2]上的值域为 [1, 2]
C. 若 ( 1) = ( 2) = 2，则 1 2 = 2 π， ∈Z
D. 将 ( ) π的图象向右平移 6 个单位长度得 ( ) = 2 cos 2 的图象
e77cdf73ba0534206a6bf3744b988b94
12. 已知三棱柱 1 1 1 为正三棱柱，且 1 = 2， = 2√3， 是 1 1 的中点，点 是线段
1 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 正三棱柱 1 1 1 外接球的表面积为 20π
√
B. 若直线 与底面 所成角为 ，则 sin 7 1的取值范围为 ,
7 2
C. = 2 π若 1 ，则异面直线 与 1 所成的角为 4
D. 若过 且与 垂直的截面 与 交于点 ，则三棱锥 √3的体积的最小值为 2
、填空题。（共20分）
本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将正确的答案填在相应的横线上。
681839fc7b2839cb1cbd03d308023c40
13. 已知向量 = ( 4, 3)， = (6, )，且 ⊥ ，则 = ．
909e196b6701949dc0fd3119e8f529eb
14. 二项式 ( 2 + 1)( 2 7√ 1) 的展开式中的常数项为 ．
b89adc4f8380854b4db0d4c8586fc8bc
2 2 2 , ( < 1)
15. 若函数 ( ) = {
2 3 2
有最小值，则 的一个正整数取值可以为 ．
6 , ( 1)
2b462b6b127e6284ff7efeab535f9639
16. 已知抛物线 2 = 8 的焦点为 ，准线为 ，点 是 上一点，过点 作 的垂线交 轴的正半轴
于点 ， 交抛物线于点 ， 与 轴平行，则 | | = ．
三、计算题。（共72分）
本大题共 6 小题，共 70 分。根据题目要求，写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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-3-
√
17. 在条件① 2 + = 2 cos 5 3，sin = 14 ，② sin 2 sin cos =
1
2 sin 2 ， = √7 ，③
(2 tan + tan ) sin = 2 tan tan ，2 = 3 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 = 3， ，求△ 的面积．
2943ec0817b25208b26421844bc2fe99
18. 已知数列 { }的前 项和为 ，且 2 = 20， = 4 2 + ．
（1）求数列 { }的通项公式．
（2）若数列 { }满足 1 = 3，
1
1 = 1（ 2），求数列 { }的前 项和 ．
-4-
dceaaf65b89a71d0d1856b55febc8df1
19. 某企业从生产的一批零件中抽取 100件产品作为样本，检测其质量指标值 （ ∈[100, 400]）得到
下图的频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
（1）根据频率分布直方图估计这 100件产品的质量指标值的平均数 ．
（2）以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：
（i）从所生产的零件中随机抽取 3个零件，记其中 级零件的件数为 ，求 的分布列和数学期望．
（ii）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按 400个一箱包装，已知一个 级零件
的利润是 12元，一个 级零件的利润是 4元，试估计每箱零件的利润．
dcb4378304791e25f22b0d76ced2352c
20. 如图所示，在三棱台 1 1 1中， ⊥ 1， ⊥ 1， = = 1 = 2 1 1， 、 分别
为 1、 1 1 的中点．
（1）证明： //平面 1 ．
（2）若 ∠ = 120°，求平面 1 和平面 1 1 所成锐二面角的余弦值．
-5-
87053f52fb1a8b060d223d57e674d629
21.
2 2 √3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1（ > > 0）的离心率为 2 ，椭圆 的左、右焦点分别为 1、 2，点
(4, 2)，且△ 1 2 的面积为 2√6．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）过点 (2, 0)的直线 与椭圆 相交于 、 两点，直线 、 的斜率分别为 1、 2，当 1 2
最大时，求直线 的方程．
77c0ed788aad29c7e52a49553a8e719a
22. 已知函数 ( ) = ln( + ) e ．
（1）若 ( )的图象在点 (1, (1))处的切线与直线 2 = 0平行，求 的值．
（2）在（1）的条件下，证明：当 > 0时， ( ) > 0．
（3）当 > 1时，求 ( )的零点个数．
-6-
参考答案与解析
、选择题
94b141c26df55b8dea36e28a3ec3c172
1. 【答案】B
【解析】本题主要考查集合的运算．
因为 2 4 = ( 4) < 0，
所以 0 < < 4，
所以 = { | 2 4 < 0} = (0, 4)，
所以 ∩ = {1, 2, 3}．
故本题正确答案为 B．
7a96f8ab6757037076320ec897f8bbbf
2. 【答案】C
【解析】本题主要考查复数的四则运算．
3
= 1 i 1 + i (1 + i)(1 2i) 3 1由题意 1 + 2i = 1 + 2i = (1 + 2i)(1 2i) = 5 5i，
所以 1的虚部为 5．
故本题正确答案为 C．
b666df2137931f33a168cf7b06e1fd40
3. 【答案】B
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件．
因为 2 + 2 + 2 + 4 + = 0，
所以 ( + 1)2 + ( + 2)2 = 5 ，
所以当 5 > 0，即 < 5时，该方程表示圆．
记 = ( ∞, 8)， = ( ∞, 5)，
因为 ，
所以“ < 8”是“方程 2 + 2 + 2 + 4 + = 0表示圆”的必要不充分条件．
故本题正确答案为 B．
54763c0415d1182cd4e16d7352cd8b39
4. 【答案】B
【解析】本题主要考查简单的三角恒等变换．
因为 2 sin 2 = cos 2 + 1，所以 4 sin cos = 2 cos2 π．因为 ∈(0, 2)，所以 sin > 0，cos > 0，
则 2 sin = cos ．又因为 cos2 + sin2 = 1，所以 (2 sin )2 + sin2 = 1，所以 sin2 = 15，解得
答案解析 第1 （共15 ）
√5 √sin = 55 或 5 （舍去）．
故本题正确答案为 B．
afc003311432495395e2efbdf9c36a65
5. 【答案】D
【解析】本题主要考查函数的概念与性质．
由题意，函数 ( )的定义域为 ( ∞, 0)∪(0, +∞)，关于原点对称，
( )2 ( ) = 1
2
因为 = 1
( )e| | + ( )3 e| |
= ( )，
+ 3
所以函数 ( )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，
所以排除 A项，B项．
2
当 ∈(0, 1)时， ( ) = 1
e| |
< 0，
+ 3
所以排除 C项．
故本题正确答案为 D．
3426f5c7fdc0790207a6be76f85be344
6. 【答案】C
【解析】本题主要考查对数与对数函数．
由题意 lg(100 0) = 10 lg(1 + ) + lg 0，
所以 10 lg(1 + ) = lg 100 = 2，
所以 lg(1 + ) = 0.2，
所以 = 100.2 1 ≈ 0.585．
故本题正确答案为 C．
2830a5eec5c9bb519ab73497b713a034
7. 【答案】B
【解析】本题主要考查圆锥曲线．
设 ( , )， 1( , 0)， 2( , 0)，
由题意 | | = | | = 2 ∠ = π ∠ = π2 1 2 ， 2 2 1 3，
{ = + | 2| cos∠ 所以 2 = 2 { √ ，

= | 2| sin∠ 2 = 3
所以 (2 , √3 )，
因为点 在直线 = 上，
所以 √3 = 2 ，
所以 3 2 = 4 2 = 4( 2 2)，
所以 7 2 = 4 2，
答案解析 第2 （共15 ）
√
= = 7所以 2 ．
故本题正确答案为 B．
91972fc2b4b53209ff96eb7efaa9cec8
8. 【答案】D
【解析】本题主要考查函数的概念与性质．
因为函数 ( + 3)是偶函数，
所以函数 ( )的图象关于直线 = 3对称，
所以 (1) = (5) = 4，
∈[3, +∞) ( 1) ( )因为任意 1、 ， 22 > 0，1 2
所以 ( )在 [3, +∞)上单调递增，
因为函数 ( )的图象关于直线 = 3对称，
所以函数 ( )在 ( ∞, 3]上单调递减，
因为 (1) = (5) = 4， (3 1) < 4，
所以 1 < 3 1 < 5，
2
所以 3 < < 2，
即不等式 (3 1) < 4的解集为 (23 , 2)．
故本题正确答案为 D．
ca4b58fd81dedc8209a001770f1a662e
9. 【答案】AC
【解析】本题主要考查随机抽样．
A项，2019年全年仓储业务量指数 3月份最高，为 66%，2月份最低，为 42%，
所以极差为 66% 42% = 24%．
故 A项说法正确．
B项，根据折线图可知，两年上半年仓储业务量指数均是 2月份最低，3月份最高．
故 B项说法错误．
C项，根据折线图可知，2019年上半年仓储业务量指数的波动比 2020年上半年的波动要小，
所以 2019年上半年仓储业务量指数的方差低于 2020年．
故 C项说法正确．
D项，根据中位数的定义可知，2019年仓储业务量指数的中位数为 58%．
故 D项说法错误．
答案解析 第3 （共15 ）
故本题正确答案为 AC．
4d7b266154bb3122add1a8b85eb5e9e9
10. 【答案】AC
【解析】本题主要考查不等关系与不等式和均值不等式．
因为 ln > ln > 0，
所以 > > 1．
A 1项，因为
1 = < 0，
1 < 1所以 ．
故 A项正确．
B项，因为函数 = (1) 3 在 R上单调递减，且 > > 1，
1
所以 ( ) 3 < (
1
3) ．
故 B项错误．
C项，因为 > > 1，
所以 log > log = 1 = log > log ，
即 log > log ．
故 C项正确．
D项，因为 > 0， > 0，
2
所以 ( ) [ + ( )]2 = 2 4 ，
所以 2 + 4 ( )
2 + 16 2 8，
{ =
16 {
= 2
当且仅当
{
2 = ，即 { 时可取等号， 2 = 1
因为 > > 1，
所以 2 + 4 ( ) > 8．
故 D项错误．
故本题正确答案为 AD．
9f5eca540e2edc78b513101715d208c3
11. 【答案】BD
【解析】本题主要考查三角函数、倍角公式与半角公式以及两角和与差公式．
由题意 ( ) = 2√3 sin cos + sin2 cos2
= √3 sin 2 cos 2
= 2 sin(2 π6)．
A 5π 2π项，因为 (12) = 2 sin 3 = √3，
答案解析 第4 （共15 ）
(5π所以 12 , 0)不是函数 ( )图象的对称中心．
故 A项错误．
B项，当 ∈[π π4, 2]时，2
π∈[π , 5π6 3 6 ]，
π π π
所以当 ∈[4 , 2]时， ( ) = 2 sin(2 6)∈[1, 2]．
故 B项正确．
C项，因为 ( 1) = ( 2) = 2，
所以 2 1
π
6 =
π
2 + 2 1π，2 2
π
6 =
π
2 + 2 2π， 1∈Z， 2∈Z，
所以 1 2 = ( 1 2)π， 1∈Z， 2∈Z，
所以 1 2 = π， ∈Z．
故 C项错误．
D项，将函数 ( ) π的图象向右平移 6个单位得到 ( ) = 2 sin[2(
π
6)
π
6] = 2 sin(2
π
2) = 2 cos 2
的图象．
故 D项正确．
故本题正确答案为 BD．
68d8aface3df2824169c4a679907edc8
12. 【答案】AD
【解析】本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间几何体．
A项，由正弦定理可得△ 的外接圆半径为 =
2 sin π
= 2，
3
所以三棱柱 1 1 1 的外接球半径为 = √(
1 )2 + 22 = √5，
所以三棱柱 1 1 1 的外接球的表面积为 = 4π 2 = 20π．
故 A项正确．
B项，如图，取 的中点 ，连接 、 、 、 1 ，
根据图形可知：
√
当点 与点 重合时， 最大，此时 = 2， = √22 + (√3)2 = √7，sin = 2 2 7√ = ；7 7
当点 2 1与点 1 重合时， 最小，此时 = 2， = √22 + (2√3)21 1 = 4，sin = 4 = 2，
1 2√7所以 sin ∈ 2 , 7
．

故 B项错误．
C项，如图，将正三棱柱补全为直四棱柱，则 1// ，
所以异面直线 与 1 所成的角为 ∠ 或者它的补角，
因为 ∠ 1 = 90°，
所以 = √(2√3)2 + 22 = 4，
因为 = √(2√3)2 + 22 = 4， = √22 + 22 = 2√2，
答案解析 第5 （共15 ）
2
cos∠ = 4 + (2
√2)2 42 √ √
所以 √ =
2 ≠ 2，
2 × 4 × 2 2 4 2
所以 ∠ ≠ π4．
故 C项错误．
D项，注意到三棱锥 的体积为定值，
所以若要三棱锥 的体积最小，则三棱锥 的体积最大，
则点 到平面 的距离最大，
设点 为 的中点，考虑截面 1 ，
因为 ⊥平面 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
从截面图可知，点 到平面 1 3的最大距离为 = 2 | | = 2，
1 π
因为 2△ = 2 × (2√3) sin 3 = 3√3，
所以 =
= 13 △ ( 1 )
= 13 × 3√3 × (2
3
2)
√
= 32 ．
故 D项正确．
故本题正确答案为 AD．
、填空题
aca25dc396c7963a515f911e76271af9
13. 【答案】8
【解析】本题主要考查平面向量的数量积．
因为 = ( 4, 3)， = (6, )， ⊥ ，
则有 = 0，
则 24 + 3 = 0，解得 = 8．
故本题正确答案为 8．
866c8845e4c98007a587946392e0fe7b
答案解析 第6 （共15 ）
14. 【答案】 561
【解析】本题主要考查二项式定理．
7
2
由二项式定理可知，(√ 1)
7 2的展开式中第 +1项为 = ( )7 ( 1) = ( 1) 27 +1 7 √ 7
2 ，
( 2所以 √ 1)
7的展开式中 2项的系数以及常数项分别为 ( 1)3 24 3 77 = 560以及 ( 1) 20 77 = 1，
所以 ( 2 + 1)( 2 7√ 1) 的展开式中的常数项为 560 + ( 1) = 561．
故本题正确答案为 561．
247cceb9f4a994e82acc8b636dc18f1e
15. 【答案】4（答案不唯一，填 1、2、3亦可）
【解析】本题主要考查函数的概念与性质和导数在研究函数中的应用．
当 1时， ( ) = 2 3 6 2， ′( ) = 6 2 12 = 6 ( 2)，
所以当 ∈[1, 2)时， ′( ) < 0；当 ∈(2, +∞)时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )在 [1, 2]上单调递减，在 (2, +∞)上单调递增，
因为当 < 1时， ( ) = 2 2 2 ，
所以函数 ( )在 ( ∞, 1)上单调递增，
所以函数 ( )在 ( ∞, 1)上单调递增，在 [1, 2]上单调递减，在 (2, +∞)上单调递增，
因为函数 ( )有最小值，
所以 2 (2) = 8，
所以 4，
所以 的一个正整数取值为 4（答案不唯一，填 1、2、3亦可）．
故本题正确答案为 4（答案不唯一，填 1、2、3亦可）．
b1511e8050e921122354a8d1d8ca60f0
16. 【答案】6
【解析】本题主要考查圆锥曲线．
由题意 (0, 2)，准线方程为 = 2，
( , 2) = 2 ( 2)
2
不妨设 ，则 0 =
4 ( , ， 8 )，
因为 ⊥ ，
= 1所以 =

4，

所以直线 ： + 2 = 4 ( )，
= 0 = + 8令 ，得到 ，
8
所以 ( + , 0)，
因为 、 、 三点共线，
所以 = ，
答案解析 第7 （共15 ）
22 8 2 0
所以 0 = ，0 ( + 8 )
整理可得 4 + 8 2 128 = ( 2 8)( 2 + 16) = 0，
所以 2 = 8，
| | = √( + 8所以 )2 + 22
= √ 2 + 64 2 + 20
= √8 + 8 + 20
= 6．
故本题正确答案为 6．
三、计算题
519471614e42c29fa6e275769b1ee0d7
17. 【答案】 √选①：2 + = 2 cos ，sin = 5 314 ．
由正弦定理可得 2 sin + sin = 2 sin cos ，
所以 2 sin( + ) + sin = 2 sin cos ，
所以 2 cos sin + sin = 0， ......2分
因为 ∈(0, π)，
所以 sin ≠ 0，
所以 cos = 12， ......4分
因为 ∈(0, π)，
= 2π所以 3 ， ......6分

由正弦定理可得 sin = sin ，
√3
= sin 2 7所以 sin = √ = 5， ......8分5 3
14
设 = 5 ， = 7 （ > 0），
2 + 2 2
由余弦定理可得 cos = 2 ，
25 2 + 9 49 2 1
所以 2 × 5 × 3 = 2，
答案解析 第8 （共15 ）
所以 24 2 15 9 = ( 1)(24 + 9) = 0，
因为 > 0，
所以 = 1，
所以 = 5， = 7， ......10分
√
所以 △ =
1
2 sin =
15 3
4 ． ......12分
选②： sin 2 sin cos = 12 sin 2 ， = √7 ．
由正弦定理可得 sin sin 2 sin2 cos = 12 sin 2 sin ，
所以 2 sin cos sin sin2 cos = sin cos sin ，
因为 ∈(0, π)，
所以 sin ≠ 0，
所以 2 cos sin = sin cos + cos sin = sin ， ......2分
因为 ∈(0, π)，
所以 sin ≠ 0，
所以 cos = 12， ......4分
因为 ∈(0, π)，
π
所以 = 3， ......6分
cos =
2 + 2 2
所以由余弦定理可得 2 ，
2 + 9 7 2 1
所以 2 × × 3 = 2， ......8分
整理可得 2 2 + 3 = ( 1)(2 + 3) = 0，
因为 > 0，
所以 = 1， ......10分
1 √
所以 △ = 2 sin =
3 3
4 ． ......12分
选③：(2 tan + tan ) sin = 2 tan tan ，2 = 3 ．
2 sin sin 2 sin
所以 cos + cos = cos cos ，
所以 2 cos sin + cos sin = 2 sin ， ......2分
由正弦定理可得 2 cos + cos = 2 ，
2
2 +
2 2 2 2 2
由余弦定理可得 2 +
+
2 = 2 ，
整理可得 2 + 3 2 2 = 4 ， ......4分
因为 2 = 3 ， = 3，
所以 22 + 3 × 32 2 = 4 × 2 × 3，
所以 = √7， ......6分
2
cos = +
2 2 1
所以 2 = 2， ......8分
因为 ∈(0, π)，
√
所以 sin = √1 cos2 = 32 ， ......10分
答案解析 第9 （共15 ）
√
所以 △ =
1
2 sin =
3 3
2 ． ......12分
【解析】本题主要考查两角和与差公式和正弦定理与余弦定理．
1
若选①，根据两角的和与差公式以及 ∈(0, π)可以得到 cos = 2，从而可以使用正弦定理得到

=
7
5，再使用余弦定理可以求出 、 的值，从而可以求出△ 的面积．
1
若选②，根据两角和与差公式以及 ∈(0, π)可以计算出 cos = 2，再根据余弦定理可以计算出
的值，进而可以求出△ 的面积．
若选③，首先对题干中的等式进行转化，再使用正弦定理和余弦定理对等式变形，得到 2+3 2 2 =
4 ，从而可以求出 的值，再使用余弦定理可以求出 cos 的值，从而可以求出△ 的面积．
25caa2429c353798ba238c984f921ca3
18. 【答案】（1）因为 = 4 2 + ，
所以 1 = + 4， 2 = 2 + 16，
所以 2 = 2 1 = + 12 = 20，
所以 = 8， ......2分
所以 1 = 1 = 12， = 4 2 + 8 ，
所以当 2时， 1 = 4( 1)2 + 8( 1) = 4 2 4，
所以当 2时， = 1 = 8 + 4， ......4分
因为 1 = 12，
所以 = 8 + 4（ ∈N ）． ......5分
（2）因为 1 = 8 4，
所以 1 = 8 4（ 2， ∈N ），
所以 = ( 1) + + ( 2 1) + 1
= (8 4) + (8 12) + + (8 × 2 4) + 3
= (8 4 + 12)( 1)2 + 3
= 4 2 1（ 2）， ......7分
因为 1 = 3，
所以 = 4 2 1（ ∈N ）， ......8分
1 = 1 = 1 1 1所以 4 2 1 2
(2 1 2 + 1)， ......10分
1 1 1
所以 = + + +1 2
= 12(1
1
3 +
1 1 1 13 5 + + 2 1 2 + 1)
= 12 × (1
1
2 + 1)
= 2 + 1． ......12分
【解析】本题主要考查数列的递推与通项、等差数列以及数列的求和．
（1）首先根据 2 = 20求出 的值，再递推作差并验证 1 = 12，得到 = 8 + 4（ ∈N ）．
答案解析 第10 （共15 ）
（2）根据累加法可以求出 { }的通项公式，再根据裂项法可以求出 的表达式．
93185d6035db980c876c7c9faf6ce14b
19. 【答案】（1）由题意 = 125×0.05+175×0.1+225×0.15 +275×0.4+325×0.25+375×0.05 = 267.5．
......2分
（2）（i）因为一个零件为 级的概率为 = 1 2 × 50 × 0.001 = 0.9， ......3分
所以 (3, 0.9)， ......4分
所以 ( = ) = 3 (1 )3 ， = 0、1、2、3，
所以 ( = 0) = 0.001， ( = 1) = 0.027， ( = 2) = 0.243， ( = 3) = 0.729， ......6分
所以随机变量 的分布列为：
......7分
所以 ( ) = = 3 × 0.9 = 2.7． ......8分
（ii）设每箱中 级零件有 个， 级零件有 (400 )个，每箱零件的利润为 元，
所以 = 12 + 4(400 ) = 8 + 1600， ......9分
因为 (400, 0.9)，
所以 ( ) = 400 × 0.9 = 360， ......10分
所以 ( ) = 8 ( ) + 1600
= 8 × 360 + 1600
= 4480元，
即估计每箱零件的利润为 4480元． ......12分
【解析】本题主要考查随机抽样和随机变量及其分布．
（1）根据平均值的定义进行计算即可．
（2）（i）首先计算出一个零件为 级的概率，然后判断出 (3, 0.9)，从而可以求出 的分布列
和数学期望．
（ii）设每箱中 级零件有 个， 级零件有 (400 )个，每箱零件的利润为 元．根据定义可得
到 = 12 + 4(400 ) = 8 + 1600，判断出 (400, 0.9)，从而可以求出 ( )，从而可以求出
随机变量 的数学期望，即估计出了每箱零件的利润．
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20. 【答案】（1）如图，取 1 的中点 ，连接 、 ，
因为点 是 1 的中点，点 是 1 的中点， // 1 1
所以 是梯形 1 1 的中位线，
所以 // ， ......1分
因为点 是 1 1 的中点，点 是 1 的中点，
所以 是△ 1 1 的中位线，
所以 // 1， ......2分
因为 ∩ = ， ∩ 1 = ， 、 平面 ， 、 1 平面 1 ，
所以平面 //平面 1 ， ......3分
答案解析 第11 （共15 ）
因为 平面 ，
所以 //平面 1 ． ......4分
（2）因为 ⊥ 1， ⊥ 1， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1⊥平面 ， ......5分
如图，过点 作 ⊥ 交 于点 ，则 、 1、 两两互相垂直，
如图，以点 为坐标原点， 、 1、 所在的直线为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，
不妨设 = 2，
√
所以 ( 1, 0, √3)， (0, 0, 0)， (2, 0, 0)， 1 3 1 2, 2, 2
， 1(0, 2, 0)，

√
所以 = (3, 0, √3)， 1 = (2, 2, 0)， 1 =
1
1 2, 0,
3
2
， ......7分

设平面 1 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
{ 1 = 0 { 3 1 √3 1 = 0所以 {

，即 ， 1 1 = 0 { 2 1 2 1 = 0
{ 1 = 1
令 1 = 1
{
，得到 = 1 1 ， ......8分{
{ 1 = √3
所以 1 = (1, 1, √3)，
设平面 1 1 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
{ 1 2 = 0
{{ 2 2 2 2 = 0
所以
{


，即
= 0 { 1 √3
，
1 1 2 { 2 2 2 2 = 0
{ 2 = √3
令 2 = √3
{
得到 2 = √3，{
{ 2 = 1
所以 2 = (√3, √3, 1)， ......10分
设平面 1 和平面 1 1 所成锐二面角的大小为 ，
所以 cos = | cos 1, 2 |
| = 1 2|
| || 1 2|
1 × √3 + 1 × √3 + √= 3 × 1
√12 + 12 + (√3)2 × √(√3)2 + (√3)2 + 12
= 3
√3
√35
= 3
√105
35 ，
√
即平面 1 和平面 1 1
3 105
所成锐二面角的余弦值为 35 ． ......12分
答案解析 第12 （共15 ）
【解析】本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用．
（1）取 1的中点 ，连接 、 ，根据梯形的中位线定理和三角形的中位线定理得到 // 、
// 1，从而可以根据面面平行的判定定理得到平面 //平面 1 ，从而可以得到 //平
面 1 ．
（2）首先判断出 1⊥平面 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，可以判断出 、 1、 两
两互相垂直，从而可以建立如图所示的空间直角坐标系．设 = 2，可以写出相关点和向量的坐
标，求出平面 1 和平面 1 1 的法向量，即可求出平面 1 和平面 1 1 所成锐二面角的
余弦值．
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21. 【答案】 { √ = = 3{{ 2
（1）由题意 1{ △ = 2 2 × 2 = 2√6
， ......2分
{ 1 2
{ 2 = 2 + 2
{ 2{ = 8
所以 2 = 2 ，{
{ 2 = 6
2 2
所以椭圆 的标准方程为 8 + 2 = 1． ......4分
（2）当直线 2 2 1的斜率为 0时， 1 2 = √ √ = 2． ......5分4 2 2 4 + 2 2
当直线 的斜率不为 0时，设直线 的方程为 = + 2，
2 2{ +
联立 8 2
= 1 得到 ( 2 + 4) 2 + 4 4 = 0， ......6分
{ = + 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
所以 1 + 2 =
4 4
2 + 4， 1 2 = 2 + 4， ......7分
所以 2 1 2 21 2 = 4 1 4 2
= (2 1)(2 2)[4 ( 1 + 2)][4 ( 2 + 2)]
= 4 2( 1 + 2) + 1 24 2 ( 1 + 2) + 2 1 2
答案解析 第13 （共15 ）
4 8 + 4 2 + 4 2= + 4
4 2 ( 4 ) 4
2
2 + 4 + 2 + 4
2= + 2 + 32 2 + 4
= 1 + 2 + 12 2 2 + 4， ......9分
令 = 2 + 1 = 1，则 2 ，
当 = 0 1时， 1 2 = 2；
当 ≠ 0时， 1 2 =
1
2 +

2( 1)22 + 4
= 1 2 2 + 2 2 + 9
= 1 + 22 ， + 9 2
= + 9因为 2∈( ∞, 8]∪[4, +∞)，
1 2
所以当 = 3时，( 1 2)max = 2 + 4 = 1，
此时 = 2 + 1 = 3，所以 = 1， ......11分
此时直线 的方程为 2 = 0． ......12分
【解析】本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线．
（1）根据椭圆的离心率和△ 1 2的面积，可以求出椭圆 的参数，从而可以求出椭圆 的标准
方程．
（2）当直线 的斜率为 0 时，可以求出 1 2 =
1
2．当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为
= + 2，与椭圆方程联立，使用韦达定理表示出 1 + 2、 1 2，然后可以表示出 1 2，并研究
其最大值，从而可以求出对应的直线 的方程．
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22. 【答案】（1）因为 ( ) = ln( + ) e ，
所以 ′( ) = 1 + + ( 1)e
， ......1分
由题意 ′(1) = 1 11 + = 2，
所以 = 1． ......2分
（2）当 = 1时， ( ) = ln( + 1) e ， ′( ) = 1 + 1 + ( 1)e
，
2
所以 ′( ) = 1 + ( 1)e = e + 1 + 1 ( + 1)e ， ......3分
注意到函数 = e + 2 1在 (0, +∞)上单调递增，
所以 e + 2 1 > 0在 (0, +∞)上恒成立，
答案解析 第14 （共15 ）
e ′( ) = +
2 1
所以 ( + 1)e > 0在 (0, +∞)上恒成立， ......4分
所以函数 ( )在 (0, +∞)上单调递增，
所以当 > 0时， ( ) > (0) = 0，即 ( ) > 0． ......5分
（3）由（1）可得，当 > 1， > 0时， ( ) = ln( + ) e > ln( + 1) e > 0，
所以函数 ( )在 (0, +∞)上无零点， ......6分
下面考虑函数 ( )在 ( , 0)上的零点个数，
′( ) = 1 + ( 1)e = e
+ 2 + ( 1)
注意到 + ( + )e ，
令 ( ) = e + 2 + ( 1) ， ∈( , 0)，
所以 ′( ) = e + 2 + 1，在 ( , 0)上单调递增，
因为 ′( ) = e 1 < 0， ′(0) = > 0，
所以 ′( )在 ( , 0)上存在唯一零点 0∈( , 0)，且当 ∈( , 0)时， ′( ) < 0；当 ∈( 0, 0)时，
′( ) > 0， ......8分
所以函数 ( )在 ( , 0)上单调递减，在 ( 0, 0)上单调递增，
因为 ( ) = e > 0， (0) = 1 < 0， ( 0) < (0) < 0，
所以函数 ( )在 ( , 0)上存在唯一零点 1，且当 ∈( , 1)时， ( ) > 0；当 ∈( 1, 0)时， ( ) < 0，
所以当 ∈( , 1)时， ′( ) =
( ) ′ ( )
( + )e > 0；当 ∈( 1, 0)时， ( ) = ( + )e < 0， ......10分
所以 ( )在 ( , 1)上单调递增，在 ( 1, 0)上单调递减，
因为 (0) = ln > 0，
所以函数 ( )在 ( 1, 0)上无零点，且 ( 1) > (0) > 0，

取 = + e e ∈( , 0)，则 e 22 2 < e = e ，
则 ( 2) < ln( 2 + ) + e = 0，
所以由零点存在定理可得函数 ( )在 ( , 0)上仅有一个零点．
综上所述，函数 ( )在 ( , +∞)上只有一个零点． ......12分
【解析】本题主要考查导数的概念及其几何意义、导数的计算以及导数在研究函数中的应用．
1 1
（1）对函数 ( )求导得到 ′( )，根据题意得到 ′(1) = 1 + = 2，从而得到 的值．
（2）直接研究 ′( )在 (0, +∞)上的正负性，可以得到 ( )在 (0, +∞)上的单调性，进而可以得到
( )的零点个数．
（3）根据（2）中的结论，并通过不等式的放缩可以得到当 > 1， > 0时函数 ( )在 (0, +∞)上
无零点．当 ∈( , 0)时，对 ( )求导得到 ′( )，对其分子上的函数 ( )再求导得到 ′( )，通过
研究 ′( )的正负得到 ( )的单调性，从而可以得到 ′( )的正负性以及函数 ( )的单调性．再通

过取特值 2 = + e e ∈( , 0)，可以判断出函数 ( )在 ( , 0)上仅有一个零点．综上所述，
便得到了函数 ( )在 ( , +∞)上只有一个零点．
答案解析 第15 （共15 ）

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