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2021 学年第二学期学生学习能力诊断测试
初三数学评分参考建议
2022.06
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种 解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评
分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如
果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度
决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位．
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．C； 2．C； 3．B； 4．B； 5．D； 6．A．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7． a3； 2 8． (x + 2) ； 9． x =1；
10． x 3； 11．1； 12．＞；
2
13． ； 14．2400； 15．4；
5
1 1 5 15 10
16． a b ； 17． AO ； 18． ．
2 2 3 4 5
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：原式= ( 3 2) +1+ ( 2 1) 2 3 ………………………………………（8 分）
= 3 …………………………………………………………（2 分）
2x 3y = 3 ①
20．解方程组： ． 2 2
x 9y = 0 ②
解：由②得： x + 3y = 0 或 x 3y = 0 ……………………………………………（2 分）
把上式同①组成方程组得：
2x 3y = 3 2x 3y = 3
或 …………………………………………（4 分）
x +3y = 0 x 3y = 0
x =1
x = 3
解之得： 1 或 ……………………………………（4 分）
y = y =1
3
x1 =1
x = 3
∴原方程组的解为： 1 ，
2
.
y1 = y2 =1
3
(代入法参照给分)
21．解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°．
DE 3
∵在Rt△DCE中， sin BCD= = ，CD=5，
CD 5
∴DE= CD sin BCD =3． ………………………………………（2分）
∴CE = CD2 DE2 = 52 32 = 4． ……………………………………（1分）
1
∵∠B=∠BDE=45°．∴BE=DE=3． …………………………（1分）
∴ BC = BE +CE = 3+ 4 = 7 ． ………………………………………（1分）
（2）过点A作AF⊥BC，垂足为点F． ………………………………………（1分）
∴∠DEB=∠AFB=90°，∴DE//AF．
∵CD是AB边上的中线，即BD=DA
∴BE=EF=3． ……………………………………（1分）
∴ED为△BAF的中位线
∴AF= 2DE=6． ……………………………………（1分）
∴FC= BC－BE－EF=1． ………………………（1分）
AF 6
∴在Rt△ACF中， tan ACB= = = 6．…………………………………（1分）
FC 1
22．（1） 24 分钟． ……………………………………………（2 分）
解：（2）设所求 y 关于 x 的函数解析式为： y = kx + b (k 0) …………………（1 分）
如图可知：A(0，3000)，B(24，0)在直线 y = kx + b 上
b = 3000 ，
∴ …………………………………（2 分）
24k + b = 0.
k = 125，
∴
b = 3000.
∴当0≤ x≤24时，求 y 关于 x 的函数解析式 y = 125x + 3000 ． ……（2 分）
（3）如图可知：小杰需 40 分钟即达到乙处 ……………………………………（1 分）
3000
此时，小杰和小丽共走了 40 = 5000．……………………………（1 分）
24
∴6000-5000=1000 （米）． …………………（1 分）
答：当小杰到达乙处时，小丽离甲处还有 1000 米．
23．证明：（1）过点 O 作 OD⊥AB、OE⊥AC，垂足分别是点 D、E．……………（1 分）
∵AB=AC，且 OD⊥AB、OE⊥AC
∴OD=OE．
1 1
∴ AD= AB，CE= AC ．
2 2
∴AD=CE，
∵AM=CN．
∴AD－AM =CE－CN，即 DM=EN．
又∠ODM=∠OEN
∴△ODM≌△OEN． ……………………………………………………（4 分）
∴OM=ON． ………………………………………………………（1 分）
（2）联结 OC
由上题可以知：OD=OE，且 OD⊥AB、OE⊥AC
∴点 O 在∠BAC 的平分线上，即∠OAM=∠OAC．
AO AM
∵ AO2 = AM AC ，即∴ = ．
AC AO
∴△AMO∽△AOC． ………………………………………………………（2 分）
∴∠AOM=∠C． ………………………………………………………（1 分）
∵AO=CO，∴∠OAC=∠C，∴∠OAC=∠AOM
∴MO//AN．
∵∠OAC =∠OAM
2
∴∠AOM=∠OAM，
∴MA=MO ．
又∵AM＜AN，∴MO＜AN．
∴四边形 AMON 为梯形． …………………………………………（2 分）
又 OM=ON，∴MA=ON． …………………………………（1 分）
∴四边形 AMON 为等腰梯形．
2
24．解：（1）∵抛物线 y = ax + bx + 6经过点 A( 2 ，0)和点 B(6，0)
4a 2b + 6 = 0 ，
∴ ……………………………………………………（2 分）
36a + 6b + 6 = 0.
1
解得 a = ， 2

b = 2 .
1
∴抛物线的表达式为 y = x2 + 2x + 6 ． ………………………………（2 分）
2
（2）易得：抛物线的顶点 D(2，8)． …………………………………………（1 分）
由 B(6，0)、C(0，6)，得直线 BC 的表达式是 y = x + 6 ．
∵抛物线的对称轴是直线 x = 2，∴E(2，4)．……………………………（1 分）
由 C(0，6)、D(2，8)、B(6，0)得， S△ =12 ． ………………………（1 分） CDB
设 P(2，x)，则 DP = 8 x ．
1
∵ S△PDB = S△CDB ，∴ S△PDB = (8 x) 4 =12．
2
∴ x = 2．∴点 P 的坐标为(2，2)． ………………………………………（1 分）
（3） 由△MEN 是以 EM 为腰的等腰直角三角形，
① 当∠NEM=90°，EN=EM 时，
∴对称轴 l 平分∠CEN,则点 C（0，6）和点 N 关于直线 x=2 对称
∴N(4，6)．
又∵NM 平行于 y 轴，∴ xM =4
把 xm =4 代入直线 BC: y=－x + 6，得：y=2
∴M(4，2)． …………………………………………………………………（2 分）
② 当∠EMN=90°，ME=MN 时，
易得：EN 平行于 x 轴，∴ yN =yE = 4
1
把 yN = 4代入抛物线的表达式得 4 = x
2 + 2x + 6 ．
2
解得 x1 = 2 + 2 2，x2 = 2 2 2 （舍）．
∴ EN = 2 2 ．
易得：M (2 + 2,4 2 ) ．………………………………………………（2 分）
∴点 M 的坐标为(4，2)或 (2 + 2,4 2 ) ．
25．解：（1）∵AD 平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC．
∵∠BAC=2∠B，∴∠B=∠DAC．
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA． …………………………（2 分）
3
CA CD
∴ = ，即CA2 =CD CB ． …………………………………………（1 分）
CB CA
∵AC=6，BC=9，∴CD=4．∴BD=5．………………………………………（1 分）
（2）过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H． ………………………………………（1 分）
同上题可得：∠BAD=∠B
1
∴BD=AD=5，∴ BH = AB ．
2
CD AD
∵△CAD∽△CBA，∴ = ．
CA AB
4 5 15 1 15
∴ = ，∴ AB = ， BH = AB = ．
6 AB 2 2 4
BH 3
∴在 Rt△BDH 中， cos B = = ． ……………………………………（2 分）
BD 4
当平行四边形 AEFG 是矩形时，EF⊥AB．
15
x
BE 3
设 AE=DF=x，在 Rt△BEF 中， cos B = = 2 = ．………………（1 分）
BF 5 + x 4
15 15
解得 x = ，即 AE = ． ………………………………………（1 分）
7 7
DM CD 10
（3）∵DM//AB，∴ = ， DM = ．…………………………………（1 分）
AB CB 3
DP FD
∵DP//EB，∴ = ，
EB FB
DP x 15x 2x2
即 = ，∴ DP = ．……………………………………（1 分）
15 x + 5 2(x + 5)
x
2
①当点 G 在△ADC 内时， DP + PQ + MQ = DM ，且 DP=MQ．
15x 2x2 10
∴ 2 + x = ． ……………………………………………（1 分）
2(x + 5) 3
2 25 5 19∴3x 50x + 50 = 0， x = ．
3
25 5 19
∵点 E、F 分别在边 AB、DC 上，∴ x = ．……………………（1 分）
3
②当点 G 在△ADC 外时， DP + PQ MQ = DM ，且 DP=MQ．
10
∴ PQ = DM = ．
3
∵四边形 EPQA 是平行四边形，
10
∴ AE = PQ = ． ………………………………………………（1 分）
3
25 5 19 10
综上所述，AE 的长为 或 ． A
3 3
QE
M G
P
B D FC
4虹口区 2021 学年第二学期学生学习能力诊断测试
初三数学 试卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2022.06
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题
纸的相应位置上．]
1．3 的倒数是
1 1
A．3； B．-3； C． ； D． ．
3 3
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是
1
A． ； B． 0.4 ； C． 6 ； D． 8 ．
2
3．抛物线 y = (x 1)2 + 3的顶点坐标是
A．（-1,3）； B．（1,3）； C．（-1,-3）； D．（1,-3）@:^]
4．甲、乙两人某次射击练习命中环数情况如下表，下列说法中正确的是
甲 6 2 7 8 7
乙 3 2 8 8 7
A．平均数相同； B．中位数相同； C．众数相同； D．方差相同．
5．下列命题中，假．命．题．是
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；D．有一组对角相等的平行四边形是菱形．
6．如图 1，已知线段 AB，按如下步骤作图： C E D
①过点 A 作射线 AC⊥AB；
②作∠BAC 的平分线 AD；
③以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 E；
④过点 E 作 EP⊥AB 于点 P．
A P B
则 AP∶AB 是 图 1
A．1: 2 ； B．1: 3 ； C．1: 2 ； D． 1: 5 ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算： a a2 = ▲ ．
8．分解因式： x2 + 4x + 4 = ▲ ．
9．方程 2 x = x 的解是 ▲ .
虹口区初三数学 本卷共4页 第1页
10．函数 y = 3 x 的定义域是 ▲ .
11．如果关于 x 的方程 x2 2x + k = 0有两个相等的实数根，那么 k 的值是 ▲ .
3
12．已知点 A ( x1 , y1 )、点 B ( x2 , y2 )在双曲线 y = 上，如果 0＜ x1 ＜ x2 ，那么 y1 ▲ y2 ．
x
13．如果从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这 10 个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素
数的概率是 ▲ .
14．为了解某区九年级 3200 名学生中观看 2022 北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中
200 名学生，结果有 150 名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的
九年级学生人数约为 ▲ ．
15．如果正三角形的边心距是 2，那么它的半径是 ▲ ．
16．如图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 E，设 AB = a ， AD = b ，那么
向量 EB用向量 a 、b 表示为 ▲ ．
17．如图 3，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 是 BC 的中点，联结 AE，点 O 是线段 AE
上一点，⊙O 的半径为 1，如果⊙O 与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长
的取值范围是 ▲ ．
A D A D A D
O E
F
E
M
B C B E C B C
图 2 图 3 图 4
18．如图 4，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 M 是边 CD 的中点，将△BCM 沿直线 BM 翻
折， 使得点 C 落在同一平面内的点 E 处，联结 AE 并延长交射线 BM 于点 F，那么 EF 的
长为 ▲ ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
1
1 0
计算： +( ) + 2 1 122 ．
3+ 2
20．（本题满分 10 分）
2x 3y = 3
解方程组： ．
x2 9y2 = 0
虹口区初三数学 本卷共4页 第2页
21．（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图 5，在△ABC 中，∠B=45°，CD 是 AB 边上的中线，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为点
3
E，若 CD=5， sin BCD = ．
5 A
（1）求 BC 的长；
（2）求∠ACB 的正切值．
D
B E C
图 5
22．（本题满分 10 分，第（1）小题 2 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 3 分）
浦江边某条健身步道的甲、乙两处相距 3000 米，小杰和小丽分别从甲、乙两处同时出发，
匀速相向而行．小杰的运动速度较快，当到达乙处后，随即停止运动，而小丽则继续向甲处运
动，到达后也停止运动．在以上过程中，小杰和小丽之间的距离 y（米）与运动时间 x（分）之
间的函数关系，如图 6 中折线 AB-BC-CD 所示．
（1）小杰和小丽从出发到相遇需要 ▲ 分钟；
（2）当0≤ x≤24时，求 y 关于 x 的函数解析式（不需写出定义域）；
y（米）
（3）当小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有多少米．
A
3000 D
C
B
O 24 40 x（分）
图 6
23．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
已知：如图 7， AB、AC 是⊙O 的两条弦，AB=AC，点 M、N 分别在弦 AB、AC 上，且
AM=CN，AM＜AN，联结 OM、ON．
A
（1）求证：OM=ON；
（2）当∠BAC 为锐角时，如果 AO2 = AM AC ， M
求证：四边形 AMON 为等腰梯形．
N
O
B C
图 7
虹口区初三数学 本卷共4页 第3页
24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）
2
如图 8，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax +bx + 6 与 x 轴交于点 A( 2 ，0)和点
B(6，0)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，联结 BC 交抛物线的对称轴 l 于点 E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结 CD、BD，点 P 是射线 DE 上的一点，如果 S△ = S△ ，求点 P 的坐标； PDB CDB
（3）点 M 是线段 BE 上的一点，点 N 是对称轴 l 右侧抛物线上的一点，如果△EMN 是以
EM 为腰的等腰直角三角形，求点 M 的坐标．
y l
D
C
E
A O B x
图 8
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
如图 9，在△ABC 中，AC=6，BC=9，∠BAC=2∠B，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．点 E、
F 分别在线段 AB、DC 上，且 AE=DF，联结 EF，以 AE、EF 为邻边作平行四边形 AEFG．
（1）求 BD 的长；
（2）当平行四边形 AEFG 是矩形时，求 AE 的长；
（3）过点 D 作平行于 AB 的直线，分别交 EF、AG、AC 于点 P、Q、M．当 DP=MQ 时，
求 AE 的长． A
E
G
B
D F C
图 9
A
B D C
备用图
虹口区初三数学 本卷共4页 第4页

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