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3．6　对数与对数函数
(教师独具内容)
1．结合具体实例，学习对数的概念，理解对数的意义、符号．在理解对数概念的基础上，从指数幂的运算性质类比对数运算性质，进而掌握对数运算性质．
2．能够熟练地进行对数式与指数式的互化，并能利用换底公式及对数运算性质进行化简、计算与证明．
3．理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域、值域的求法，能画出具体对数函数的图象，借助对数函数的图象研究函数的性质与特殊点，利用数形结合的思想解决问题．在掌握对数函数的图象和性质的基础上，能够解决与对数函数有关的复合函数问题．
4．掌握对数函数的单调性，会利用单调性比较数值大小、解不等式，了解反函数的概念，掌握互为反函数的两个函数的联系及两个函数图象的特征．
5．重点提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，a≠1).
4．对数运算性质及换底公式是高考考查的重点内容之一，在学习对数函数时，应当掌握对数函数的概念、图象、单调性和奇偶性等常考知识点，能解决对数型函数的图象识别问题、利用单调性比较大小以及求复合函数中参数的取值范围等问题．
5．本考点是高考的热点，其中对数式与指数式的互化在近五年全国卷中常考，作为基础运算，它可以和指数运算综合考查，也可以和分段函数综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．对数的概念及运算性质
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x就叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．我们将以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N；将以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
注：指数、对数之间的关系
(1)对数的性质
①负数和零没有对数；
②1的对数是零；
③底数的对数等于1.
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
2．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
续表
底数 a>1 0性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；当01时，恒有y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和04．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
5．常用结论
(1)换底公式的变形
①logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；
②logambn＝logab(a，b均大于0且a不等于1，m≠0，n∈R).
(2)换底公式的推广
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
(3)对数恒等式
alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)，logaaN＝N(a>0，且a≠1).
(4)对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5) B．(3，5)
C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)
答案　D
解析　由题意得解得32．(2021·四川省乐山第一中学高三月考)已知a，b，c是不等于1的正实数，且ab≠1，若logabc＝logac·logbc，则logac＋logbc＝(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．logabc
答案　B
解析　logabc＝logac·logbc，由换底公式可化为logcab＝logca·logcb，即logca＋logcb＝logca·logcb，两边同时除以logca·logcb，得＋＝1，再用一次换底公式，得logac＋logbc＝1.故选B.
3．若0A．3y<3x B．logx3>logy3
C．log4x>log4y D．<
答案　B
解析　对于A，因为x，即logx3>logy3，B正确；对于C，因为0，故D不正确．故选B.
4．已知log2m＝2.016，log2n＝1.016，则＝ ．
答案　
解析　log2m＝2.016，log2n＝1.016，∴m＝22.016，n＝21.016，∴＝＝.
5．已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的图象过点A(2，1)和B(5，2)，求函数f(x)的解析式．
解　因为函数f(x)＝log3(ax＋b)的图象过点A(2，1)和B(5，2)，所以解得所以f(x)＝log3(2x－1).
1．(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．aC．b答案　A
解析　因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A.
2．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b答案　A
解析　∵a，b，c∈(0，1)，＝＝·＜·＝＝＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞.综上所述，a＜b＜c.故选A.
3．(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
答案　D
解析　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t＞1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝＞0，∴2x＞3y.又2x－5z＝－＝＝＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.故选D.
4．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，由y＝ln t为增函数可知，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).故选D.
5．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝ ．
答案　－7
解析　根据题意，有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7.
一、基础知识巩固
考点　　对数式的化简与求值
例1　已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)
A．24 B．16 C．12 D．8
答案　A
解析　因为3＜2＋log23＜4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24.
例2　已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为 ．
答案　2
解析　因为2x＝12，所以x＝log212，所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
　1.(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8lg22 D．b－a＞lg 6
答案　ACD
解析　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，b－a＝lg 25－lg 4＝lg ，lg 10＝1＞lg ＞lg 6，ab＝lg 4×lg 25＞4lg 2×lg 4＝8lg22.故选ACD.
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
答案　A
解析　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg ＝10.1，所以＝1010.1.
　对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)ab＝N b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式．
考点　　对数函数的图象及其应用
例3　(多选)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1 B．0＜c＜1
C．c＞1 D．0＜a＜1
答案　BD
解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.
例4　(2021·海南模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案　B
解析　f(x)＝|ln x|的图象如图所示，因为01，所以－ln a＝ln b，所以ab＝1，所以2a＋b≥2＝2，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立．
　3.(2021·烟台模拟)在同一个坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg 的图象可能是(　　)
答案　A
解析　由题意知a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg 单调递减，故排除B，D；对于A，C，由函数f(x)＝的图象可知04．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
答案　B
解析　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知，只需满足loga＞4 eq \s\up15()，解得a＞，所以＜a＜1.故选B.
　解决对数函数的图象及其应用问题时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等).
考点　　对数函数的性质及其应用
例5　(2021·河南洛阳高三期中)已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，则(　　)
A．aC．b答案　A
解析　a＝log32<1，b＝log23>log22 eq \s\up15()>log22＝＝20.5，20.5>c＝20.3>1，∴a例6　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B． C． D．(0，2]
答案　C
解析　因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2.故选C.
　5.(2021·绵阳中学高三模拟)若loga<1，其中a>0且a≠1，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．∪(1，＋∞)
C．∪(1，＋∞) D．
答案　B
解析　loga<1＝logaa.当a>1时，函数y＝logax是增函数，不等式恒成立；当06．(2021·山东青岛模拟)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是 ．
答案　a>b>c
解析　a＝log3π>log33＝1，＝log3>log3＝c，＝log2b>c.
　比较对数值大小的方法
考点　　与对数函数有关的复合函数的单调性问题例
7　(2021·安徽屯溪一中高三月考)函数f(x)＝ln (x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．a≤2 B．a<2
C．a≤－2 D．a<－2
答案　C
解析　令t(x)＝x2－ax－3，二次函数图象的对称轴方程为x＝a，由复合函数的单调性可知，a≤1.又x2－ax－3>0在(1，＋∞)上恒成立，所以1－a－3≥0，即－2－a≥0，所以解得a≤－2.故选C.
例8　(2021·四川高三月考)函数y＝ln (x2－2x－3)的单调递减区间是 ．
答案　(－∞，－1)
解析　对于函数y＝ln (x2－2x－3)，有x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以函数y＝ln (x2－2x－3)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，令u＝x2－2x－3，则内层函数u＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，外层函数y＝ln u在(0，＋∞)上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝ln (x2－2x－3)的单调递减区间为(－∞，－1).
　7.(2021·四川省内江市第六中学高三月考)已知函数f(x)＝log (x2－ax－a)，对任意两个不相等的实数x1，x2∈，都满足不等式>0，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　由题意可知，f(x)＝log (x2－ax－a)在x∈上单调递增，令u＝x2－ax－a.由复合函数的单调性可知，u＝x2－ax－a在上单调递减，且u>0在上恒成立，所以解得－1≤a≤.
8．已知函数f(x)＝log2(－x)，若任意的正数a，b，满足f(a)＋f(4b－1)＝0，则＋的最小值为 ．
答案　9
解析　∵f(－x)＝log2(＋x)＝log2＝－log2(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，∵y＝与y＝x在[0，＋∞)上均单调递增，∴μ＝＋x在[0，＋∞)上单调递增，又y＝log2μ在μ∈(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝－log2(＋x)在[0，＋∞)上单调递减，由奇函数性质知，f(x)在R上单调递减，又f(a)＋f(4b－1)＝0，∴f(a)＝－f(4b－1)＝f(1－4b)，∴a＝1－4b，即a＋4b＝1，∴＋＝＋＝＋－3≥2－3＝9，∴＋的最小值为9.
　解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题时，根据“同增异减”以及对数函数性质列出不等式求解．
二、核心素养提升
例1　(2021·广西桂林高三月考)已知函数f(x)＝lg (x＋8)－lg (－x＋8).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式f(x)>1的解集．
解　(1)要使f(x)有意义，则
解得－8(2)f(x)为奇函数．证明如下：
由(1)知，x∈(－8，8)且f(－x)＝lg (8－x)－lg (x＋8)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，得证．
(3)f(x)＝lg ＝lg 在(－8，8)内是增函数，由f(x)>1，
得>10，解得x>，
∴不等式f(x)>1的解集是.
例2　(2021·江苏无锡高三月考)已知函数f(x)＝log2(ax2＋3x＋1).
(1)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若存在x∈[1，＋∞)，使得f(x)－1>0成立，求实数a的取值范围．
解　(1)因为函数f(x)的值域为R，
所以(0，＋∞) {t|t＝ax2＋3x＋1}．
当a＝0时，符合要求；当a<0时，t＝ax2＋3x＋1的最大值是1－，不符合要求；
当a>0时，由Δ＝32－4a≥0可得a≤，此时a∈.
综上所述，实数a的取值范围为.
(2)因为存在x∈[1，＋∞)，使得f(x)－1>0成立，
即f(x)＝log2(ax2＋3x＋1)>1在[1，＋∞)上有解，
所以存在x∈[1，＋∞)，使得ax2＋3x＋1>2，即a>－成立，所以a>.
令t＝∈(0，1]，g(t)＝t2－3t，t∈(0，1]，
其图象的对称轴为直线t＝，开口向上，所以g(t)＝t2－3t在(0，1]上单调递减，
所以g(t)min＝g(1)＝－2，
所以＝－2，所以a>－2，故实数a的取值范围为(－2，＋∞).
例3　已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝log2(2x＋1)＋nx为偶函数．
(1)求m＋n的值；
(2)设h(x)＝g(x)＋x，若f(x)>h[log2(a＋1)]在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝＝0，解得m＝1，
所以f(x)＝，
则f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)＝为奇函数，故m＝1满足条件．
因为g(x)＝log2(2x＋1)＋nx为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，
即log2(2－x＋1)－nx＝log2(2x＋1)＋nx，
即log2(2x＋1)－log22x－nx＝log2(2x＋1)－x－nx＝log2(2x＋1)＋nx，
即－(1＋n)x＝nx，所以－1－n＝n，
解得n＝－，所以m＋n＝.
(2)由(1)可知g(x)＝log2(2x＋1)－x，
所以h(x)＝g(x)＋x＝log2(2x＋1)，
h[log2(a＋1)]＝log2[2log2(a＋1)＋1]＝log2(a＋2).
又因为f(x)＝＝ex－在区间[1，＋∞)上是增函数，
所以当x≥1时，f(x)min＝f(1)＝e－，
所以由题意，得e－>log2(a＋2)，
1．根据奇偶性的定义证明与对数函数相关的函数的奇偶性．
2．恒成立和存在性问题注意题意的转化计算．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．(2021·河北衡水一中高三月考)函数y＝的大致图象为(　　)
答案　A
解析　当x＝1时，y＝>0，排除C，D；当x＝－时，y＝＝<0，排除B.故选A.
2．函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0，且a≠1)的图象过定点(　　)
A． B．
C．(0，2) D．(2，0)
答案　D
解析　对于函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0，且a≠1)，令2x－3＝1，得x＝2，可得它的图象经过定点(2，0).故选D.
3．(2021·广州模拟)若loga3<0A．a>b>1 B．b>a>1
C．0答案　C
解析　因为loga3<01.故选C.
4．(2021·上海致远高级中学高三月考)函数F(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　F(x)＝|x2－2x|－|log2x|＝0 |x2－2x|＝|log2x|，即函数F(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零点个数为f(x)＝|x2－2x|和g(x)＝|log2x|的图象的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，数形结合可知，两个函数图象有3个交点，故函数F(x)＝|x2－2x|－|log2x|的零点个数是3.故选C.
5．(2021·海南昌茂花园学校模拟)函数f(x)＝log(x2－4x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(4，＋∞)
答案　D
解析　解不等式x2－4x>0，得x<0或x>4，所以函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(4，＋∞).设u＝x2－4x，可知函数图象开口向上，则函数u＝x2－4x在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(4，＋∞)上为增函数，而对数函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上为减函数，由复合函数单调性“同增异减”可知，函数f(x)＝log (x2－4x)的单调递减区间为(4，＋∞).故选D.
6．函数f(x)＝loga(3－2ax)(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．
C． D．(1，＋∞)
答案　C
解析　设u＝3－2ax，可得y＝logau，则u＝3－2ax是减函数，要使得函数f(x)＝loga(3－2ax)为[1，2]上的增函数，只需y＝logau为减函数，且满足u＝3－2ax>0对于x∈[1，2]恒成立，所以解得07．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0答案　B
解析　∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴＝log0.30.2，＝log0.32，∴＋＝log0.30.4，∴0<＋<1，即0<<1，∵a>0，b<0，∴ab<0，∴ab8．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋2x，若实数m满足f(log2m)≤3，则m的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．
C．(0，8] D．
答案　A
解析　根据题意，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则f(x)在区间(－∞，0]上为增函数，且f(－1)＝－1＋2×(－1)＝－3，又f(x)为奇函数，则f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝－f(－1)＝3，故f(x)在R上为增函数，f(log2m)≤3 f(log2m)≤f(1) log2m≤1，解得0二、多项选择题
9．(2021·福建南平模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B.当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
C．f(x)的最小值是lg 2
D．f(x)无最大值，也无最小值
答案　AC
解析　函数f(x)＝lg (x≠0)满足f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，A正确；当x>0时，函数f(x)＝lg ＝lg ，令t＝x＋，原函数变为y＝lg t，t＝x＋在(0，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，t＝x＋≥2，又函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)的最小值是lg 2，故B，D不正确，C正确．故选AC.
10．(2022·江苏常熟高三月考)已知函数f(x)＝－log2x，下列四个命题正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为增函数
D．若0答案　ABD
解析　函数f(x)＝－log2x，对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确；对于B，因为a>0，b>0，a≠b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2(ab)＝0，得ab＝1，故B正确；对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得01>1－a>0，0<1－a2<1，所以log2(1＋a)>0>log2(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)<0，故D正确．故选ABD.
三、填空题
11．(2021·山东济南实验中学高三月考)函数f(x)＝的定义域为 ．
答案　{x|1解析　由题意可得，自变量x需满足不等式组 112．(2021·上海高三模拟)若函数f(x)＝loga(－x2－ax－1)(a>0，且a≠1)有最大值，则a的取值范围是 ．
答案　(2，＋∞)
解析　因为内层函数的图象开口向下，f(x)有最大值，则外层函数为增函数，且内层函数的最大值为正数，所以解得a>2.
13．已知函数f(x)＝x＋ln (－x)－5(x∈[－2022，2022])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
答案　－10
解析　令g(x)＝x＋ln (－x)，x∈[－2022，2022]，则g(－x)＝－x＋ln (＋x)＝－x＋ln ＝－[x＋ln (－x)]＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则g(x)的图象关于(0，0)中心对称，所以f(x)＝x＋ln (－x)－5的图象关于(0，－5)中心对称，则M＋m＝－10.
14．已知函数f(x)＝|log2x|，若f(a)＝f(b)且a答案　(3，＋∞)
解析　f(x)＝|log2x|＝因为f(a)＝f(b)且a1，所以－log2a＝log2b，所以log2(ab)＝0，所以ab＝1，所以＋＝＋a，令g(x)＝＋x(0g(1)＝3，所以＋＝＋a>3，所以＋的取值范围为(3，＋∞).
四、解答题
15．化简求值：
(1)log3＋log3－3log32＋(－1)lg 1；
(2)(lg 2)2＋lg 5·lg 2＋lg 5＋lg 1；
(3)ln 2e2＋log37·log781－ln 2－log2－log2；
(4)2log23－log37·log79＋log186＋log183.
解　(1)log3＋log3－3 log32＋(－1)lg 1
＝log39－2＋(－1)0＝2－2＋1＝1.
(2)(lg 2)2＋lg 5·lg 2＋lg 5＋lg 1
＝(lg 2＋lg 5)·lg 2＋lg 5＋0＝lg 2＋lg 5＝1.
(3)ln 2e2＋log37·log781－ln 2－log2－log2
＝ln 2＋ln e2＋·－ln 2－log22 eq \s\up15()－log22 eq \s\up15()
＝ln 2＋2＋4－ln 2－－＝4.
(4)2log23－log37·log79＋log186＋log183＝3－·＋log18(6×3)＝3－2＋1＝2.
16．(2021·赣州市赣县第三中学高三开学考试)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋kx(k为常数，k∈R)，且f(x)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设函数h(x)＝log2＋x(a∈R)，若方程f(x)＝h(x)只有一个解，求a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋kx，x∈R是偶函数，所以f(－x)＝log2(2－x＋1)＋k·(－x)＝log2(2x＋1)－(k＋1)x＝f(x)，
即log2(2x＋1)－(k＋1)x＝log2(2x＋1)＋kx，所以k＝－.
(2)若方程f(x)＝h(x)只有一个解，
即log2(2x＋1)－x＝log2＋x只有一个解，
整理得a·(2x)2－·2x－1＝0，
令t＝2x，得at2－t－1＝0，
令m(t)＝at2－t－1，因为a·2x－a＝a>0，所以a与2x－同号．
①当a>0时，2x－>0，则t＝2x>，
方程at2－t－1＝0在区间上只有一个解，
因为m(t)＝at2－t－1的图象是开口向上的，
且m＝－<0，m＝>0，
所以当a>0时，方程at2－t－1＝0在区间上只有一个解；
②当a<0时，2x－<0，则t＝2x∈，
方程at2－t－1＝0在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数m(t)＝at2－t－1的图象是开口向下的，
且m(0)＝－1<0，m＝－<0，
则
解得
所以当a＝－10－4时，方程at2－t－1＝0在区间上只有一个解．
综上，当a>0或a＝－10－4时，方程f(x)＝h(x)只有一个解．
17．(2021·上海交大附中高三月考)已知a∈R，函数f(x)＝log2.
(1)若f(2)＝－3，求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．
解　(1)∵f(2)＝－3，
∴log2＝－3＝log2，
∴＋a＝，解得a＝－.
(2)由f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0得log2－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0.
即log2＝log2[(a－4)x＋2a－5]，
即＋a＝(a－4)x＋2a－5>0，①
则(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0，即(x＋1)·[(a－4)x－1]＝0，②
当a＝4时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立；
当a＝3时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝－1或x＝，
若x＝－1是方程①的解，则－1＋a＝a－1>0，即a>1，
若x＝是方程①的解，则a－4＋a＝2a－4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1综上，若方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是{a|1(3)函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，
由题意得f(t)－f(t＋1)≤1，
即log2－log2≤1，
即＋a≤2，
即a≥－＝.
设1－t＝r，则0≤r≤，＝＝，
当r＝0时，＝0，当0∵y＝r＋在(0，)上单调递减，
∴r＋≥＋4＝，
∴＝≤＝，
∴实数a的取值范围是.

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