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3．1　函数及其表示
(教师独具内容)
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．
2．体会区间表示集合的简洁性和优越性，重点是函数的概念、函数的表示法及定义域和值域的求法，特别是理解抽象函数的定义域与值域，理解分段函数的概念及其应用．
3．重点提升数学抽象、数学运算和数学建模素养．
(教师独具内容)
1．函数的定义域、值域问题在高考中一般不单独考查，但常会和函数的单调性、奇偶性等结合考查．
2．对于函数的表示方法，要求在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
3．对于分段函数，从近五年的全国卷来看，多与函数的零点、解不等式结合考查．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．函数及其有关概念
(1)函数的定义域、值域：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
注：两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
2．函数的三种表示法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法．
(2)一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．这就是说，如果F是函数y＝f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上．用图象表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为图象法．
(3)列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．
3．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数．
注：关于分段函数的三个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
1．(2022·抚顺市雷锋高级中学高三月考)已知函数f(x)＝，则f(x＋1)＝(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　依题意f(x＋1)＝.故选D.
2．(2022·银川唐徕回民中学高三月考)f(x)＝则f(3)＝(　　)
A．3 B．－3 C．0 D．6
答案　A
解析　∵3≥0，∴f(3)＝32－2×3＝3.故选A.
3．(2022·福建省厦门第六中学高三月考)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　对于A，当x∈(0，2]时，在集合N中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；对于B，根据函数的定义，本选项符合题意；对于C，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意．故选B.
4．(2022·广东广州高三月考)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．{－2} B．{－2，2}
C．{2} D．{－1，0，1}
答案　B
解析　对于集合B，x2－4≥0 x≥2或x≤－2，即B＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，则A∩B＝{－2，2}．故选B.
5．函数f(x)＝则f(x)的最大值和最小值分别为(　　)
A．8，6 B．10，8 C．10，6 D．10，7
答案　C
解析　由题意得，当1≤x≤2时，7≤f(x)≤10；当－1≤x<1时，6≤f(x)<8.所以函数f(x)的最大值为10，最小值为6.故选C.
1．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋
答案　C
解析　对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意；对于D，当02．(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝
若f(f())＝3，则a＝________．
答案　2
解析　因为>2，所以f()＝6－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
3．(2020·北京高考)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．
答案　(0，＋∞)
解析　由题意得∴x＞0.∴函数的定义域为(0，＋∞).
一、基础知识巩固
考点　　函数的概念
例1　(2021·安阳模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A.①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
答案　C
解析　①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义．
例2　下列各组是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1(x∈R)，g(s)＝s2－2s－1(s∈Z)
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝ ，g(x)＝
D．f(x)＝ ，g(x)＝x
答案　C
解析　对于A，B，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于C，两函数定义域和对应关系相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝|x|，g(x)＝x，对应关系不同，所以不是同一个函数．
　1.下列所给图象中函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　①中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2．(2021·上海嘉定区期末)已知函数f(x)＝(x>1)，g(x)＝(x≥2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)＝|f(x)|·g(x)，＝|g(x)|，学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一个函数，乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一个函数，丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一个函数，观点正确的学生是________．
答案　甲
解析　因为f(x)＝(x>1)，g(x)＝(x≥2)，所以|f(x)|＝(x>1)，F(x)＝·＝(x≥2)，＝|g(x)|，＝(x≥2)，解得G(x)＝(x≥2)，所以F(x)＝G(x)＝(x≥2).故观点正确的学生是甲．
　研究一个函数，首先要看函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
考点　　函数的定义域
例3　(2021·湘潭模拟)函数f(x)＝＋ln (ex－1)的定义域为________．
答案　
解析　由f(x)＝ ＋ln (ex－1)，得解得0＜x≤，所以f(x)的定义域为.
例4　(2021·河南高三期末)设函数f(x)＝＋ln (4－x)的定义域为A，函数g(x)＝x2－x＋1的值域为B，则A∩B＝________(结果用区间表示).
答案　
解析　由f(x)＝＋ln (4－x)得解得≤x<4，则A＝，g(x)＝＋≥，当且仅当x＝时取“＝”，则B＝，所以A∩B＝.
　3.(2021·安徽省舒城中学高三月考)已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　)
A．[，2] B．[2，4] C．[4，8] D．[1，2]
答案　A
解析　因为f(x)的值域为[1，2]，即1≤log2x≤2，所以2≤x≤4，所以f(x)的定义域为[2，4]，所以φ(x)＝f(2x)＋f(x2)应满足解得≤x≤2，所以φ(x)的定义域为[，2].故选A.
4．(1)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，求函数y＝f(x)的定义域．
解　∵y＝f(x＋2)中，1≤x≤4，
∴3≤x＋2≤6，
故函数y＝f(x)的定义域为[3，6].
(2)已知函数y＝f(2x)的定义域为[0，1]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
解　∵y＝f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，
∴函数y＝f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，
∴－1≤x≤1，
∴函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，1].
　求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发，求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助数轴，注意端点值的取舍．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域，如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
(3)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a考点　　函数的解析式
例5　(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝lg (x>1)
解析　(换元法)令＋1＝t，得x＝，因为x＞0，所以t＞1，所以f(t)＝lg ，即f(x)的解析式是f(x)＝lg (x>1).
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝x2－x＋3
解析　(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以所以所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝2x
解析　(解方程组法)f(－x)＋2f(x)＝2x　①，将x换成－x得f(x)＋2f(－x)＝－2x　②，由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.
　5.(2022·河北正定中学高三月考)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝(　　)
A．＋(x>0) B．＋(x>0)
C．＋1(x>0) D．－1(x>0)
答案　B
解析　因为f(x)＝2f·－1　①，所以f＝2f(x)·－1　②，①②联立，解得f(x)＝＋(x>0).故选B.
6．已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
答案　x2－5x＋9(x∈R)
解析　解法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
解法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
解法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
　求函数解析式的四种方法
考点　　分段函数
例6　(2021·安徽省泗县第一中学高三月考)设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1，3)
答案　C
解析　若f(x0)>1，可得当x0<2时，－1>1，解得x0<－1；当x0≥2时，log2(x0－1)>1，解得x0>3.则x0的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).故选C.
例7　(2021·泰安模拟)已知函数f(x)＝则f(－2022)＝________．
答案　－2
解析　根据题意，当x<0时，f(x)＝f(x＋3)，所以f(－2022)＝f(0－3×674)＝f(0)，f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2，所以f(－2022)＝－2.
　7.(2021·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(3a－1)≥[f(a2)]2的解集为(　　)
A．∪[1，＋∞)
B．∪
C．
D．
答案　A
解析　因为a2≥0，所以[f(a2)]2＝(e－a2)2＝e－2a2＝f(2a2)，所以f(3a－1)≥[f(a2)]2，即f(3a－1)≥f(2a2)，画出f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)在R上单调递减，所以3a－1≤2a2，即2a2－3a＋1≥0，解得a≥1或a≤.故选A.
8．(2021·山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f＝________．
答案　－1
解析　当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍去)；当0　
1．分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
二、核心素养提升
例1　(2021·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
答案　C
解析　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
例2　(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋
C．y＝－log3x
D．y＝
答案　AD
解析　根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”．
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
课时作业
一、单项选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－2，1) B．[－2，1]
C．(0，1) D．(0，1]
答案　C
解析　由题意得所以所以02．已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．0 B． C． D．4
答案　C
解析　由题意知f(1)＝2×1－4＝－2，所以f(f(1))＝f(－2)＝2－2＋1＝.
3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝1，则a的值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．2
答案　A
解析　因为f(f(0))＝f(－e0)＝f(－1)＝a(－1)2＝1，所以a的值为1.
4．已知函数f(x)的定义域为(0，2]，则函数f()的定义域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，3]
C．[，3) D．(0，)
答案　B
解析　由0<≤2，得－15．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．
答案　B
解析　当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x＝4，解得x0＝2.当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，无解，所以x0＝2.
6．(2021·东营模拟)设函数f(x)＝若对任意的a∈R，都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．[0，2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2)
答案　C
解析　当a≥1时，2a≥2，所以f(f(a))＝f(2a)＝2×2a＝2f(a)恒成立．当a<1时，由f(f(a))＝f(λ－a)＝2(λ－a)，得λ－a≥1，则λ≥a＋1，由题意知a＋1＜2，所以λ≥2.综上，λ的取值范围是[2，＋∞).
7．(2021·福建省福州第一中学高三期中)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
答案　C
解析　当a>0时，－a<0，由f(a)>f(－a)得log2a>loga，所以2log2a>0，可得a>1；当a<0时，－a>0，由f(a)>f(－a)得log(－a)>log2(－a)，所以2log2(－a)<0，即0<－a＜1，即－11.故选C.
8．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．
C． D．
答案　C
解析　要使函数f(x)的值域为R，需使
所以所以－1≤a<，即a的取值范围是.
二、多项选择题
9．函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝f B．－f(x)＝f
C．＝f D．f(－x)＝－f(x)
答案　AD
解析　根据题意得f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f，－f(x)≠f，≠f；f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x).
10．(2022·武汉质检)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B．f(x)＝x，g(x)＝()2
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)
答案　CD
解析　A项和B项中两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，C项和D项中两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．故选CD.
三、填空题
11.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
答案　(2，8]
解析　要使函数有意义，需f(x)>0，由f(x)的图象可知，当x∈(2，8]时，f(x)>0.
12．(2022·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤5的解集为________．
答案　[－2，4]
解析　当x>0时，令3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得013．定义新运算“”：当m≥n时，mn＝m；当m答案　[－2，0]∪(4，60]
解析　由题意知，f(x)＝当x∈[1，2]时，f(x)∈[－2，0]；当x∈(2，4]时，f(x)∈(4，60]，故当x∈[1，4]时，f(x)∈[－2，0]∪(4，60].
14．具有性质：f＝－f(x)的函数f(x)我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号).
答案　①③
解析　对于①，f＝－x＝－f(x)，符合题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不符合题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，符合题意．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.
四、解答题
15．已知f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．
解　(1)由题意，得f＝f＝f＝f＝f＝2×＋1＝2.
(2)当0得a＝或a＝－(舍去).
综上所述，a＝或a＝.
16．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3]时，求函数f(x)的值域．
解　(1)因为f(x)＝x2＋mx＋n且f(0)＝f(1)，所以n＝1＋m＋n，所以m＝－1，所以f(x)＝x2－x＋n.因为方程x＝f(x)有两个相等的实数根，所以方程x＝x2－x＋n有两个相等的实数根，即方程x2－2x＋n＝0有两个相等的实数根，所以(－2)2－4n＝0，所以n＝1.所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－x＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为直线x＝的抛物线，所以当x＝时，f(x)有最小值f.f＝－＋1＝，因为f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，所以当x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为.
17．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2022)＋f的值．
解　(1)f(x)＝＝1－，得f(2)＝1－＝，f＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)可知f(x)＋f＝1，所以f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2022)＋f＝1.
所以f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2022)＋f＝2021.

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