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2．3　基本不等式
(教师独具内容)
1．理解基本不等式≤(a＞0，b＞0)，会利用不等式的性质证明，发展逻辑推理素养；了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．
2．在学生数学学科素养的培养上，通过如下具体措施来实现．数学抽象素养：基本不等式的形式以及推导过程；逻辑推理素养：基本不等式的证明；数学运算素养：利用基本不等式求最值；数据分析素养：利用基本不等式解决实际问题；数学建模素养：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．基本不等式在不等式部分处于核心地位，掌握它的“正、常、等”的特征及它在解决求最值、比较大小、证明不等式等方面的巧妙应用．
2．基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．基本不等式是解决求最值问题的有利工具，观察使用前提是否满足，使用中的结构配凑对学生的综合能力有所要求．
3．高考中考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件．
(教师独具内容)
≤≤≤ (a>0，b>0)
(教师独具内容)
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，_称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)≥.
(2)＋≥2(ab>0).
(3)≤≤≤ (a＞0，b＞0).
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大).
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 的最大值为(　　)
A．9 B．18 C．36 D．81
答案　A
解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案　A
解析　由题意，因为2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝m时等号成立，所以＋的最小值为3＋2.故选A.
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.故选C.
5．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案　
解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号．故2a＋的最小值为.
1．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
答案　ABD
解析　对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.
2．(2021·天津高考)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
答案　2
解析　∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，∴＋＋b的最小值为2.
3．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
答案　
解析　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号．∴x2＋y2的最小值为.
一、基础知识巩固
考点　　利用基本不等式求最值
例1　已知0答案　
解析　x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取等号．
例2　已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
答案　1
解析　因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
例3　函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案　2＋2
解析　y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
例4　已知正数m，n满足m＋2n＝8，则＋的最小值为________，等号成立时m，n满足的等量关系是________．
答案　1　m＝2n
解析　因为m＋2n＝8，所以＋＝·＝≥＝×(4＋4)＝1，当且仅当＝，即m＝2n时等号成立．
例5　已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．
答案　9
解析　由ab－b＋1＝0，得a＝，
由a＝>0且b>0，得b>1，
所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.
易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9，
当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时等号成立，
故＋4b的最小值是9.
　1.已知函数f(x)＝＋x，则(　　)
A．f(x)有最小值
B．f(x)有最小值－
C．f(x)有最大值－
D．f(x)有最大值－
答案　D
解析　∵x<，∴－x>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.
2．已知实数x>0，y>0，且x2－xy＝2，则x＋＋的最小值为(　　)
A．6 B．6 C．3 D．3
答案　A
解析　由x>0，y>0，x2－xy＝2得x－y＝，则＝，所以x＋＋＝x＋＋＝3≥3×2＝6，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋＋的最小值为6.
3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若x>0，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4
B．若x<，则函数y＝2x＋的最大值为－1
C．若x>0，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1
D．函数y＝＋的最小值为9
答案　BD
解析　对于A，取x＝，y＝，可得2x＋2y＝3>4，A错误；对于B，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝<1，C错误；对于D，y＝＋＝(sin2x＋cos2x)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当cos2x＝，sin2x＝时等号成立，D正确．故选BD.
4．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
答案　
解析　令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，∴＋＝＋＝·(m＋n)＝≥×(2＋2)＝.当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．∴＋的最小值为.
　
1．配凑法的运用技巧
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记：
(1)一正：各项或各因式均为正；
(2)二定：和或积为定值；
(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．
利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
2．配凑法求解最值应注意的问题
(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
3．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题．
4．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理．
5．利用消元法求最值的技巧
消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).
6．如何正确选用方法来求最值
(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用配凑法；
(2)已知两变量之间的和或倒数的和为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法．
考点　　基本不等式的综合应用
例6　已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为(　　)
A． B．3＋2
C．3 D．9
答案　C
解析　因为f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b－4.
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，所以1＋2a＋b－4＝0，解得2a＋b＝3.
所以＋＝·(2a＋b)＝≥＝3(当且仅当a＝b＝1时取等号).故选C.
例7　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，∴a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B.
　5.对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A． B．2 C．4 D．
答案　B
解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，∵＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，∴a≤2，故实数a的最大值为2.
6．在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　由△ABC的面积为2，所以S△ABC＝bc sin A＝bc sin ＝2，得bc＝8，在△ABC中，由正弦定理得＋＝＋＝＋＝＋＝＋－≥2－＝2－＝，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立．故选C.
　当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定成立的相关条件，从而得到参数的值或范围．
考点　　基本不等式的实际应用
例8　为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为 AMBN一组相对的顶点，当 AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
答案　D
解析　设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MBN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos B＝＝－1＝－1≥－1＝－1＝，当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝5，(cos B)min＝，所以(sin B)max＝＝，所以 AMBN的最大面积为2××5×5×＝24.
　7.某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k，解得k＝2.所以x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2021年的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0).
(2)因为m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，
即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).
故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
二、核心素养提升
例　若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)
A．2 B． C．2＋1 D．＋
答案　D
解析　直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)＝＋≥＋ ＝＋，当且仅当＝，即a＝2－2，b＝2－时等号成立，所以＋的最小值为＋.故选D.
基本不等式中“1”代换主要运用于知道“和为定值或者倒数的和为定值”，再将定值化为“1”．比如知道“a＋2b＝2”，求＋的最小值，就可以用“1”代换．
课时作业
一、单项选择题
1．已知a>0，b>0，且a＋2b＝3ab，则ab的最小值为(　　)
A．1 B． C． D．
答案　B
解析　因为a>0，b>0，且a＋2b＝3ab，所以＋＝3，所以3＝＋≥2，所以≥，即ab≥，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，故ab的最小值为.
2．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4 C．7 D．3＋
答案　C
解析　∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当时等号成立．
3．已知a，b∈R，a>0，b>0，且a＋2b＝1，则下列不等式中成立的个数是(　　)
①ab≤；②ab2≤；③a＋b<；④＋>5.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　因为a，b∈R，a>0，b>0，且a＋2b＝1，于是有1＝a＋2b≥2 ab≤，当且仅当a＝2b＝时取“＝”，故①正确；1＝a＋b＋b≥3 ab2≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，故②正确；当a＝，b＝时，a＋2b＝1成立，而a＋b＝>，故③不正确；＋＝(a＋2b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝－1，b＝1－时取“＝”，而3＋2>5，故④正确．故选C.
4．函数y＝a3－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线－＝1(m>0，n>0)上，则m－n的最大值为(　　)
A．6 B．－2 C．1 D．4
答案　D
解析　令3－x＝0，解得x＝3，y＝1，所以A(3，1)，因为点A在双曲线－＝1(m>0，n>0)上，所以－＝1，所以m－n＝(m－n)＝10－≤10－2＝4，当且仅当即m＝6，n＝2时，等号成立，所以m－n的最大值为4.
5.已知△ABC是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，∠ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且·＝－(a＋b)(其中a>0，b>0)，则＋的最小值为(　　)
A.3＋2 B．＋
C．1＋ D．6＋4
答案　A
解析　由题意，建立如图所示的平面直角坐标系：
则A(0，)，B(－1，0)，M(0，0)，N，所以＝(0，－)，＝，则·＝－1，因为·＝－(a＋b)，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2≥3＋2，当且仅当即a＝－1，b＝2－时，等号成立．
6.如图，已知四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面APB，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2，则三棱锥P－ABC体积的最大值为(　　)
A． B． C． D．2
答案　A
解析　由题意，平面ABCD⊥平面APB，得AP⊥BC；由BG⊥平面APC，得AP⊥BG；因为BC∩BG＝B，从而AP⊥平面PBC，所以PB⊥AP，所以VP－ABC＝VC－APB＝·PA·PB·BC＝PA·PB.令PA＝m，PB＝n，则m2＋n2＝4.所以VP－ABC＝mn≤·＝，当且仅当m＝n＝时取等号．
7．已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值是(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　＋＝a＋＋
＝a＋＋2b＋－2，因为a＋2b＝2，所以＋＝＋＝＋，因为a＋2b＝2，所以a＋2(b＋1)＝4，因此×4×＝[a＋2(b＋1)]·＝，因为a，b是正实数，所以≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
8．已知x>1，y>0，且＋＝1，则x＋2y－1的最小值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．7＋2
答案　A
解析　∵x>1，y>0，且＋＝1，∴x＋2y－1＝[(x－1)＋2y]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x＋2y－1的最小值为9.
二、多项选择题
9．设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．≥
C．≥a＋b D．(a＋b)≥4
答案　ACD
解析　∵a>0，b>0，∴a＋b＋≥2＋≥2＝，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A成立；∵a＋b≥2>0，∴≤＝，当且仅当a＝b时取等号，∴≥不一定成立，故B不成立；∵≤＝，当且仅当a＝b时取等号，∴＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，∴≥，∴≥a＋b，故C成立；∵(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D成立．故选ACD.
10．已知正数a，b满足＋＝，则(　　)
A．ab＋的最小值为2
B．ab的最小值为4
C．a＋4b的最小值为8
D．4a＋b的最小值为8
答案　BD
解析　对于B，因为a，b都是正数，所以＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝1，b＝4时，等号成立，故ab≥4，即ab的最小值为4，故B正确；对于A，由选项B知ab≥4，结合对勾函数性质知ab＋≥4＋＝，故A错误；对于C，a＋4b≥2＝4≥8，前一个等号成立的条件是a＝4b，即a＝4，b＝1，而后一个等号成立的条件是4a＝b，即a＝1，b＝4，等号不具有传递性，故a＋4b>8，故C错误；对于D，4a＋b≥2＝4≥8，两个等号成立的条件都是4a＝b，即a＝1，b＝4，等号具有传递性，故a＋4b≥8，故D正确．
11．(2022·湖南名校联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．2a－b>2 B．log (ab)≥2
C．ab>(2－a)b D．a＋b2≥
答案　BD
解析　对于A，当a＝b＝时，2a－b＝20＝1<2，A不正确；对于B，因为a＋b＝1，a＋b≥2，所以1≥2，即012．(2022·广东惠州调研)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则下列结论正确的是(　　)
A．－6≤a－b≤2
B．7≤ab≤15
C．32≤a2＋b2≤50
D．2a＋8b的最小值为128
答案　AC
解析　对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于C，a2＋b2＝a2＋(8－a)2＝2a2－16a＋64＝2(a－4)2＋32，由1≤a≤5，得0≤(a－4)2≤9，所以32≤2(a－4)2＋32≤50，故C正确；对于D，2a＋8b＝2a＋23b≥2，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与1≤a≤5矛盾，故D错误．故选AC.
三、填空题
13．函数y＝的最小值是________．
答案　4
解析　令t＝≥1，则y＝＝t＋≥4，当且仅当t＝2，即x＝±时，ymin＝4.所以函数y＝的最小值是4.
14．已知a>0，b>0，且a＋2b－ab＝0，则2a＋b的最小值是________．
答案　9
解析　因为a＋2b－ab＝0，所以＋＝1，则2a＋b＝(2a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若＝x＋y(x>0，y>0)，则的最大值为________．
答案　
解析　∵＝＋＝＋，又＝，∴＝x＋y＝x＋y＝x＋，∵B，F，D三点共线，∴x＋＋y＝1，得x＝－y，∴＝＝≤，当且仅当y＝，x＝时取等号，即的最大值为.
16．已知正实数a，b满足a2＋＝1，则a的最大值是________．
答案　
解析　由题意可知，a＝·a·≤·＝×＝，当且仅当a＝，即a＝，b＝时取等号．故a的最大值为.
四、解答题
17．已知正实数x，y满足4x＋4y＝1.
(1)求xy的最大值；
(2)若不等式＋≥a2＋5a恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)因为4x＋4y＝1，所以＝x＋y≥2，解得xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号，所以xy的最大值为.
(2)＋＝(4x＋4y)＝20＋＋≥20＋2＝36，
当且仅当x＝，y＝时取等号，
所以a2＋5a≤36，解得－9≤a≤4.
即实数a的取值范围是[－9，4].
18.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口(如图).设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．
(1)列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；
(2)问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
(3)若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
解　(1)由题意知，矩形的宽为米，
y＝2·－3＋x＝＋x－3，
因为>3，所以0(2)y＝＋x－3≥2－3＝60－3＝57，
当且仅当即x＝30时取等号，此时宽为＝15米，
所以长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小．
(3)由题意，得0解得x∈[18，25]，
设f(x)＝＋x－3(18≤x≤25)，18≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵18≤x1∴x2－x1>0，x1x2>0，x1x2－900<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2)∴f(x)在[18，25]上单调递减，
∴当x＝25时，f(x)min＝f(25)＝＋25－3＝58，
此时长为25米，宽为＝18米．
所以长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．
19．(1)已知常数a>0，b>0和变量x>0，y>0满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值；
(2)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若存在x∈[1，3]，使f(x)<5－m成立，求m的取值范围．
解　(1)因为a>0，b>0，x>0，y>0，a＋b＝10，＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝＋＋a＋b≥2＋a＋b＝2＋a＋b，
当且仅当＝时等号成立，
所以
解得或
(2)由题意知f(x)<5－m有解，
即m(x2－x＋1)＜6有解，
又x2－x＋1＝＋＞0，
所以m<有解，
则m<，
又x∈[1，3]，所以当x＝1时，＋有最大值，为6，得m<6，
因为m≠0，
所以m的取值范围为(－∞，0)∪(0，6).

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