资源简介

1．1　集合
(教师独具内容)
1．能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集合语言表达，初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象，并能进行转换，掌握集合的基本关系与基本运算．
2．“交”“并”“补”运算是集合部分的重点内容，除了理解运算的意义外，更重要的是利用集合的性质正确地进行集合运算，包括数集、点集的运算，养成利用数轴解决数集运算、利用直角坐标系解决点集运算的习惯，体会数形结合思想．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．了解集合的含义，会用“列举法”“描述法”“区间”表示集合是重点，而利用集合中元素的“三性”(确定性、互异性、无序性)解决问题及集合相等在历年的考试中有不少涉及．对特殊集合的符号(复数集C，实数集R，有理数集Q，整数集Z，自然数集N，正整数集N*)必须会熟练运用．
2．关于子集，首先要理解子集的概念，其次是子集的判断、证明(A B 任意x∈A x∈B)有限集中子集的个数．
3．集合内容常常结合不等式进行考查，方法是先从元素的结构特点入手，通过通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．
4．高考中，在选择题中直接考查，每年必考，难度较小．一般作为“工具”类知识点出现在各类题型的答案中，尤其与不等式和方程结合较多．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)常见数集的符号表示
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作：A B或B A．读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.
(3)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(4)空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
并集 交集 补集
图形表示
符号表示 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
性质 A∪ ＝AA∪A＝AA∪B＝B∪AA∪B＝A B A A∩ ＝ A∩A＝AA∩B＝B∩AA∩B＝A A B A∪( UA)＝UA∩( UA)＝ U( UA)＝A U(A∩B)＝( UA)∪( UB) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
4．区分下列集合的表示含义
5．集合中元素与子集个数的关系
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　)
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
答案　B
解析　A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.
3．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，则集合B＝________．
答案　{2，3，5，7}
解析　由A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}，得全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B＝{2，3，5，7}．
4．集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x－a≥0}，若A∪B＝B，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　集合A＝{x|y＝}，所以A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x－a≥0}，所以B＝{x|x≥a}.由A∪B＝B，得A B，所以a≤1.
5．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________．
答案　1
解析　若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
答案　B
解析　因为A＝{x|－22．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{5} B．{1，2}
C．{3，4} D．{1，2，3，4}
答案　A
解析　因为M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，所以 U(M∪N)＝{5}．故选A.
3．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A． B．S C．T D．Z
答案　C
解析　因为s＝2n＋1，n∈Z，当n＝2k，k∈Z时，s＝4k＋1，k∈Z；当n＝2k＋1，k∈Z时，s＝4k＋3，k∈Z，所以T?S，S∩T＝T.故选C.
4．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0A． B．
C．{x|4≤x<5} D．{x|0答案　B
解析　由已知得M∩N＝.故选B.
一、基础知识巩固
考点　　集合的概念
例1　设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个
答案　C
解析　依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
例2　若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
答案　0或
解析　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
　1.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
答案　(16，＋∞)
解析　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
2．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案　－
解析　由题意，得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意．故m＝－.
　解决集合概念问题的一般思路
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
考点　　集合间的关系
例3　已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
例4　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
答案　(－∞，3]
解析　因为B A，所以①若B＝ ，则2m－1　3.设M为非空的数集，M {1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
答案　A
解析　由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
4．若集合A＝{1，2}，B＝{x∈R|x2＋mx＋1＝0}，且B A，则实数m的取值范围为________．
答案　[－2，2)
解析　①若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2).
　判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般是包含或相等关系．解题时要思考两个问题：
(1)两个集合中的元素分别是什么；
(2)两个集合中元素之间的关系是什么．
考点　　集合的基本运算
例5　已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2答案　C
解析　因为N＝{x|－2例6　已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C． D．(1，＋∞)
答案　C
解析　由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的取值范围是.故选C.
　5.若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2答案　A
解析　画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
6．如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2，4} B．{7，8}
C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}
答案　A
解析　由题图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以( UA)∩B＝{2，4}．故选A.
　集合间的运算问题
要进行集合之间的运算，先确定要运算的集合．集合Q的补集是由全集U中不属于集合Q中的所有元素组成的．特别要注意求某一集合的补集的前提是明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．
考点　　集合新定义问题
例7　定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．sin α＋cos α
答案　B
解析　因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.故选B.
　7.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝(　　)
A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0答案　D
解析　由题意得P＝{x|0　集合运算问题的四种常见类型及解题策略
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解．
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解．
(3)已知集合的运算结果求集合，借助数轴、Venn图求解．
(4)根据集合运算求参数，先化简集合，然后把符号语言译成文字语言，最后应用数形结合求解．
二、核心素养提升
例1　若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1A．{1，3，4}为“权集”
B．{1，2，3，6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
答案　B
解析　对于A，由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；对于B，选1，2时，有1×2属于{1，2，3，6}，同理取1，3，取1，6，取2，3时也满足，取2，6时，有属于{1，2，3，6}，取3，6时，有属于{1，2，3，6}，所以B正确；对于C，由“权集”定义知1≤a1例2　对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M).设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A B＝(　　)
A．
B．
C．∪[0，＋∞)
D．∪(0，＋∞)
答案　C
解析　因为A＝，B＝{y|y＜0}，所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝，A B＝(A－B)∪(B－A)＝.故选C.
例3　定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　B
解析　由题意知，B＝{0，1，2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
答案　C
解析　由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}．
2．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　∵A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|33．已知M，N均为R的子集，且( RM) N，则M∪( RN)＝(　　)
A． B．M C．N D．R
答案　B
解析　如图所示，易知答案为B.
4．(2021·山西长治二中第六次模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－2x＋m＝0}，若A∩B＝{3}，则B＝(　　)
A．{－1，3} B．{－2，3}
C．{－1，－2，3} D．{3}
答案　A
解析　依题意可知3是集合B的元素，即32－2×3＋m＝0，解得m＝－3，由x2－2x－3＝0，解得x＝－1，3.故选A.
5．A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4 B．－1C．a≤－1 D．a<－1
答案　C
解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
6．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)
A．[3，6) B．[1，2)
C．[2，4) D．(2，4]
答案　C
解析　集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|4x>2m}＝，∵A∩B有三个元素，∴1≤＜2，解得2≤m＜4，∴实数m的取值范围是[2，4).
7．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
8.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A B＝(　　)
A．{x|0B．{x|1C．{x|x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x>2}
答案　D
解析　因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，由题图知A B＝[0，1]∪(2，＋∞).故选D.
二、多项选择题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为(　　)
A． B．0 C．3 D．
答案　ABD
解析　∵x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，∴A＝{3，5}，∵A∩B＝B，∴B A，B＝ 或B＝{3}或B＝{5}或B＝{3，5}，当B＝ 时，满足a＝0即可，当B＝{3}时，满足3a－1＝0，∴a＝，当B＝{5}时，满足5a－1＝0，∴a＝，当B＝{3，5}时，显然不符合条件，∴实数a的值可以是0，，.
10．若X是一个集合，集合Γ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X属于Γ， 属于Γ；(2)Γ中任意多个元素的并集属于Γ；(3)Γ中任意多个元素的交集属于Γ，则称Γ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合Γ：
①Γ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；②Γ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③Γ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；④Γ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合Γ的序号是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
答案　BD
解析　①不是集合X上的拓扑，因为{a}∈Γ，{c}∈Γ，但{a}∪{c} Γ；②是集合X上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；③不是集合X上的拓扑，因为{a，b}∈Γ，{a，c}∈Γ，但{a，b}∪{a，c} Γ；④是集合X上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足．
三、填空题
11．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x答案　2
解析　因为 UA＝{x|x<1，或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以实数b＝2.
12．定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
答案　
解析　集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，由可得1≤m≤；由可得≤n≤2.易知M∩N＝{x|m≤x≤n}或，故有“长度”的最小值为nmin－mmax＝－＝或－＝－＝，即集合M∩N的“长度”的最小值是.
13．已知集合A＝{x|y＝lg (x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A B，则实数c的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　由题意知，A＝{x|y＝lg (x－x2)}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝{x|0＜x＜c}，若A B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
14．定义：设有限集合A＝{x|x＝ai，i≤n，n∈N*}，S＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，则S叫做集合A的模，记作|A|.若集合P＝{x|x＝2n－1，n≤5，n∈N*}，集合P含有四个元素的全体子集为P1，P2，…，Pk，k∈N*，则|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝________．
答案　100
解析　集合P＝{1，3，5，7，9}，依题意，集合P含有四个元素的全体子集为{1，3，5，7}，{1，3，5，9}，{1，3，7，9}，{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，根据“模”的定义，|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝(1＋3＋5＋7)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＝4×(1＋3＋5＋7＋9)＝100.
四、解答题
15．(1)已知集合A＝{x|x2－2021x＋2020<0}，B＝{x|x(2)已知集合A＝{x|1解　(1)由x2－2021x＋2020<0，
解得1＜x＜2020，
故A＝{x|1＜x＜2020}．
又B＝{x|xA B，
如图所示，可得a≥2020.
所以实数a的取值范围是[2020，＋∞).
(2)因为A∩B＝ ，
①当2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；
②当2m＜1－m，即m＜时，
需满足或解得0≤m＜或 ，即0≤m＜.
综上，实数m的取值范围是[0，＋∞).
16．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B＝{x|2m(1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若( RA)∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围．
解　(1)由x2－x－2≤0，得－1≤x≤2，则A＝{x|－1≤x≤2}．因为A∩B＝B，所以B A，又B＝{x|2m(2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<－1，或x>2}，
又B＝{x|2m17．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若全集U＝R，( UB)∩A＝A，求实数a的取值范围．
解　(1)因为A＝{2，1}，A∩B＝{2}，
所以2∈B，代入B中，解得a＝－1或－3，
当a＝－1时，B＝{2，－2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，满足条件．
综上，a＝－1或－3.
(2)因为A∪B＝A，所以B A.
①当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，解得a<－3；
②当B中只有一个元素时，Δ＝0，
解得a＝－3，B＝{2}，满足B A；
③当B中有两个元素时，B＝{1，2}，
满足Δ>0的a无解．
综上，实数a的取值范围是{a|a≤－3}．
(3)由( UB)∩A＝A，可知A∩B＝ ，
所以
所以
综上，实数a的取值范围为{a|a≠－1，a≠－3，a≠－1＋，a≠－1－}．

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