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第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
学案
一、学习目标
1.结合具体实例，理解2×2列联表的统计意义.
2.通过实例，了解2×2列联表与独立性检验及其应用.
二、基础梳理
1.2×2列联表：定义一对分类变量X和Y，形如下表的列联表称为2×2列联表.
X Y 合计
a b
c d
合计
2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
2.独立性检验的零假设：零假设或原假设：分类变量X和Y独立.
3.独立性检验的统计量：.
4.统计量中的临界值：对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立：，我们称为的临界值.
5.独立性检验：利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
三、巩固练习
1.随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式（其中）计算出的值，并由此得出结论：有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，则可以为( )
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
A.3.565 B.4.204 C.5.233 D.6.842
2.某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如下表所示：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩电脑游戏 25 15 40
不喜欢玩电脑游戏 25 35 60
合计 50 50 100
则下列结论正确的是是( )
（参考公式：，参考数据：，）
A.有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
B.有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
C.有99%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
D.有99%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
3.某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 a 7 c
年轻人 6 b d
合计 e f 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是( )
A. B. C. D.
4.在一次独立性检验中，得出2×2列联表如表所示，且最后发现两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是( )
A 合计
B 30 90 120
24 a
合计 54
A.72 B.30 C.24 D.20
5.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：
偏爱蔬菜 偏爱肉类
男生/人 4 8
女生/人 16 2
则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有( )
附：，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A. B. C. D.
6.2019年，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示：
男性运动员 女性运动员
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”.则正确说法的个数为( )附：，.
A.0 B.1 C.2 D.3
7.某校团委对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数.若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有( )
0.050 0.010
3.841 6.635
A.12人 B.6人 C.10人 D.18人
8.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则至少有________的把握认为“学生的性别与是否支持该活动有关系”.
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
9.有人发现，多看手机容易使人变近视，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
近视 不近视 合计
少看手机 20 38 58
多看手机 68 42 110
合计 88 80 168
则在犯错误的概率不超过________的前提下，可以认为多看手机与人变近视有关系.
附：
0.005 0.001
7.879 10.828
10.某机构为了解民众对纪念币的喜爱态度，随机选取某城市某小区的50位居民进行调查，得到了如下的列联表：
喜爱 不喜爱 总计
年龄不大于40岁 24
年龄大于40岁 20
总计 22 50
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99%的把握认为是否喜爱纪念币与年龄有关？
11.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高（单位：厘米）进行统计，统计结果如下表所示，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.
茎高（厘米）
抗倒伏 143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174
175 175 180 188 188 192 195 195 199 203 206 206
茎高（厘米）
易倒伏 151 167 175 178 181 182 186 186 187 190
190 193 194 195 198 199 199 202 202 203
（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m；
（2）根据表格中的数据，完成下面的列联表：
抗倒伏 易倒伏 合计
矮茎
高茎
合计
（3）根据（2）中的列联表，依据的独立性检验，分析抗倒伏与玉米矮茎是否有关.
附：，其中.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
12.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分（采用百分制），剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表.
男/人 3 9 18 15 6 9
女/人 6 4 5 10 13 2
（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；
（2）规定成绩在80分以上为优秀（含80分），请你根据已知条件补全所列的列联表，并依据的独立性检验，分析数学成绩与性别是否有关.
优秀 非优秀 合计
男生
女生
合计
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
，其中.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，所以，故选D.
2.答案：A
解析：由题意得，故有95%的把握认为是否喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关.故选A.
3.答案：D
解析：由题意得，，，，，，所以，，，，，，故选D.
4.答案：A
解析：∵两个分类变量A和B没有任何关系，，则，解得，验证可知满足题意.故选A.
5.答案：C
解析：由已知，列联表为
偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计
男生/人 4 8 12
女生/人 16 2 18
合计 20 10 30
则，故至少有的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选C.
6.答案：B
解析：任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，故①错误；
，故②错误，③正确.故选B.
7.答案：A
解析：设男生人数为x，则女生人数为，则列联表如下：
喜欢该软件 不喜欢该软件 合计
男生 x
女生
合计 x
若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则，即，解得.又因为，，，为整数，所以男生至少有12人.故选A.
8.答案：99%
解析：，结合题表中数据可得，至少有99%的把握认为“学生的性别与是否支持该活动有关系”.
9.答案：0.001
解析：由题意题中数据可得，，由临界值表可得，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为多看手机与人变近视有关系.
10.解析：（1）列联表补充如下：
喜爱 不喜爱 总计
年龄不大于40岁 8 16 24
年龄大于40岁 20 6 26
总计 28 22 50
（2）由（1）中的列联表可得.
故有99%的把握认为是否喜爱纪念币与年龄有关.
11.解析：（1）.
（2）补全的列联表如下所示：
抗倒伏 易倒伏 合计
矮茎 15 4 19
高茎 10 16 26
合计 25 20 45
（3）零假设为：抗倒伏与玉米矮茎无关.
计算可得，
依据的独立性检验，推断不成立，即认为抗倒伏与玉米矮茎有关.
12.解析：（1），
，
从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.
（2）由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
合计 30 70 100
零假设为：数学成绩与性别无关计算可得.
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为数学成绩与性别无关.

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