资源简介

高中数学小专题 一元二次方程根的分布 2
类型1 R上根的情况 2
类型2 0分布 3
题型1 两根在0同侧 3
题型2 两根在0异侧 4
对应练习 5
类型3 k分布 6
题型1 两根在k同侧 6
题型2 两根在k异侧 7
对应练习 8
类型4 区间分布 9
题型1 区间内2个根 9
题型2 区间外2个根 10
题型3 双区间内2个根 11
题型4 区间内1个根 12
对应练习 14
类型5 应用 15
题型1 多种情况 15
题型2 在其他题型中的使用 16
2022高一数学专题 一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点.根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题．
【知识储备】
1．函数的零点：若与轴有交点；
2．判别式：；求根公式：；
3．韦达定理：，；
4．二次函数对称轴，定点坐标（，）．
类型1 R上根的情况
【例1】已知函数的图象都在轴上方，求实数的取值范围． 【变式1.1】已知方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【变式1.2】函数的值恒小于0,则的取值范围是（ ）
类型2 0分布
题型1 两根在0同侧
【例2】已知方程有两个正实根，求实数的取值范围； 【变式2.1】已知方程有两个负根，求的取值范围． 【变式2.2】已知方程两个不相等的正实根，求的取值范围．
题型2 两根在0异侧
【例3】已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【例4】已知方程有一正根和一负根，求实数的取值范围． 【变式3.1】已知方程有两个异号实根，求的取值范围；
对应练习
1．方程的两根都小于1，求的取值范围；
2．关于的方程有一正根一负根，求的取值范围；
3．关于的方程的两根都大于1，求的取值范围；
类型3 k分布
题型1 两根在k同侧
【例5】已知方程的两个根都小于1，求的取值范围． 【变式5.1】已知次方程的两根均大于，求的取值范围； 【变式5.2】方程的两根均大于1，求实数的取值范围．
题型2 两根在k异侧
【例6】已知二次函数有一个小于1的零点和一个大于1的零点，求实数的取值范围． 【变式6.1】关于的方程的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数的取值范围． 【变式6.2】已知二次函数 与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围．
对应练习
1．已知关于的一元二次方程（为常数）的一个根大于3，另一个根小于3，求
的最大整数值．
2．方程的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数的取值范围．
3．关于的方程得一根大于1，一根小于1，求实数的取值范围．
类型4 区间分布
题型1 区间内2个根
【例7】已知关于的一元二次方程的两个根均在（，）内，求实数的取值范围． 【例8】已知关于方程的两根都在，内．求实数的取值范围． 【例9】已知方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围． 【变式7.1】已知方程的两个实根均在（0，2），求实数的取值范围． 【变式8.1】方程的两根都在区间，3上，求实数的取值范围． 【变式9.1】若关于的方程有两相异实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数的取值范围．
题型2 区间外2个根
【例10】若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是 ． 【变式10.1】方程的一个根比1大，另一个根比小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．
题型3 双区间内2个根
【例11】已知关于的方程的两个实根，满足，求实数的取值范围； 【例12】方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求的范围． 【变式11.1】方程的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求实数的取值范围；
题型4 区间内1个根
【例13】已知函数在区间（0，1）内恰有一个零点，则的取值范围是 ． 【例14】方程在（0，1）内有且只有一个根，求实数的范围． 【变式14.2】方程有且只有一个实根属于（1，2），且，都不是方程的根，求的取值范围． 【例15】已知方程的两个根都属于(，3)，且其中至少有一个根小于1，求的取值范围． 【变式13.1】二次函数在区间0，5内恰有一个零点，求实数的取值范围． 【变式14.1】若关于的方程在范围内有且只有一个实数根，求实数的范围． 【变式15.1】方程有且只有一个实根属于(1，1)，求m的取值范围．
对应练习
1．关于的一元二次方程，
（1）若此方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）若此方程有两正根，求的取值范围．
（3）是否存在的值使得此方程有两负根．
（4）是否存在的值使得此方程有一正根，一负根．
（5）若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比3小，求字母的取值范围．
（6）若此方程有两个实数根，两根都比1大，求字母的取值范围．
（7）若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比1小，求字母的取值范围．
类型5 应用
题型1 多种情况
【例16】已知函数的图象不经过第三象限，求的取值范围； 【例17】已知函数在区间[1，1]上有零点，求的取值范围． 【变式16.1】已知方程至少有一个正根，求实数的范围； 【变式16.2】如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求的取值范围． 【变式17.1】设集合A={}，B={，}，，求实数的取值范围．
题型2 在其他题型中的使用
【例17】已知函数，若[-2，2]时，恒成立，求的取值范围．

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