资源简介

2．1　相等关系与不等关系
(教师独具内容)
1．通过具体情境，能从现实世界和日常生活中的实例抽象出不等式的概念，能从等式的性质类比出不等式的性质．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小，掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质解决问题．
2．感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
3．不等式是刻画现实世界，日常生产、生活，科学研究不等关系的数学模型，其核心内容是解不等式与证明不等式．
4．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．用不等式表示不等关系，是研究不等关系的必备基础，要结合实际问题，找出描述不等关系的关键词，不等式的性质是不等式变形的依据，要记牢性质，尤其是使用条件．
2．掌握不等式的性质及成立的条件，灵活运用不等式的基本性质解决求范围的问题或判断、证明不等式．
3．不等式的性质多与常用逻辑用语知识相结合；与集合基本运算相结合；该部分常与其他模块知识相结合，命题的关注点在于作为其他模块知识的基础，与函数、集合等问题相结合较多．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a－b>0 >1(a>0，b>0)或<1(a<0，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0，b>0)或>1(a<0，b<0)
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c.
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c；a>b，c>d a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 acb>0，c>d>0 ac>bd.
(5)可乘方：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
(6)可开方：a>b>0 > (n∈N，n≥2).
注：在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变．
4．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0，0.
(4)05．有关分式的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0).
(2)>；<(b－m>0).
(理解小技巧借用糖水模型：如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则其浓度为.若在上述溶液中再添加m kg白糖，此时溶液浓度增加到.显然，a，b，m是正数，且a1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b ac2>bc2.(　　)
(2)a＝b ac＝bc.(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若a>b>0，cA．> B．<
C．> D．<
答案　B
解析　因为c>，两边同乘－1，得－>－>0，又a>b>0，故由不等式的性质可知－>－>0.两边同乘－1，得<.
3．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D．≤
答案　B
解析　由a，b，c∈R，且a>b，得a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.
4．比较两数的大小：＋________＋.
答案　>
解析　∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2>(＋)2，∴＋>＋.
5．已知实数a∈(－3，1)，b∈，则的取值范围是________．
答案　(－24，8)
解析　当－31．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a答案　C
解析　a＝log522．(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0答案　B
解析　∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴＝log0.30.2，＝log0.32，∴＋＝log0.30.4，∴0<＋<1，即0<<1，又a>0，b<0，∴ab<0，∴ab一、基础知识巩固
考点　　比较数(式)的大小
例1　若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
答案　B
解析　解法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.
解法二：构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，易知当x＞e时，函数f(x)单调递减．因为e＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.
例2　若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
答案　B
解析　解法一(作差法)：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p解法二(特殊值排除法)：令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除A，C；令a＝－1，b＝－2，则p　1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB
答案　B
解析　∵A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，∴A≥B.
2．已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为(　　)
A．M >N B．MC．M＝N D．以上都有可能
答案　A
解析　因为x>0，y>0，所以M－N＝－＝＝>0，即M >N.
3．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
答案　a解析　＝＝×＝×＝，∵∈(0，1)，∴<1，∵1816>0，1618>0，∴1816<1618，即a4．已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M >N
解析　解法一：M－N＝－
＝
＝＝>0.∴M >N.
解法二：令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2020)>f(2021)，即M>N.
　比较大小的五种常用方法
(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
(4)不等式的性质法．
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
考点　　不等式的性质
例3　已知a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
答案　A
解析　由c0.由b>c，得ab>ac一定成立．
例4　设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c).其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
答案　D
解析　由不等式的性质及a>b>1，知<，又c<0，∴>，①正确；构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
　5.设a0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．> B．>
C．|a|c>－bc D．>
答案　B
解析　由题设得a6．设a>b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．(a＋c)4>(b＋c)4
B．ac2>bc2
C．lg |b＋c|D．(a＋c)>(b＋c)
答案　D
解析　当a>b，a＋c与b＋c为负数时，由0>a＋c>b＋c，得0<－(a＋c)<－(b＋c).所以0<[－(a＋c)]4<[－(b＋c)]4，即(a＋c)4<(b＋c)4，所以A不成立；当c＝0时，ac2＝bc2，所以B不成立；由a>b，得a＋c>b＋c，当a＋c，b＋c均为负数时，|a＋c|<|b＋c|，即lg |a＋c|　解决不等式是否成立问题的方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较大小．
考点　　不等式性质的应用
例5　某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；
(2)该小组人数的最小值为________．
答案　(1)6　(2)12
解析　设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z.
(1)若教师人数为4，则4(2)当z＝1时，1＝z例6　(1)已知－1答案　(－4，2)　(1，18)
解析　∵－1(2)将本例(1)中的条件改为－1解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又－1　7.已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　　)
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
答案　A
解析　因为a>b>c，2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c，所以－2a－c－c，解得>－3，将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即a<－c，得<－1，所以－3<<－1.
8．已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
答案　
解析　∵0<β<，∴－<－β<0，又0<α<，∴－<α－β<，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
　利用不等式解决实际问题，首先要读懂题意，把实际问题中的文字语言转化为数学语言，构造不等式，再根据条件求解．利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
二、核心素养提升
例1　手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小
C．“屏占比”变大 D．变化不确定
答案　C
解析　设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比为(a＞b)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m＞0)，升级后屏占比为，∵a＞b，∴－＝＝＞0，即该手机“屏占比”和升级前比变大．故选C.
例2　设x>0，y>0，z>0，证明：1<＋＋<2.
证明　由不等式的性质知，＞，＞，＞，
所以＋＋＞＋＋＝1，
由有关分式不等式的性质可知，＜，＜，＜，
所以＋＋＜＋＋＝2.
所以1＜＋＋＜2.
1．放缩法，即把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．
2．放缩法的主要理论依据
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为不等量；
(3)同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；
(4)基本不等式与绝对值不等式的基本性质；
(5)三角函数的有界性等．
3．常用的放缩法有增项、减项、利用不等式的性质、利用分式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等放缩．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·河北承德第一中学月考)下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则<
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
答案　C
解析　对于A，若a>b，则<，取a＝1，b＝－1不成立；对于B，若a>b，则a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；对于C，若a>b，cb－d，正确；对于D，若a>b，c>d，则ac>bd，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故选C.
2．已知a，b，c均为实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2>b2 B．<
C．ln 2a>ln 2b D．ac2>bc2
答案　C
解析　∵a，b，c∈R，且a>b，不妨令a＝1，b＝－1，则12＝(－1)2，可排除A；>＝－1，可排除B；1×02＝(－1)×02＝0，可排除D；当a>b时，由指数函数y＝2x单调递增可知，2a>2b>0，又因为对数函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln 2a>ln 2b成立．故选C.
3．(2021·重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ab>cd
B．若>，则aC．若cD．若|a|0
答案　D
解析　对于A，不妨令a＝－1，b＝－2，c＝4，d＝1，显然满足a>b，c>d，但不满足ab>cd，故A不成立；对于B，不妨令a＝1，b＝－1，显然满足>，但不满足a0，又因为b0，即b>±a，所以a＋b>0，故D一定成立．故选D.
4．(2021·安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足aA．> B．a(c－b)<0
C．ac2>bc2 D．ab(b－a)>0
答案　B
解析　因为a0，a<0，可得a(c－b)<0，B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则<，ac25．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p≤q B．p≥q
C．pq
答案　D
解析　因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q.故选D.
6．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案　A
解析　∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.
7．(2022·陕西西安中学月考)若bA．|b|<|c| B．2b>2c
C．lg (c－b)<0 D．b3－c3<0
答案　D
解析　对于A，当b|c|，A错误；对于B，因为b0，C错误；对于D，因为b8．(2021·辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga33b>3”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由loga3b>1，由3a>3b>3，得a>b>1，∴“loga33b>3”的必要不充分条件．故选B.
二、多项选择题
9．已知a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式正确的是(　　)
A．ab＞ac B．＞
C．logba＜logca D．＞
答案　ACD
解析　由a＞1，0＜c＜b＜1，可得ab＞ac，故A正确；由a＞1，0＜c＜b＜1，可得－＝＝＜0，则＜，故B错误；由a＞1，0＜c＜b＜1，得logac＜logab＜0，则＜＜0，所以logba＜logca，故C正确；由a＞1，0＜c＜b＜1，得－＝＝＞0，所以＞，故D正确．故选ACD.
10．已知a，b为正实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a2－b2＝1，则a－b＜1
B．若－＝1，则a－b＜1
C．若ea－eb＝1，则a－b＜1
D．若ln a－ln b＝1，则a－b＜1
答案　AC
解析　对于A，当a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1时，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＜1，故A正确；对于B，当－＝1时，不妨取a＝3，b＝，则a－b＝＞1，故B错误；对于C，由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln 2＜ln e＝1，故C正确；对于D，不妨取a＝e2，b＝e，则a－b＝e2－e＞1，故D错误．故选AC.
三、填空题
11．给出下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，其中能推得<成立的是________．
答案　①②④
解析　< <0，当b>0>a时，上式成立，故①符合题意；
当0>a>b时，上式成立，故②符合题意；
当a>0>b时，>0，故③不符合题意；
当a>b>0时，上式成立，故④符合题意．
∴①②④能推得<成立．
12．已知－1答案　(－3，3)
解析　因为－113．若实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________．
答案　27
解析　由4≤≤9，得16≤≤81.又3≤xy2≤8，∴≤≤，∴2≤≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时＝27.∴的最大值是27.
14．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为28 m2，月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为20 m2，月租为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为________．
答案　1
解析　设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为(80－a)间，由全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不高于总面积的85%，得2400×80%≤28a＋20(80－a)≤2400×85%，解得40≤a≤55，
又a∈N*，所以a有16个取值，即共有16种建造方案．
根据“任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%”，得≥90%·x，即x≤＝≤×＝1.所以x的最大值为1.
四、解答题
15．实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
解　(1)∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－4≤2a≤6，∴－2≤a≤3，
∵－3≤a＋b≤2，－4≤－a＋b≤1，
∴－7≤2b≤3，∴－≤b≤.
(2)设3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，
∴解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤(a＋b)＋(a－b)≤11，
即－4≤3a－2b≤11.
16．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
(2)已知c>a>b>0，求证：>.
证明　(1)∵bc≥ad，bd>0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴<，又c>0，∴<，
∴<，
又c－a>0，c－b>0，∴>.
17．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．