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第四章 一元一次方程
4.3 用一元一次方程解决问题
苏科版 数学 八年级上册
1. 列一元一次方程解决问题；
2. 建立一元一次方程模型解决问题.
学习目标
新知一 列一元一次方程解决问题
一般步骤 (1)审题；(2)找相等关系；(3)设未知数；(4)列方程；(5)解所列方程；(6) 检验未知数的值是否符合题意；(7)根据问题的需要写出答案 .
探究新知
审题方法 “ 一 读， 二 划， 三 复 述， 四 表 示 .”“ 一 读” 就 是 读题，初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找 出 重 点 词 句， 理 出 脉 络， 使 题 目 简 单 明 了；“ 三 复述”就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表 示” 就 是 画 一 张 图 表 示 题 意， 使 题 目 变 得 一 目 了 然 .
设未知数的方法 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况 .
(2)间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量 .
(3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求 .
特别解读
1. 解题步骤为：设、列、解、验、答；
2. 审题方法简述为： “一读，二划，三复述，四表示 .”
某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
于潇 20 0 100
王晓林 18 2 88
李毅 10 10 40
… … … …
例1
(1)根据表格提供的数据，答对 1 题得 ______分，答错 1题得______________ 分；
(2)参赛者李小萌得了 76 分，求她答对了几道题．
解题秘方：(1)紧扣于潇及王晓林的得分求解；
(2)紧扣“答对的得分 + 答错的得分 =76 分”建立方程求解 .
解：(1)5，－1；
(2)设李小萌答对了 y 道题，答错了(20－y)道题．
由题意，得 5y－ (20－y)=76．
解得 y=16．
答案：她答对了 16 道题．
方法点拨
(1) 答对一题的得分是100÷20 ＝ (5 分)，设答错一题得x分，则18×5+2x＝ 88，解得 x ＝ －1，则答错一题得－1 分；
(2) 此题的相等关系： 答对的题数×答对1题得 分 + 答 错的题数×答错1 题得分＝总得分 .
新知二 建立一元一次方程模型解决问题
1. 常见题型 积分问题 、月历问题、配套问题、工程问题、行程问题、销售问题、计费问题、盈亏问题、方案设计问题；
3.找相等关系的基本方法
(1)根据各代数式之间的内在联系找相等关系；
(2)根据不变量，例如图形的面积不变，物体的体积不变，人数不变等，通过从不同角度的计算来找相等关系；
(3) 借助于一些辅助手段找相等关系：
① 表格法 首先要尽可能多地填出已知量，或用字母替代
适当的未知量后，再逐步启发联系，并借助于辅助关系完善表格，最后根据相等关系，对表格中有关代数式进行适当调整与组合，即可得出方程 .
②线性示意图 画线段图注意 : 首先认真读题，全面理解题
意，所画的图要与题目中的条件相符合；其次要按照题目的叙述顺序，在图上标明条件 ； 对于双线段并列图和多线段并列图一定要分清先画和后画的顺序，要找准数量间的对应关系，明确要求的问题 .
特别提醒
1. 如 例 1 积 分 问题，通过观察得分(或积分)统计表，分析其中的数量关系，相等关系一般为“对的得分 + 错的得分＝总得分”，或“胜的积分+负的积分＝总积分” .
2. 解决教材P105月历问题，利用“同一横行上左右相邻的两个数相差1，同一竖列上上下相邻的两个数相差7” 的排列规律做游戏 .
某车间有 28 名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓 12 个或螺帽 18 个，2 个螺栓要配 3 个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
例2
解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系： 生产的螺栓数 ×3 = 生产的螺帽数 ×2，故可设应安排 x 名工人生产螺栓，用含 x 的式子分别表示出螺栓和螺帽的数量，再列方程求解 .
答案：应安排 14 名工人生产螺栓，14 名工人生产螺帽才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套 .
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，则( 28 － x )名工人生产螺帽 .
根据题意，得 3×12x=2×18 (28 － x).
解这个方程，得 x=14. 28 － x=14.
技巧点拨
解答此类配套问题，先把配套语言的比例关系转化为相等关系，如此题中的“2个螺栓要配3个螺帽”，可得“生产的螺栓数×3 = 生产的螺帽数 ×2”；然后根据问题设未知数，由配套的相等关系列出方程 .
某小学组织五年级同学参加夏令营，原计划租用 45座客车若干辆，但有 15 人没有座位，如果租用同样数量的 60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满 . 已知 45 座客车日租金为每辆 220 元，60 座客车日租金为每辆 300 元 . 要使每个人都有座位，请你设计一种最优惠的租车方案，至少需要花费多少钱？
例3
解题秘方：设原计划租用 45 座客车 x 辆，将题意整理成下表：
45 座客车 60 座客车
每车人数(人) 45 60
租用辆数(辆) x x-1
学生总数(人) 45x+15 60(x－1)
解：设原计划租用 45 座客车 x 辆 . 根据题意，得：
45x+15=60 ( x － 1 ) ，解得 x=5.
总人数：45×5+15=240 (人).
租 6 辆 45 座客车，需要 220×6=1 320 (元). 租 4 辆 60
座客车，需要 300×4=1 200 (元). 租 4 辆 45 座客车，剩下240 － 45×4=60 (人) ，再租 1 辆 60 座客车，正好坐满，需要220×4+300=1 180 (元).
1 180<1 200<1 320.
答案：租用 45 座客车 4 辆，60 座客车 1 辆最优惠，至少需要花费 1 180 元 .
方法点拨
利用表格分析实际问题时，先判断类型，找出其中的数量关系，如工程问题中的“工效×工时=工量”，行程问题中的“速度×时间=路程”等；然后画表格设未知数，把数量关系中的量用行标题(或列标题)表示，用代数式填写表格；最后根据相等关系列出方程 .
某校七年级科技兴趣小组计划做一批飞机模型，如果每人做 6 个，那么比计划多做 10 个，如果每人做 5 个，那么比计划少做 14 个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？
例4
解题秘方：本题可借助线形示意图来分析 . 设该兴趣小组共有 x 人，则计划做飞机模型的总个数可用图 4.3 － 1 表示，根据计划做飞机模型的总个数不变，可列方程求解 .
解：设该兴趣小组共有 x 人 .
根据题意，得 5x+14=6x － 10.
解这个方程，得 x=24.
则 6x － 10=6×24 － 10=134.
答：该兴趣小组共有 24 人，计划做 134 个飞机模型 .
另解
设计划做y个飞机模型.用图4.3 － 2表示，根据兴趣小组的人数不变，可列方程求解.
根据题意，得 = .
解这个方程，得y=134. 则 = =24.
答：该兴趣小组共有 24人，计划做134个飞机模型.
[已知工作总量的工程问题 ]某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为 1 200 米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时 60 天 . 已知甲队每天整治 24 米，乙队每天整治 16米，求甲、乙两队分别整治河道多少米 .
例5
答案：甲队整治河道 720 米，乙队整治河道 480 米 .
解题秘方：在工程问题中， 工作总量、工作效率、工作时间，已知一个量，设另一个量，根据第三个量列方程 .
解：设甲队整治河道 x 米，则乙队整治河道(1 200－x)米 .
根据题意，得 + =60.
解这个方程，得 x=720. 则 1 200－x=480.
方法点拨
(1) 当工作总量未知时，一般把工作总量看作整体 1，则工作效率为单独完成工作总量的时间的倒数 .
(2) 若将工作总量分几部分完成，则常见的等量关系为各部分的工作量之和等于工作总量 .
[ 未知工作总量的工程问题 ] 检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天，前 7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？
例6
答案：乙中途离开了 3 天 .
解题秘方：工作总量分三部分：甲 7 天的工作量，乙前 7天中减去离开的天数的工作量，乙、丙合作 2 天的工作量 .
解：设乙中途离开了 x 天 .
根据题意，得 ×7+ ( 7 － x ) + ( + )×2=1.
解这个方程，得 x=3.
[ 直线形的相遇与追及问题 ] 甲站和乙站相距 1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.
例7
(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？
解题秘方：设快车开出 x h 后两车相遇 . 相等关系：慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程 =1 500 km. 可以画如图4.3－3 线形示意图：
答案：快车开出 9.8 h 后两车相遇 .
解：设快车开出 x h 后两车相遇 .
根据题意，得 60×(x+ )+90x=1 500.
解这个方程，得 x=9.8.
(2)若两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距1 800 km ？
解题秘方：设 y h 后两车相距 1800 km. 相等关系：两车行驶的路程和 +1 500 km=1 800 km. 可以画如图 4.3 － 4 线形示意图：
答案：2 h 后两车相距 1 800 km.
解：设 y h 后两车相距 1 800 km.
根据题意，得 60y+90y+1 500=1 800.
解这个方程，得 y=2.
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km (此时快车在慢车的后面) ？
答案：10 h 后两车相距 1 200 km (此时快车在慢车的后面).
解：设 z h 后两车相距 1 200 km (此时快车在慢车的后面).
根据题意，得 60z+1 500 － 90z=1 200.
解这个方程，得 z=10.
方法点拨
此题也可以列表分析：
(1)设快车开出 x h后两车相遇.列表：
(2)设 y h 后两车相距 1 800 km. 列表：
拓展延伸
环形运动问题(如教材 P108 问题 4)中的相遇或追及问题，可转化为直线形运动中的相遇或追及问题.相等关系(同时同地出发)：
①同向相遇：第一次相遇快者跑的路程 － 第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度；②反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度 .
[ 车过桥或过隧道问题 ] 某铁路桥长 1 200 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全通过桥共用了 1 min，整列火车完全在桥上的时间为 40 s，则火车的长度为( 　　 )
180 m B. 200 m
C. 240 m D. 250 m
例8
解题秘方：理解“火车完全通过桥”和“整列火车在桥上” 时火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列方程 . 设火车的长度为 x m. 列表：
路程 /m 时间 /s 速度 /(m/s)
火车完全通过桥 1 200+x 60
整列火车在桥上 1 200－x 40
答案：C
解：设火车的长度为 x m.
根据题意，得 =.
解这个方程，得 x=240.
答： 火车的长度为 240 m.
相等关系：火车完全通过桥的速度 = 整列火车在桥上的速度 .
方法归纳
(1) 火车过桥问题的图形表示：
“火车完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥，如图 4.3－5；
而“整列火车在桥上”是指火车尾
上桥到火车头离桥，如图4.3－6.
(2) 两列火车错车问题的相等关系：
相向： 两列火车所行路程的和=两列火车车身长的和；同向： 两列火车所行路程的差=两列火车车身长的和 .
[ 航行问题 ] 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 h. 已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度 .
解题秘方：相等关系： 顺水速度 × 顺水时间 = 逆水速度 ×逆水时间，即 2×(静水速度 + 水流速度)=2.5×(静水速度 －水流速度).
例9
答： 船在静水中的平均速度为 27 km/h.
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺水速度为 (x+3) km/h，逆水速度为( x－3) km/h.
根据题意，得 2( x+3)=2.5( x－3).
解这个方程，得 x=27.
方法点拨
本题运用方程思想解答.顺水速度=静水速度+ 水流速度;逆水速度=静水速度 －水流速度 .
[ 求折扣 ] 小天使童装店将一件进价为 100 元的童装按进价提高 60％后标价，销售时按标价打折销售，结果获利20％，这件童装销售时打几折？
例10
解题秘方：设这件童装销售时打 x 折，画如图 4.3－7 的柱状示意图，根据“利润 = 售价 － 进价”列出方程，即可求解 .
答： 这件童装销售时打 7.5 折 .
解：设这件童装销售时打 x 折 .
根据题意，得( 1+60％ ) ×100× － 100=100×20％ .
解这个方程，得 x=7.5.
方法点拨
相关的相等关系
(1) 售价=标价× ；
(2) 利润 = 售价 －进价；
(3) 利润=进价×利润率；
(4) 利润率= ×100％ .
[ 定价格 ]某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售 . 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45％的预期目标？
例11
答： 每件衬衫降价 20 元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45％ 的预期目标．
解题秘方：根据计算销售总额的两种方法列出方程 .
解：设每件衬衫降价 x 元 . 根据题意，得
120×400+ ( 500 － 400 ) × ( 120 － x ) =500×80× ( 1+45％ ).
解这个方程，得 x=20.
知识储备
当遇到涉及销售总额的销售问题时，销售总额有两种计算方法：
①销 售 总 额 = 单 个 售价 × 销售量；
②销 售 总 额 = 成 本 × ( 1+ 利润率) .
用一元一次方程解决问题
一元二次
方程模型
实际问题
配套问题
积分问题
工程问题
行程问题
销售问题
计费问题
归纳新知
再 见

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