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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1空间向量及其线性运算
学案
一、学习目标
1.了解空间向量的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.
3能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.
4. 了解共线向量、共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论.
二、基础梳理
（一）空间向量的概念
1.空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
3.零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
4.单位向量：模为1的向量叫单位向量.
5.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
6.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
7.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
（二）空间向量的运算律
1.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
2.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
（三）共线向量和共面向量
1.共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
2.直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
3.共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
三、巩固练习
1.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是( )
A. B.
C. D.
3.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则或 D.若，则
4.在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是( )
A. B.
C. D.
5.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为( )
A. B. C. D.
6.设向量是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是( )
A.a B.b C.c D.a或b
7.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知，则是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.已知空间向量a,b，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
答案
1.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
2.答案：D
解析：由空间平面ABC的向量表示式知，空间一点M位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，可以变形为，注意到，，的系数和为1，满足这个条件的只有选项D，故选D.
3.答案：B
解析：对于选项A，若，则或或，故A错误；
对于选项B，由，可得或，故B正确；
对于选项C，由，得，即向量, 的模相等，但方向不确定，故C错误；
对于选项D，由，得，则或或，故D错误.故选B.
4.答案：C
解析：要使空间中的四点M,A,B,C共面，只需满足，且即可.
A中，，故此时M,A,B,C四点不共面；
B中，,故此时M,A,B,C四点不共面；
C中，，即，
即，，故此时M,A,B,C四点共面；
D中，，则，，故此时M,A,B,C四点不共面.故选C.
5.答案：A
解析：因为空间中的四点A,B,C,D共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一点P，都有，所以，解得.故选A.
6.答案：C
解析：因为是空间的一组基底，所以向量a，b，c不共面，而向量，与a或b共面.故排除选项A,B,D.故选C.
7.答案：B
解析：因为，
所以，所以，因此是等腰三角形.
8.答案：A
解析：,A,B,D三点共线，故选A.

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