资源简介

1．2　充分条件与必要条件
(教师独具内容)
1．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语．
2．在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表述．每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．由于中学数学中的许多命题都可以写成“若p，则q”的形式，通过判断命题的真假，分析条件p和结论q的关系．也就是说，“若p，则q”是真命题，即由p能推出q，则p是q的充分条件，即p成立，足以保证q成立；同时，q是p的必要条件，即p成立，首先必须q成立．反之，“若q，则p”也是真命题，则p也是q的必要条件，此时，p是q的充分必要条件，简称充要条件．具体包括四种情况：若p q且q p，则p是q的充分必要条件；若p q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q p，则p是q的必要不充分条件；若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，理解充要条件的意义，并会用充分必要的逻辑语言进行表达，学会用定义法、集合法进行充分必要条件的判定．能够根据充分必要性求参数的范围．
3．理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
4．本考点是高考频率较低的内容，试题主要为选择题或填空题，分值为5分．命题重点是以其他知识模块为背景的充分条件、必要条件的判断问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．命题
可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
2．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件．
注：①A是B的充分不必要条件是指A B且B A；②A的充分不必要条件是B是指B A且A B．在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q p，则p是q的必要条件．
(3)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件．
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
3．从集合的角度判断充分、必要、充要条件
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若A?B，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若AB且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4．数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.所以“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＝3时，A＝{1，3}，显然A B.但A B时，a＝2或3.所以“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
3．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若x2＝1，则x＝1；
(5)若a＝b，则ac＝bc；
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数．
答案　(1)，(2)，(3)，(5).
4．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角形相似，则两个三角形的三边对应成比例；
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x＝1，则x2＝1；
(5)若ac＝bc，则a＝b；
(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．
答案　(1)，(2)，(4).
5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边对应成比例；
(3)p：xy＞0，q：x＞0，y＞0.
答案　(2).
1．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1＝－1，q＝2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{Sn}是递增数列时，有an＋1＝Sn＋1－Sn＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.
2．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.
3．(2021·天津高考)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．故选A.
4．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案　B
解析　若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.
5．(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0 z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0 a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0 ＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
一、基础知识巩固
考点　　充分条件、必要条件的判断
例1　若p：φ＝＋kπ，k∈Z，q：f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若φ＝＋kπ，k∈Z，则f(x)＝sin ＝cos (ωx＋kπ)＝
所以函数f(x)是偶函数．若f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.故p是q的充要条件．
例2　已知p：－>0，q：x≤0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由 －>0，知
解得－　1.已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为函数y＝x3在R上单调递增，则a32．设x∈R，则“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由|x－2|<1，得1　判断充分条件、必要条件的两种方法及注意事项
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．利用所学的知识解决充分必要条件的判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题．
(3)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．
考点　　充分条件、必要条件的应用
例3　已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　C
解析　由<1，得>0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2.由题意可得{x|x>k}?{x|x<－1，或x>2}，所以k≥2.因此实数k的取值范围是[2，＋∞).
例4　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S P.
∴解得m≤3.
又S为非空集合，
∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，实数m的取值范围是[0，3].
　3.例4中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　由例4知P＝{x|－2≤x≤10}．
∵P是S的充分不必要条件，
∴[－2，10]?[1－m，1＋m].
∴或解得m≥9.
∴实数m的取值范围是[9，＋∞).
　已知充分条件、必要条件求参数取值范围的解题策略
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解，利用集合知识，结合数轴解决问题．
(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．
(3)要注意区间端点值的检验，端点值取舍代进去验证．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
考点　　充分条件、必要条件的探求与证明
例5　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
例6　已知两个关于x的一元二次方程，求两方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0的根均为整数的充要条件．
解　因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
解得m∈.因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以
所以
又因为m∈，所以m＝－1，－，，1.
经检验，仅当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
当m＝1时，两方程的根均为整数．
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
　4.已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1A．(－∞，－1] B．(－∞，0)
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　由题可知(－1，1)是不等式(x－a)(x－3)>0的解集的一个真子集．当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为{x|x≠3}，此时(－1，1)?{x|x≠3}；当a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，此时(－1，1)?(－∞，3)，符合题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1，1)?(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.
5．已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
证明　证法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜.
必要性：由<，得－＜0，即＜0.
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.
所以＜的充要条件是xy＞0.
证法二：＜ －＜0 ＜0.
由条件x＞y y－x＜0，
故由＜0 xy＞0.
所以< xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0.
　充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明p q，又要证明q p，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
二、核心素养提升
例1　王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意可知，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．
例2　为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出了三个集合：A＝，B＝{x|x2－4x－5≤0}，C＝{x|log0.5x>0}，然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述“△”中的数，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“△”中的数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　依据甲的描述可知，△可能取的值为1，2，3，4，5，故△>0.则A＝，依题意，得B＝{x|－1≤x≤5}，C＝{x|0这类试题只是以充分、必要条件为媒介，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中充分、必要条件只是关系的一种新的说法．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
课时作业
一、单项选择题
1．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．故选C.
2．王大妈说“好货不便宜，便宜没好货”，依此判断，“不便宜”是“好货”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　这句话的意思是，好货能够说明这件物品不便宜，但物品不便宜并不一定是好货，故“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．
3．已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝，但f(x)＝在上为减函数，在上为增函数，故f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0，1]上单调递增，故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件．
4．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是(　　)
A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α
答案　C
解析　对于C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α.故选C.
5．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
答案　C
解析　若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.
6．设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos (－x)＋b sin (－x)＝cos x＋b sin x，又cos (－x)＝cos x，sin (－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)为偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充要条件．故选C.
7．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x B”成立的充要条件是(　　)
A．－1＜x≤1 B．x≤1
C．x＞－1 D．－1＜x＜1
答案　D
解析　∵集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，又x∈A且x B，∴－1＜x＜1，又当－1＜x＜1时，满足x∈A且x B，∴“x∈A且x B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.
8．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，C(cos γ，sin γ)是△ABC的三个顶点，记p：“△ABC是等边三角形”，q：“sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为sin2α＋cos2α＝1，sin2β＋cos2β＝1，sin2γ＋cos2γ＝1，所以A，B，C都在圆x2＋y2＝1上，即O(0，0)是△ABC的外心，又由已知条件可得＝0，＝0，所以△ABC的重心是O(0，0)，即△ABC的外心、重心重合，从而△ABC是等边三角形，故必要性成立．因为△ABC是等边三角形，所以△ABC的外心也是重心，又因为A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，C(cos γ，sin γ)在单位圆x2＋y2＝1上，且圆心是O(0，0)，所以＝0，＝0，从而sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，故充分性成立．所以p是q的充要条件．故选C.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
答案　BC
解析　对于A，当c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；对于B，＞与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足＞，∴“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；对于C，由充分条件、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；对于D，由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误．
10．下列叙述正确的是(　　)
A．“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
D．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
答案　AC
解析　若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a＞0，x1x2＝a＜0，∴a＜0，∴“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A正确；a＞c且b＝0时，推不出ab2＞cb2，故B不正确；a＞1 ＜1，＜1 a＞1，∴“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，C正确；当a＝0，b＝0，c＜0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立，所以D不正确．
三、填空题
11．已知p：1－x<0，q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1)
解析　由已知可得p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但q p，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.
12．已知函数f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的________________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).
答案　充分不必要
解析　∵函数f(x)是R上的奇函数，∴若x1＋x2＝0，即x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0，1)，则“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的________条件．
答案　必要不充分
解析　若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列．如果数列{an}是等比数列，因为公比q≠1，则Sn＝＝－·qn，则A＝－a1·＝－B.故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．
14．设p：ln (2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　p对应的集合为A＝{x|y＝ln (2x－1)≤0}＝，q对应的集合为B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}．由q是p的必要不充分条件，知A?B.所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.
四、解答题
15．已知集合A＝{x|x2－4ax＋3a2<0}，集合B＝{x|(x－3)(x－2)≤0}．
(1)当a＝1时，求A∩B，A∪B；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1B＝{x|(x－3)(x－2)≤0}＝{x|2≤x≤3}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}，A∪B＝{x|1(2)若a>0，则A＝{x|x2－4ax＋3a2<0}＝{x|a若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B?A.
则解得1故实数a的取值范围为(1，2).
16．已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
(1)若m＝1，则p是q的什么条件？
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解　(1)因为p：＝{x|－2≤x≤10}，
q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}?{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以或解得m≥9.故实数m的取值范围为[9，＋∞).
17．已知命题p：方程＋＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋2)t＋2a<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　(1)∵方程＋＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
∴2－t>2＋t>0，解得－2故实数t的取值范围为(－2，0).
(2)∵“命题p为真”是“命题q为真”的充分不必要条件，
∴{t|－2令f(t)＝t2－(a＋2)t＋2a，
∴解得a≤－2.
故实数a的取值范围为(－∞，－2].

展开更多......

收起↑