资源简介

1.3　全称量词与存在量词
(教师独具内容)
1．能够在现实情境或数学情境中概括出全称量词和存在量词的含义，并能用数学符号表示．通过已知的数学实例，理解全称量词和存在量词的意义，达到数学抽象核心素养水平的要求．
2．能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，体会逻辑用语在数学中的作用，达到逻辑推理核心素养水平的要求．
3．能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的全称量词命题与它的否定在形式上的变化规律；能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的存在量词命题与它的否定在形式上的变化规律；能正确地对含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定，提升学生的逻辑推理能力．
4．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．能利用命题与它的否定只能一真一假解答简单的问题，对学生的素养要求较高．
3．全称量词命题和存在量词命题以及全称量词命题和存在量词命题的否定是常用逻辑用语部分的重点内容，除了理解定义及意义外，更重要的是利用量词命题与它们的否定在形式上的变化规律解决问题．
4．高考中，在选择题、填空题中直接考查，难度不大．本节是高考频率较低的内容，一般作为“工具”类知识点出现在各类题型的答案中．尤其与不等式和方程结合较多．
(教师独具内容)
1．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题．
(3)全称量词命题的符号表示
“对M中的任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题．
(3)存在量词命题的符号表示
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)．
注：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任何”等；常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
名称形式 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
注：含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)
(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　　)
(4) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．命题“ x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2＋x≤0 B． x∈R，x2＋x<0
C． x∈R，x2＋x≤0 D． x∈R，x2＋x＜0
答案　B
解析　由全称量词命题的否定是存在量词命题，知B正确．故选B.
3．命题“ x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”).
答案　真
解析　取x＝1，则x2－1＝0，所以为真命题．
4．若“ x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案　1
解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴实数m的最小值为1.
5．判断下列全称量词命题的真假：
(1)每个平面四边形的内角和都是360°；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)平行四边形的对角线互相平分．
答案　(1)真命题．
(2)假命题，因为负数没有算术平方根．
(3)真命题．
6．写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
答案　(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3) x∈Z，x2的个位数字等于3.
一、基础知识巩固
考点　　全称量词命题与存在量词命题的否定及真假的判断例1　(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A． x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2<0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
答案　AC
解析　由条件可知，原命题应为存在量词命题且为假命题，所以排除B，D；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以A，C均为存在量词命题且为假命题．故选AC.
例2　下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，sin2＋cos2＝
B． x∈(0，π)，sinx>cos x
C． x∈R，x2＋x＝－2
D． x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
答案　D
解析　 x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；当x∈时，sinx≤cos x，故B是假命题；∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，∴x2＋x＋2＝0无解，∴ x∈R，x2＋x＝－2是假命题，故C是假命题；令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，即 x∈(0，＋∞)，ex>x＋1，D是真命题．故选D.
　1.命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案　C
2．下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x2－x－1＞0
B． α，β∈R，sin (α＋β)＜sin α＋sin β
C． x∈R，x2－x＋1＝0
D． α，β∈R，sin (α＋β)＝cos α＋cos β
答案　D
解析　因为x2－x－1＝－≥－，所以A是假命题；当α＝β＝0时，有sin (α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题；x2－x＋1＝＋≥，所以C是假命题；当α＝β＝时，有sin (α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题．故选D.
　
1．对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词．
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
注：(1)全称(存在)量词命题的否定方法： x∈M，p(x) x∈M， p(x)，简记：改量词，否结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
考点　　根据全称(存在)量词命题的真假求参数例3　已知命题p： x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为(　　)
A．[1，3] B．[－1，3]
C．(1，3) D．[0，2]
答案　B
解析　由命题p是假命题，得 p： x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0是真命题，即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.
例4　已知命题p： x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0]∪(1，＋∞)
C．[0，1]
D．(0，1)
答案　D
解析　命题p是假命题 p是真命题 对任意x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立 Δ＝4a2－4a<0 0　3.已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x∈(－1，1)，使得f(x)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－3)
C．(－3，1)
D．(1，＋∞)
答案　A
解析　依题意可得f(－1)f(1)＜0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A.
4．若 x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　因为 x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，所以 x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即 x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题．令f(x)＝2x＋，则f(x)≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以λ≤f(x)min，即λ≤2.
　根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路：与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，任意性即恒成立更容易列式计算，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
考点　　含有双量词的参数求解
例5　(1)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_______．
答案　
解析　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，
所以m≥.
(2)本例(1)中，若将“ x2∈[1，2]”改为“ x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
　5.若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)， x1∈[－1，2]， x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且存在x2∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x2)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)的值域的子集．函数f(x)的值域是[－1，3]，因为a＞0，所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故实数a的取值范围是.
　根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围
(1)巧用三个转化
①全称量词命题可转化为恒成立问题；
②存在量词命题可转化为存在性问题；
③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真．
(2)准确计算：通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
(3)含有双量词的参数求解，一般转换成两个函数在相应区间上的最值或者值域的比较．
二、核心素养提升
例　(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f(x)＝(Q为有理数集，R为实数集)，称为狄利克雷函数，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　)
A． x∈R，f(f(x))＝0
B．函数f(x)是偶函数
C．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
D．存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形
答案　BCD
解析　对于A，∵当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，∴当x为有理数时，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(f(x))＝f(0)＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有f(f(x))＝1，故A错误；对于B，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故B正确；对于C，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故C正确；对于D，取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，故A，B(0，1)，C，△ABC恰好为等边三角形，故D正确．
课时作业
一、单项选择题
1．命题“ x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是(　　)
A． x>0，总有(x＋1)ex≤1
B． x≤0，总有(x＋1)ex≤1
C． x≤0，使得(x＋1)ex≤1
D． x>0，使得(x＋1)ex≤1
答案　D
解析　由全称量词命题的否定可知，命题“ x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“ x>0，使得(x＋1)ex≤1”．
2．已知命题p：“ x∈R，ex－x－1≤0”，则命题 p为(　　)
A． x∈R，ex－x－1≥0
B． x∈R，ex－x－1>0
C． x∈R，ex－x－1>0
D． x∈R，ex－x－1≥0
答案　C
解析　根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得 p为“ x∈R，ex－x－1>0”．故选C.
3．下列命题为假命题的是(　　)
A． x∈R，2x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
答案　B
解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确．故选B.
4．已知函数f(x)＝若命题“ x∈R，f(x)<1”为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(1，2]
C．(1，] D．
答案　A
解析　由题意知a>0且a≠1，命题“ x∈R，f(x)≥1”为真命题，当x≤2时，f(x)＝－x＋a，易知f(x)在(－∞，2]上单调递减，其最小值为－＋a，则由f(x)≥1恒成立得－＋a≥1，即a≥；当x>2时，f(x)＝logax≥1恒成立，则a>1，此时函数f(x)＝logax为增函数，故loga2≥1＝logaa，得15．下列命题中，真命题是(　　)
A．命题“若sin x＝sin y，则x＝y”是真命题
B．命题“ x∈R，x2≥0”的否命题是“ x∈R，x2<0”
C．“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件
D．对任意x∈R，ex＋e－x≥2
答案　D
解析　对于A，若x＝0，y＝π，显然sin x＝sin y成立，但是x＝y不成立，因此命题是假命题，故A不符合题意；对于B，因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“ x∈R，x2≥0”的否命题是“ x∈R，x2<0”，故B不符合题意；对于C，由x>1一定能推出x2>1，但是由x2>1不一定能推出x>1，例如当x＝－2时，也能使x2>1成立，但是x>1不成立，因此不符合必要不充分条件的定义，故C不符合题意；对于D，因为x∈R，所以ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故D符合题意．
6．命题p： x∈R，x2＋4x＋4>0，则命题p的否定 p以及 p的真假性正确的是(　　)
A． p： x∈R，x2＋4x＋4≤0，为假命题
B． p： x∈R，x2＋4x＋4≤0，为真命题
C． p： x∈R，x2＋4x＋4>0，为假命题
D． p： x∈R，x2＋4x＋4>0，为真命题
答案　B
解析　由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得 p为 x∈R，x2＋4x＋4≤0，令x＝－2，则x2＋4x＋4＝4－8＋4＝0，所以命题 x∈R，x2＋4x＋4≤0为真命题．
7．下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，ex≤0
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
答案　D
解析　对于A，根据指数函数的性质可知ex>0恒成立，所以A错误；对于B，当x＝－1时，2－1＝<(－1)2＝1，所以B错误；对于C，当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时无意义，所以不能推出＝－1；当＝－1时，变形，得a＝－b，即a＋b＝0，故“a＋b＝0”的充分不必要条件是“＝－1”，所以C错误；对于D，假设x，y都小于1，即x<1，y<1，所以x＋y<2，与x＋y>2矛盾，所以假设不成立，所以D正确．
8．已知命题p： x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题q： x>0，x＋>a，若p假q真，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1，2) D．(－1，2]
答案　C
解析　命题p： x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，则 x∈R，x2＋2x＋a>0为真命题，所以Δ＝22－4a<0，解得a>1；命题q： x>0，x＋>a为真命题，由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，可知a<2，故实数a的取值范围为(1，2).
二、多项选择题
9．下列命题正确的是(　　)
A． a，b∈R，|a－2|＋(b＋1)2≤0
B． a∈R， x∈R，使得ax>2
C．“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充要条件
D．如果a≥b>－1，则≥
答案　AD
解析　对于A，当a＝2，b＝－1时，不等式成立，所以A正确；对于B，当a＝0时，0·x＝0＜2，不等式不成立，所以B不正确；对于C，当a＝0，b≠0时，a2＋b2≠0成立，此时ab＝0，推不出ab≠0，所以C不正确；对于D，由－＝＝，因为a≥b＞－1，则≥，所以D正确．故选AD.
10．下列命题正确的是(　　)
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案　ABD
解析　对于A，若<1，则a>1或a<0，故“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确；对于B，根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B正确；对于C，设x，y∈R，若x≥2且y≥2，则x2＋y2≥4，若x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，比如x＝3，y＝1，故“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，C错误；对于D，若a≠0，不一定有ab≠0；若ab≠0，则一定有a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确．
三、填空题
11．命题“ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是____________________．
答案　 x∈R，x2＋x＋1>0
解析　命题“ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是 x∈R，x2＋x＋1>0.
12．已知命题“ x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(0，3)
解析　由题意知“ x∈R，x2－2ax＋3a>0”为真命题，所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3.故实数a的取值范围是(0，3).
13．若命题p的否定是“ x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，则命题p可写为________________．
答案　 x∈(0，＋∞)，≤x＋1
解析　因为p是 p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
14．给出下列四个命题：
①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；
②已知命题p：“ x∈R， m∈R，使得方程4x＋2x＋1－m＝0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围为(－∞，1)；
③设函数f(x)＝cos |x|＋|cos x|，则其最小正周期为T＝2π.
其中真命题的序号是________．
答案　①③
解析　对于①，x2－3x＋2＝0 x＝1或x＝2，故“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，①正确；对于②，令2x＝t(t>0)，故②中方程等价于t2＋t＋1－m＝0，而命题p是假命题，则t2＋t＋1－m＝0(t>0)无解，由于对称轴t＝－<0，只需1－m≥0 m≤1即可，②不正确；对于③，因为g(x)＝cos x为偶函数，所以g(x)＝cos x＝cos |x|，所以f(x)＝cos x＋|cos x|，y＝|cos x|的最小正周期为π，f(x＋π)＝cos (x＋π)＋|cos (x＋π)|＝－cos x＋|cos x|≠f(x).且f(x＋2π)＝cos (x＋2π)＋|cos (x＋2π)|＝f(x)，所以f(x)的最小正周期为T＝2π，所以③正确．
四、解答题
15．将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根．
解　(1)原命题为全称量词命题，可改写为“ x∈R，x2≥0”．
(2)原命题为存在量词命题，可改写为“ x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<0)”．
16．设p： x∈R，|x＋1|>kx，q： x>0，2x2－kx＋≤0，其中k为实数．
(1)若q为真命题，求实数k的取值范围；
(2)若p，q中恰有一个为真命题，求实数k的取值范围．
解　(1)由题意，知q： x>0，2x2－kx＋≤0，
等价于 x>0，k≥2x＋成立，
等价于x>0，k≥，
因为2x＋≥2＝，
当且仅当2x＝，即x＝时取等号，
所以k≥.
故实数k的取值范围为.
(2)令y＝|x＋1|＝如图所示．
因为p： x∈R，|x＋1|>kx，
所以0因为p，q中恰有一个为真命题，
所以或
解得01.
故实数k的取值范围为∪(1，＋∞).
17．已知f(x)＝x2－4ax＋3a2，其中a为实数．
(1)当a＝2时，判断命题p： x∈R，f(x)≤0的真假，并说明理由；
(2)若 x∈[1，2]，f(x)≤0，求实数a的取值范围．
解　(1)命题p为真命题．理由如下：
当a＝2时，f(x)＝x2－8x＋12，
又当x＝2时，f(2)＝0，
则命题p： x∈R，f(x)≤0为真命题．
(2)二次函数f(x)关于x＝2a对称，
在(－∞，2a)上是减函数，(2a，＋∞)上是增函数，
则≤2a时，f(x)的最大值为f(1)，
>2a时，f(x)的最大值为f(2)，
则 x∈[1，2]，f(x)≤0，
只需f(1)≤0且f(2)≤0，即3a2－4a＋1≤0且3a2－8a＋4≤0，
解得≤a≤1且≤a≤2，即≤a≤1.
故实数a的取值范围是.

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