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2．2　二次函数与一元二次方程、不等式
(教师独具内容)
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，了解函数的零点与方程根的关系．了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
2．一元二次不等式的解法中蕴含着数形结合、分类讨论、转化与化归、方程与函数等数学思想方法，学习过程中要认真领会方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，为今后研究函数问题奠定理论基础
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
2．掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解决一元二次不等式的实际问题．理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的联系，并能解决相应的问题．
3．数形结合思想是高中数学重要的数学思想，掌握三个“二次”之间的密切联系，在解决一元二次不等式、一元二次方程的相关问题时，转化为二次函数的相关问题，借助二次函数的图象直观形象地解决问题，使问题处理更加容易．
4．高考中，一元二次不等式会在选择题、填空题中有所考查，与集合的运算结合，在每年的选择题中常考，属于容易题；在解答题中与恒成立、有解问题联系紧密，有一定的难度．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．一元二次不等式的定义及一般形式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
续表
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x13.常见不等式的解法
(1)(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
口诀：大于取两边，小于取中间．
(2)一元二次不等式
①不含参的一元二次不等式的解法：可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．
②含参的一元二次不等式的解法：需要对参数进行分类讨论．
(3)绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
注：解绝对值不等式的三种方法
①平方法，主要用于两边均为一次式；
②公式法，口诀是大于取两边，小于取中间；
③定义法，|x|＝根据绝对值内部的式子与0的关系去掉绝对值．
(4)分式不等式
①>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
注：以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
(5)高次不等式是指次数大于或等于3的整式不等式，解一元高次不等式的基本方法：穿针引线法．
具体步骤如下：
①移项，把不等式右边变为0，且未知数最高次项的系数为正；
②把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止；
③把对应的方程的根在数轴上按从小到大的顺序依次标出；
④从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根即回头(奇穿偶不穿)；
⑤位于数轴上方对应的x的范围为不等式大于0的解集；位于数轴下方对应的x的范围为不等式小于0的解集，根据不等式符号写出不等式的解集．
4．(1)一元二次不等式恒成立问题
①不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
②不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
(2)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布问题
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不相等的实数根，即函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a>0)的零点，则函数f(x)的零点分布等价不等式组的关系如下：
①若x1②若m③若x1④若x1，x2∈(m1，m2)，则
⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，
则f(m1)f(m2)<0
或或
注：一元二次方程根的问题通常转化为二次函数零点的分布问题，关键在于以下三步：第一步，根据要求画图象，图象要跟题干要求一一对应；第二步，根据图象列式子，注意列式的四点要求：①抛物线开口与a的关系，②判别式Δ与0的关系，③对称轴与区间的关系，④区间端点函数值的正负情况．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　)
A．(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4) D.(－2，4)
答案　B
解析　由题意知A＝{x|13．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　)
A．－10 B.－14
C．10 D.14
答案　A
解析　由题意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.
4．(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A．－ B.1
C．－1 D.2
答案　AC
解析　由题意知a＜0，则排除B，D；对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)·(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意．故选AC.
5．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　由题意可知mx2－(1－m)x＋m≥0对任意x∈R恒成立，即解得m≥.
6．已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案　[－4，0]
解析　若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立；若a≠0，则由题意，得解得－4≤a<0.综上，得a∈[－4，0].
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1} B．{1，5}
C．{3，5} D．{1，3}
答案　D
解析　因为A＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|－1＜x＜4}，B＝{－4，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．故选D.
2．(2019·全国Ⅱ卷)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
答案　A
解析　A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.
一、基础知识巩固
考点　　解一元二次不等式
例1　不等式0答案　{x|－2≤x<－1或2解析　原不等式等价于
即解得故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2例2　(1)求不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集．
解　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得③当01，解(x－1)<0得1综上所述，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
(2)将本例(1)中不等式改为x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)，求不等式的解集．
解　原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a<1时，原不等式的解集为(a，1).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1.已知集合M＝，N＝{x|y＝log3(－6x2＋11x－4)}，则M∩N＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　易得集合M＝＝{x|1＜x≤3}，集合N＝{x|y＝log3(－6x2＋11x－4)}＝{x|－6x2＋11x－4＞0}＝，所以M∩N＝.
2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，
解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
　
1．解不含参的一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
(4)切记：当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
考点　　一元二次方程与一元二次不等式
例3　已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－3D．{x|x<－3或x>2}
答案　C
解析　由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，∴解得∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，即x2＋x－6<0，解得－3例4　已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(　　)
A．
B．∪
C．(α，β)
D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
答案　B
解析　∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a<0，∴α＋β＝－，αβ＝.不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋1>0，∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，化为(αx－1)(βx－1)>0，又0<α<β，∴>>0，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集是.故选B.
　3.已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2C． D．
答案　B
解析　∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，∴解得则不等式x2－bx－a≥0，即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
　本例的求解充分体现了转化与化归思想，即不等式的解集与相应方程根的关系：
(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值；
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数．
考点　　一元二次不等式恒成立问题
例5　已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．[0，1]
B．(0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　A
解析　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0例6　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________．
答案　
解析　要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．
解法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜，则0＜m＜.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是.
解法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以m的取值范围是.
例7　对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在m∈[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．
　4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B.[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
答案　C
解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围是(－2，2].
5．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2.
∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①，得－6≤a≤2，
解②，解集为 ，
解③，得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
　
1．一元二次不等式恒成立问题的求解策略
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立
或
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立
或
2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
3．一元二次不等式在参数的某区间上恒成立确定变量x范围的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
考点　　一元二次方程根的分布
例8　(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．
解　设f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)f(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
解　设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由
03＋2，
即实数m的取值范围为(0，3－2)∪(3＋2，＋∞).
　6.已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
解　由题意可得(m＋2)f(1)<0，即(m＋2)·(2m＋1)<0，解得－2　一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数的图象，利用数形结合的方法来研究．往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围．
二、核心素养提升
例　已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________．
答案　4　(－∞，－2]
解析　由不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1，0].令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1，0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.
例题体现了转化与化归思想在一元二次不等式中的应用．转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数的性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的思想．本题的解法充分体现了转化与化归思想，不等式的解集转化为一元二次方程的根，可求出b，c的值，不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|x2－9<0}，集合B＝{－1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{0，1，2，3}
C．{－1，0，1} D．{3，4}
答案　A
解析　因为A＝{x|x2－9<0}＝(－3，3)，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．故选A.
2．已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台 B.120台
C．150台 D.180台
答案　C
解析　由题意，产量为x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．
3．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值是(　　)
A．－5 B．－ C．－4 D．－3
答案　C
解析　∵x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥－恒成立，又x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－≤－4，∴a≥－4.故a的最小值为－4.
4．已知集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{x|1－x≤2m}，且A∩B＝{x|－1≤x≤2}，则m＝(　　)
A． B.0
C.－1 D.1
答案　D
解析　因为A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|x≥1－2m}，且A∩B＝{x|－1≤x≤2}，所以1－2m＝－1，解得m＝1.
5．已知A＝{x|x2＋6x＋8≤0}，B＝{x|xA．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．[－2，＋∞)
答案　C
解析　A＝{x|x2＋6x＋8≤0}＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x6．若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]成立，则x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－8]∪[3，＋∞)
B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[－8，6]
D．(0，3]
答案　A
解析　由题意得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]成立，
所以
即解得x≥3或x≤－8.
7．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x，若不等式f(ax2)＋f(1－2ax)≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，e] B．[0，e]
C．(0，1] D．[0，1]
答案　D
解析　∵函数f(x)＝ex－e－x－2x的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，又f′(x)＝ex＋－2，而ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，故f′(x)＝ex＋－2≥0恒成立，故f(x)为R上的增函数，不等式f(ax2)＋f(1－2ax)≥0对任意x∈R恒成立，即f(ax2)≥－f(1－2ax)对任意x∈R恒成立，即f(ax2)≥f(2ax－1)对任意x∈R恒成立，即ax2≥2ax－1对任意x∈R恒成立，即ax2－2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，则解得08．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0).若不等式xf′(x)－af(x)≤3对一切x∈R恒成立，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，不等式xf′(x)－af(x)≤3，即(3a－a2)x3＋(2b－ab)x2＋(c－ac)x－3≤0.因为(3a－a2)x3＋(2b－ab)x2＋(c－ac)x－3≤0对一切x∈R恒成立，而三次函数的图象不可能恒在x轴的下方，所以3a－a2＝0，解得a＝3或a＝0(舍去).所以－bx2－2cx－3≤0对一切x∈R恒成立，则或所以b≥.则＝≥c2－c＝－≥－，即的取值范围为.故选D.
二、多项选择题
9．已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是(　　)
A．若A＝B，则a＝－3
B.若A B，则a＝－3
C．若B＝ ，则a≤－6或a≥6
D.若a＝3，则A∩B＝{x|－3答案　ABC
解析　由已知，得A＝{x|－310．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则下列判断错误的是(　　)
A．甲车超速 B.乙车超速
C．两车均不超速 D.两车均超速
答案　ACD
解析　设甲的速度为x1，由题意得0.1x1＋0.01x>12，解得x1<－40或x1>30.设乙的速度为x2，由题意得0.05x2＋0.005x>10，解得x2<－50或x2>40.由于x>0，从而得x1>30 km/h，x2>40 km/h.经比较知，乙车超过限速．
三、填空题
11．不等式2x2－3x＋1<的解集是________．
答案　(1，2)
解析　∵2x2－3x＋1<＝2－1，∴x2－3x＋1<－1，即x2－3x＋2<0，解得112．若“ x∈，使得2x2－λx－1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．
答案　(－∞，－1]
解析　若“ x∈，使得2x2－λx－1<0成立”是假命题，则“ x∈，都有2x2－λx－1≥0成立”是真命题，分离参数，得λ≤＝2x－，令g(x)＝2x－，x∈，则g(x)是增函数，故g(x)min＝g＝－1，所以λ≤－1.
13．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，则关于x的不等式＋c>bx的解集为________．
答案　(－∞，0)
解析　由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，即－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得解得b＝－a，c＝－2a，且a<0，则关于x的不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，即－2<－x，即＝<0，解得x<0，所以所求不等式的解集为(－∞，0).
14．(2021·顺义区模拟)若关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________．
答案　(－2，－1)(答案不唯一)
解析　不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，且即a＝2b<0，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1).
四、解答题
15．已知集合A＝{x|－x2＋4x＋5>0}，B＝{x|x2－2x－m<0}．
(1)若m＝3，求A∩( RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1解　(1)由题意可得集合A＝{x|－1当m＝3时，B＝{x|－1所以 RB＝{x|x≥3或x≤－1}．
所以A∩( RB)＝{x|3≤x<5}．
(2)因为A∩B＝{x|－1所以4是方程x2－2x－m＝0的一个根．所以16－8－m＝0，所以m＝8.
16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，即2x2＋bx＋c＜0的解集是(0，5)，
所以0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
所以b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，x∈[－1，1]，
则g(x)max≤0，
由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，
所以g(x)max＝g(－1)＝10＋t，
所以10＋t≤0，即t≤－10.
17．已知函数g(x)＝ax2－2x＋1＋b，不等式g(x)<0的解集为{x|－1(1)求g(x)的解析式；
(2)若存在x0∈[1，3]，使不等式g(x0)－mx0≥0成立，求实数m的取值范围；
(3)记f(x)＝g(x)－3kx＋2k，若方程f(|2x－1|)＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
解　(1)因为g(x)＝ax2－2x＋1＋b，不等式g(x)<0的解集为{x|－1所以即
解得所以g(x)＝x2－2x－3.
(2)因为存在x0∈[1，3]，使不等式g(x0)≥mx0成立，
等价于x－－2≥m在x∈[1，3]上有解，
记u(x)＝x－－2，因为u(x)在x∈[1，3]上单调递增，所以u(x)max＝u(3)＝0.
所以实数m的取值范围为(－∞，0].
(3)因为f(x)＝g(x)－3kx＋2k，所以f(x)＝x2－(2＋3k)x＋2k－3，
原方程可化为|2x－1|2－(3k＋2)|2x－1|＋(2k－3)＝0.
函数y＝|2x－1|的图象如图所示：
令t＝|2x－1|(t≥0)，
当0当t≥1时，仅有1个x，使得t＝|2x－1|.
方程f(|2x－1|)＝0有3个实数解，那么关于t的方程t2－(3k＋2)t＋2k－3＝0有两个不同的实数解t1，t2，且0记h(t)＝t2－(3k＋2)t＋2k－3，
则①
解得k>.
或②
不等式组②无实数解．
或③
不等式组③无实数解．
所以实数k的取值范围为.

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