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3．3　函数的奇偶性与周期性
(教师独具内容)
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．
2．对比函数单调性的证明方法，理解函数奇偶性的证明方法，结合图象特征体会奇偶性的作用．
3．了解函数周期性的概念和几何意义．
4．通过数形结合，理解函数奇偶性及周期性的概念，培养直观想象素养；通过对函数奇偶性的证明，培养逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．函数的奇偶性是函数性质的重点内容，也是历年高考的热点内容，每年高考均有涉及，常与函数的单调性等其他知识相结合进行考查，体现其综合性．在近五年的全国卷中，考查过由函数的奇偶性求函数的解析式，考查过由函数的奇偶性求不等式的解集，常以选择题、填空题的形式出现．
2．准确理解函数奇偶性的概念，并能够应用函数的奇偶性解决以下问题：(1)判断函数的奇偶性；(2)根据奇偶性确定函数的值、参数的值；(3)奇偶性与单调性相结合解决抽象函数不等式的问题，同时要注意对奇偶性隐性结论考查的问题．
3．解决周期性、奇偶性与单调性相结合问题，通常先利用周期性转化为自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．函数的奇偶性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
注：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
偶函数的图象特点：关于y轴对称；
奇函数的图象特点：关于原点中心对称．
2．函数的周期性
(1)周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
注：周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．常用结论
(1)函数奇偶性的常用结论
①如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
②奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(2)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0).
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0).
④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).
(3)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
答案　D
解析　对于A，f(－x)＝－x－1≠f(x)，f(－x)≠－f(x)；对于B，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，f(－x)≠－f(x)；对于C，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)；对于D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x).故选D.
2．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f等于(　　)
A． B． C． D．1
答案　B
解析　由f(x＋2)＝f(x)，可知函数f(x)的周期T＝2，则f＝f＝2＝.
3．已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，则f(x)>f(x－1)的解集为________．
答案　
解析　∵f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵f(x)>f(x－1)，∴|x|<|x－1|，两边平方得x24．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案　
解析　∵f(x)是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴∴∴a＋b＝.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－1，1)时，f(x)＝
则f＝________．
答案　1
解析　由题意，得f＝f＝－4×＋2＝1.
1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　B
解析　解法一：因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.
解法二：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称．故选B.
2．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　D
解析　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a，所以f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a，又f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2.所以f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－f＝－f＝－a－b＝－a＝.故选D.
3．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
答案　D
解析　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得或或x＝0，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
4．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
答案　1
解析　设g(x)＝a·2x－2－x.因为函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是R上的偶函数，函数h(x)＝x3是R上的奇函数，所以函数g(x)＝a·2x－2－x是R上的奇函数，故g(0)＝a·20－2－0＝a－1＝0，因此a＝1.
5．(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
答案　－3
解析　设x>0，则－x<0.∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln 2)＝e－a ln 2＝(eln 2)－a＝2－a.又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
一、基础知识巩固
考点　　函数奇偶性的判定
例1　(2022·长沙市南雅中学高三模拟)下列判断正确的是(　　)
A．函数f(x)＝是奇函数
B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数
C．函数f(x)＝x＋1是非奇非偶函数
D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数
答案　C
解析　f(x)＝，函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，A错误；f(x)＝(1－x)· ，函数的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，B错误；f(x)＝x＋1的定义域为R，且f(x)≠f(－x)，f(－x)≠－f(x)，故函数为非奇非偶函数，C正确；函数f(x)＝1的图象关于y轴对称，是偶函数，不是奇函数，D错误．故选C.
例2　(2021·浙江温州高三模拟)下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是(　　)
A.y＝ln (－x) B．y＝tan x
C．y＝3x－3－x D．y＝x3＋1
答案　C
解析　对于A，x∈R，y＝f(x)
＝ln ＝ln ，因为y＝是减函数，y＝ln x是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法(同增异减)，得f(x)是减函数，故A错误；对于B，x∈，k∈Z，由于y＝tan x在定义域内不是单调函数，故B错误；对于C，x∈R，因为y＝3x与y＝－3－x都是增函数，所以y＝3x－3－x是增函数，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故C正确；对于D，x∈R，f(－x)＝(－x)3＋1≠－f(x)，故D错误．故选C.
　1.(2021·辽宁沈阳高三月考)已知函数f(x)＝e|x|－e－|x|，则函数f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
答案　A
解析　∵f(x)＝e|x|－e－|x|，∴f(－x)＝e|－x|－e－|－x|＝e|x|－e－|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝e|x|－e－|x|为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ex－e－x＝ex－，∵函数y＝ex在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，即函数f(x)＝e|x|－e－|x|在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
2．(2021·河南郑州高三月考)已知函数f(x)＝log2(2x＋2＋ )，则下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　A
解析　由题意可得，f(x)＝log2[2(x＋1)＋]＝log2[(x＋1)＋]＋1，则f(x－1)－1＝log2(x＋)，令g(x)＝log2(x＋)，定义域为R，∴g(x)＋g(－x)＝log2(x＋)＋log2(－x＋)＝log21＝0，故g(x)＝f(x－1)－1是奇函数．故选A.
　判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
考点　　函数奇偶性的应用
例3　(多选)(2022·江苏泰州高三期中)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k的值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　AC
解析　因为函数f(x)＝在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.所以＝－，所以(k2－1)[(2x)2＋1]＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.故选AC.
例4　(2022·湖南岳阳模拟)设f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．ex＋1
C．－e－x－1 D．ex－1
答案　D
解析　设x<0，则－x>0，因为函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，所以f(－x)＝ex－1＝f(x)，即f(x)＝ex－1.故选D.
　3.(2022·辽宁沈阳模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A． B． C． D．1
答案　A
解析　∵f(x)＝为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，得a＝.故选A.
4．(2021·江苏南京模拟)如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上是(　　)
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
答案　A
解析　因为f(x)为奇函数，在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，所以f(x)在[1，3]上的单调性与在[－3，－1]上一致且有最小值－5.故选A.
　利用函数奇偶性可以解决的问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
考点　　函数的周期性
例5　(2021·嫩江市高级中学模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2023)＝(　　)
A．20232 B．1 C．0 D．－1
答案　D
解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，因为f(x)为R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故选D.
例6　(2021·安徽金安六安一中高三月考)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈(1，2)时，f(x)＝－3x2＋2，则f＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　∵f(x＋1)为奇函数，∴f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f((x＋1)＋1)＝－f(－(x＋1)＋1)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).故函数f(x)的周期为4.∴f＝f＝－f＝.故选B.
　5.(2021·河北正定中学高三月考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[3，5]时，f(x)＝1－|x－4|，则下列不等式成立的是(　　)
A．f>f
B．f(sin 1)>f(cos 1)
C．f>f
D．f(sin 2)>f(cos 2)
答案　C
解析　∵当x∈[3，5]时，f(x)＝1－|x－4|，f(x＋2)＝f(x)，∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝1－|x|，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，∴函数f(x)在[0，1]上为减函数，又0f，C正确；f(sin 2)＝1－sin 2，f(cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 6．(2021·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．
答案　
解析　因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝.
　
1．求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
2．周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(对称中心在垂直于y轴的直线上，对称轴垂直于x轴)，那么这个函数一定具有周期性．
考点　　函数的对称性
例7　(1)已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是(　　)
A．f(－1)B．f(13)C．f(9)D．f(13)答案　C
解析　∵f(5＋t)＝f(5－t)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝5对称，∴f(－1)＝f(11)，∵函数f(x)在区间(－∞，5]上单调递减，∴f(x)在(5，＋∞)上单调递增．∴f(9)＜f(11)＜f(13)，即f(9)＜f(－1)＜f(13).
(2)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案　B
解析　由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图象关于(0，1)对称，而y＝＝1＋也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，xi＋xi′＝0，yi＋yi′＝2，∴ (xi＋yi)＝xi＋yi＝0＋2×＝m.
例8　(2021·大连市第四十八中学高三期中)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，＋∞)
C．∪(1，＋∞)
D．(0，1)∪(1，4)
答案　C
解析　当－4≤x＜0时，函数y＝|x＋3|关于原点对称的函数为－y＝|－x＋3|，即y＝－|x－3|(0＜x≤4)，因为函数f(x)的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f(x)＝logax(x＞0)与y＝－|x－3|(0＜x≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a＞1，则f(x)＝logax(x＞0)与y＝－|x－3|(0＜x≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x＝4时，y＝－|4－3|＝－1，若0＜a＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f(4)＜－1，即loga4＜－1，得＜a＜1.综上可得，实数a的取值范围是∪(1，＋∞).故选C.
　7.(2022·福建泉州模拟)已知函数g(x)的图象与f(x)＝x2－mx的图象关于点(－1，2)对称，且g(x)的图象与直线y＝－4x－4相切，则实数m＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－1
答案　C
解析　设(x，y)是函数g(x)的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x，4－y)，因此点(－2－x，4－y)在f(x)的图象上，所以4－y＝(－2－x)2－m(－2－x)，整理得y＝－x2－mx－4x－2m，即g(x)＝－x2－mx－4x－2m，又g(x)的图象与直线y＝－4x－4相切，所以方程－x2－mx－4x－2m＝－4x－4，即x2＋mx＋2m－4＝0有两个相等的实数根，则m2－4(2m－4)＝0，可得m＝4.故选C.
8．(2021·南京市中华中学高三月考)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝若对任意的x∈[t，t＋1]，不等式f(2－x)≤f(x＋1＋t)恒成立，则实数t的最大值为(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．
答案　C
解析　∵f(2－x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵当x≥1时，f(x)＝当1≤x＜4时，f(x)＝3－x为减函数，且f(x)∈(－1，2]；当x≥4时，f(x)＝1－log2x为减函数，且f(x)∈(－∞，－1]，∴f(x)在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f(2－x)≤f(x＋1＋t)对任意x∈[t，t＋1]恒成立，由对称性可得|2－x－1|≥|x＋1＋t－1|对任意x∈[t，t＋1]恒成立，即有|x－1|≥|x＋t| －2x＋1≥2tx＋t2 (2t＋2)x＋t2－1≤0对任意x∈[t，t＋1]恒成立，令g(x)＝(2t＋2)·x＋t2－1，则即
即解得－1≤t≤－，∴实数t的最大值为－.故选C.
　
1．函数的对称性对定义域的要求
无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称．
2．轴对称
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(x)的图象关于直线x＝a轴对称(当a＝0时，恰好就是偶函数).
(2)f(a－x)＝f(b＋x) f(x)的图象关于直线x＝轴对称．
(3)f(x＋a)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，进而可得到f(x)的图象关于直线x＝a轴对称．
3．中心对称
(1)f(a－x)＝－f(a＋x) f(x)的图象关于点(a，0)中心对称(当a＝0时，恰好就是奇函数).
(2)f(a－x)＝－f(b＋x) f(x)的图象关于点中心对称．
(3)f(a－x)＋f(b＋x)＝2c f(x)的图象关于点中心对称．
4．两个函数间的对称性
如y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图象关于直线x＝m对称；y＝f(x)与y＝2n－f(2m－x)的图象关于点(m，n)对称等．同时，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．如y＝logax(a>0，a≠1)与y＝ax(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称；函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称等．
考点　　奇偶性、单调性、周期性的综合应用
例9　定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
答案　D
解析　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5).∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，∴a>c>b.故选D.
例10　函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解　(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数．证明如下：
函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)f(x)是R上的增函数．证明如下：
任取x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x1)∵f＝1，∴f＝f＝f＋f＝2，∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)　9.若f(x)是偶函数，且 x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有>0，若f(－2)＝1，则不等式f(x－1)－1<0的解集为(　　)
A．{x|x>1或－3B.{x|x<－1或x>3}
C．{x|x<－1或0D．{x|－1答案　D
解析　 x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有>0，不妨设x1>x2≥0，则f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，因为函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝1，由f(x－1)－1<0可得f(|x－1|)<1＝f(2)，可得|x－1|<2，解得－110．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，对于任意的x，总有f(x－2)＝f(x＋2)成立，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2－2x＋1，函数g(x)＝mx2＋x(x∈R)，对任意x∈R，存在t∈R，使得f(x)>g(t)成立，则满足条件的实数m构成的集合为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称可知，函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数y＝f(x)是奇函数，由对于任意的x，总有f(x－2)＝f(x＋2)成立，即f(x＋4)＝f(x)恒成立，得函数y＝f(x)的周期是4，又当x∈(0，2)时，f(x)＝x2－2x＋1，则当x∈(0，2)时，0≤f(x)<1，而f(x)是奇函数，则当x∈(－2，0)时，－1g(t)成立，从而得不等式g(x)≤－1在R上有解，即mx2＋x≤－1在R上有解，当m≤0时，取x＝－2，4m－2≤－2<－1成立，得m≤0；当m>0时，mx2＋x＋1≤0在R上有解，必有Δ＝1－4m≥0，解得m≤，则有0　函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
二、核心素养提升
例1　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x－1)为奇函数
D．函数f(x－3)为偶函数
答案　BC
解析　对于A，B，因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x).因为f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知A错误，B正确；对于C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1).在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故C正确；对于D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cos x，则f(x－3)＝cos ＝cos ＝－sin x为奇函数，故D错误．
例2　(2021·湖南八校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则使不等式f(log3x)－3<0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，9) B．(0，9)
C．(9，＋∞) D．
答案　B
解析　当x>0时，f(x)＝2x－1是增函数，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，满足f(x)＝2x－1，又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)例3　(2021·青岛高三期末)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③ x1，x2∈[0，1)有>0(x1≠x2)恒成立，则f，f(4)，f的大小关系正确的为(　　)
A．f>f(4)>f
B．f(4)>f>f
C．f>f(4)>f
D．f>f>f(4)
答案　C
解析　因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数．因为f(x－2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x－2) f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．由 x1，x2∈[0，1)有>0(x1≠x2)恒成立，得f(x)在区间[0，1)内单调递增，结合f(x)为奇函数可得函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，因为f＝f＝f，f＝f＝f，f(4)＝f(0)，所以f>f(4)>f.
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果．
课时作业
一、单项选择题
1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x2
C．y＝ D．y＝x|x|
答案　D
解析　对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件；对于B，y＝－x2是偶函数，不满足条件；对于C，y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件；对于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数．综上，y＝x|x|在R上为增函数．故选D.
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
答案　B
解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.故选B.
3．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　　)
A．＋1 B．－1
C．－－1 D．－＋1
答案　D
解析　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝－＋1.故选D.
4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(log27)B．f(log27)C．f(－5)D．f(－5)答案　C
解析　因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2，4]上的大致图象，如图所示．又25．(2021·岳麓湖南师大附中高三月考)函数f(x)＝2x＋4＋的图象关于(　　)
A．点(－2，0)对称
B．直线x＝－2对称
C．点(2，0)对称
D．直线x＝2对称
答案　B
解析　因为f(x)＝2x＋4＋＝2x＋4＋2－x，该函数的定义域为R，f(－x－4)＝2－x－4＋4＋2－(－x－4)＝2－x＋2x＋4＝f(x)，因此，函数f(x)＝2x＋4＋的图象关于直线x＝－2对称．故选B.
6．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．－2 B．0 C．2 D．1
答案　A
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，所以f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，所以f(1)＝0，f＝f＝－f＝－2，所以f＋f(1)＝－2.
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－28．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论不成立的是(　　)
A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
答案　A
解析　因为y＝f(x＋4)为偶函数，所以f(－x＋4)＝f(x＋4)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，所以f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6)，f(3)>f(2)，故A错误，B，C，D正确．
二、多项选择题
9．设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
答案　ABC
解析　因为f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x).所以f(x)是奇函数．所以－f(x)是奇函数．所以|f(－x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|是偶函数，所以f(x)|f(x)|为奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
10．(2021·武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x＋3)＝0，f(x)在[0，1]上单调递减，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)D．函数f(x)在[2021，2022]上单调递减
答案　ABC
解析　由f(x)－f(－x)＝0可得f(x)＝f(－x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A正确；由f(x＋1)－f(x＋3)＝0可得f(x＋1)＝f(x＋3)，f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)的最小正周期为2，所以B正确；因为函数f(x)是偶函数，且在[0，1]上单调递减，最小正周期为2，故函数f(x)在[1，2]上单调递增，在[3，4]上单调递增，f(3)三、填空题
11．(2021·咸阳模拟)已知函数f(x)＝
为奇函数，则a＝________．
答案　－1
解析　由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意).
12．(2021·河南郑州十一中高三期中)若函数f(x)同时满足：a.对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；b.对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数：①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝；④f(x)＝其中能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).
答案　④
解析　对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，∴当x1f(x2)，即函数f(x)是减函数．故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数．①f(x)＝在定义域R上是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；②f(x)＝x2在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；③f(x)＝＝1－是定义域R上的增函数，所以不是“理想函数”；④f(x)＝在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．
13．已知函数f(x)对任意x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，则f(26)＝________．
答案　0
解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(26)＝f(2).因为对任意x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，又f(0＋2)＝－f(0)，即f(0)＝－f(2)，所以f(2)＝－f(2)，即f(2)＝0.所以f(26)＝f(2)＝0.
14.已知y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，它们的定义域均为[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．
答案　{x|－2解析　由图象得，当1四、解答题
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1故实数a的取值范围是(1，3].
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
解　(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
17．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
解　(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0<|x－1|<16，解得－15

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