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3．4　幂函数与二次函数
(教师独具内容)
1．了解幂函数的概念，通过对五个幂函数的基本性质的研究，能画出简单幂函数的图象，并根据图象理解幂函数的一些基本性质．
2．能够运用幂函数的性质解决问题，会利用幂函数的图象与性质比较实数的大小．
3．掌握分类讨论的思想方法，并掌握由特殊到一般的综合归纳方法，培养自主研究总结的能力．
4．重点提升逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．近五年高考题中，幂函数有所涉及．该考点可以和分段函数结合考查，也可以结合其他函数性质综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．
2．幂函数是高考考查的重点内容之一，在学习幂函数时，通过五个常见函数的图象，了解幂函数的图象及其性质，解决比较大小、函数图象变换等问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数．其中x是自变量，α是常数．
对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，，－1的图象．
2．五种常见幂函数的图象与性质
定义域 R R R {x| x≥0} {x| x≠0}
值域 R {y| y≥0} R {y| y≥0} {y| y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点 (1，1)
3．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
4．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征：
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小．
(2)－的值决定图象对称轴的位置．
(3)c的取值决定图象与y轴的交点位置．
(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
5．常用结论
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]：
①当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；
②当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；
③当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；
④当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m).
1．下列函数为幂函数的是(　　)
A．y＝x2＋1 B．y＝ax
C．y＝2x－2 D．y＝
答案　D
解析　幂函数是形如y＝xα的函数，故A，B，C不符合题意，D符合题意．故选D.
2．(2021·巴楚县第一中学模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝(　　)
A．2 B．－1
C．4 D．2或－1
答案　A
解析　由题意可知，m2－m－1＝1，即(m＋1)·(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不符合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．故选A.
3．下列说法正确的是(　　)
A．幂函数y＝xα始终经过点(0，0)和(1，1)
B．若函数f(x)＝x3，则对于任意的x1，x2∈R都有≤f
C．若函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则其解析式为f(x)＝
D．若函数f(x)＝x eq \s\up15(－)，则函数f(x)＝x eq \s\up15(－)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增
答案　C
解析　当α>0时，幂函数y＝xα始终经过点(0，0)和(1，1)；当α<0时，例如y＝x－1在x＝0处没有定义，故A错误；对于任意的x1，x2∈R，要证≤f，即证 eq \f(x＋x,2)≤，即证(x1－x2)2(x1＋x2)≤0，当x1＋x2>0时，不满足上式，故B错误；函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝，则其解析式为f(x)＝，故C正确；因为函数f(x)＝x eq \s\up15(－)，其中α<0，所以函数f(x)＝x eq \s\up15(－)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故D错误．故选C.
4．(2021·安徽六安一中高三月考)已知幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象经过点，且f(a＋1)A．(－∞，－1)∪(－1，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，－4)∪(2，＋∞)
D．(－4，－1)∪(－1，2)
答案　C
解析　由题意可知，f＝＝4，解得α＝－2，故f(x)＝x－2，易知f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，又因为f(a＋1)3且a＋1≠0，解得a<－1或－1＜a＜－4或a>2，故a的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，－4)∪(2，＋∞).故选C.
5．(2022·河北保定模拟)已知幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象过点(m，8).设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(log20.3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bC．a答案　D
解析　因为幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象过点(m，8)，则m－1＝1，且mn＝8，得m＝2，n＝3，函数f(x)＝x3，函数f(x)是R上的增函数，而log20.3<0<0.32<1<20.3，则有f(log20.3)　(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　)
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案　C
解析　解法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确．
解法二：由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，则ln (a－b)>0 不一定成立，故A不一定成立．因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故选C.
一、基础知识巩固
考点　　幂函数的概念
例1　(2021·湖南衡阳一中模拟)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
答案　A
解析　当α＝－1时，函数y＝x－1的定义域为{x|x≠0}，不是R，所以α＝－1不成立；当α＝时，函数y＝x eq \s\up15()的定义域为{x|x≥0}，不是R，所以α＝不成立；当α＝1或α＝3时，满足函数y＝xα的定义域为R.故选A.
例2　(2021·黑龙江哈尔滨三中高三月考)已知f(x)＝(m2－2m－7)x eq \s\up15() 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(a－1)>1的实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)
B．(2，＋∞)
C．(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意，得m2－2m－7＝1，解得m＝4或m＝－2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以>0，m>2，所以m＝4，f(x)＝x eq \s\up15()，由f(a－1)>1，得|a－1|>1，解得a<0或a>2.故选D.
　1.(2021·山东青岛高三月考)若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)x eq \s\up15(－)在(0，＋∞)上单调递增，则a＝(　　)
A．1 B．6
C．2 D．－1
答案　D
解析　因为函数f(x)＝(a2－5a－5)x eq \s\up15(－)是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6.当a＝－1时，f(x)＝x eq \s\up15()在(0，＋∞)上单调递增；当a＝6时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，所以a＝－1.故选D.
2．(2021·福建三明高三模拟)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间上的最小值是(　　)
A．1 B．
C．－1 D．－
答案　C
解析　由幂函数f(x)＝xα的图象过点，可得2α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝，函数g(x)＝(x－1)f(x)＝＝1－，g(x)在区间上单调递增，g(x)的最小值为g＝1－2＝－1.故选C.
　幂函数的特征
(1)自变量x在幂底数的位置，幂指数α为常数．
(2)xα的系数为1.
(3)只有一个参数．
考点　　幂函数与二次函数的图象与解析式
例3　如图是幂函数y＝xα的部分图象，已知α取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为(　　)
A.2，，－，－2 B．－2，－，，2
C．－，2，－2， D．2，，－2，－
答案　A
解析　因为在直线x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，所以曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为2，，－，－2.故选A.
例4　已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1，0)，则函数解析式为f(x)＝ ．
答案　x2＋x－
解析　解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由已知得解得所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).依题意得
解得所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，将点(1，0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，即f(x)＝x2＋x－.
　3.(2021·重庆市万州南京中学高三模拟)给定四个命题：①当n＝－1时，y＝xn是减函数；②幂函数的图象都过(0，0)，(1，1)两点；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n<0，其中正确的命题为(　　)
A．①④ B．②③
C．②④ D．③④
答案　D
解析　①当n＝－1时，y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都递减，而在定义域上不单调，错误；②幂函数的图象都过(1，1)，但不一定过(0，0)，错误；③幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n<0，正确．故选D.
4．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝ ．
答案　x2－4x＋3
解析　因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)＝a(x－1)·(x－3)(a≠0).又因为f(x)的图象经过点(4，3)，所以3a＝3，a＝1.所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
　
1．识别二次函数图象应学会“三看”
2．用待定系数法求二次函数的解析式关键是灵活选取二次函数解析式形式，选法如下：
3．掌握幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
考点　　幂函数与二次函数的性质
例5　(2021·江苏省平潮高级中学模拟)幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a的值是(　　)
A．0 B．0或2
C．2 D．0或1或2
答案　B
解析　由于幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，a是整数，∴－1例6　已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
答案　(－∞，－1)
解析　f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
　5.设函数f(x)＝－3x2＋6x在区间[a，b]上的值域是[－9，3]，则b－a的取值范围是 ．
答案　[2，4]
解析　f(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，顶点坐标为(1，3)，因为函数f(x)在区间[a，b]上的值域是[－9，3]，所以令－3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3.又因为函数f(x)＝－3x2＋6x图象的对称轴为直线x＝1，且f(1)＝3，所以b－a的取值范围为[2，4].
6．(2021·河南郑州模拟)已知幂函数f(x)＝(3m2－2m＋1)x3k－k2＋4(k∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(3x＋2)>f(1－2x).
解　(1)因为f(x)是幂函数，则3m2－2m＋1＝1，解得m＝0或m＝，又f(x)是偶函数，所以3k－k2＋4是偶数，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以3k－k2＋4>0，解得－1(2)因为偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3x＋2)>f(1－2x)可化为f(|3x＋2|)>f(|1－2x|)，即|3x＋2|>|1－2x|，所以x>－或x<－3.所以原不等式的解集是(－∞，－3)∪.
　解决二次函数图象与性质问题时的注意点
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
二、核心素养提升
例1　已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　当x∈[－3，0]时，f(x)≤|x|恒成立，即x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，等价于a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x∈(0，＋∞)时，f(x)≤|x|恒成立，即－x2＋2x－2a≤x恒成立，等价于2a≥(－x2＋x)max＝，则a≥.综上可得，实数a的取值范围是.
例2　(2021·深圳市第二高级中学高三月考)已知函数f(x)＝2x2－4x＋3.
(1)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定m的取值范围．
解　(1)f(x)＝2x2－4x＋3图象的对称轴为直线x＝1，由于f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，所以2a<1(2)依题意，当－1≤x≤1时，f(x)－(2x＋2m＋1)>0恒成立，化简得x2－3x＋1－m>0在区间[－1，1]上恒成立，函数y＝x2－3x＋1－m图象的对称轴为直线x＝，开口向上，所以当x＝1时有最小值，故1－3＋1－m>0，m<－1.
例3　(2021·黑龙江大庆实验中学高三月考)已知a>0，函数f(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝＋.
(1)求f(x)在[1，3]上的最小值h(a)；
(2)若对于任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求a的取值范围．(已知当a>0时，函数y＝＋在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增)
解　(1)因为a>0，所以函数f(x)＝x2－ax＋3图象的对称轴方程为x＝>0.
若0<≤1，即0若1<<3，即2若≥3，即a≥6，则f(x)在[1，3]上单调递减，h(a)＝f(3)＝12－3a.
综上，h(a)＝
(2)由题意知，原不等式等价于在[1，3]内，f(x)min>g(x)min成立，
若0若1若a≥3，则g(x)在[1，3]上单调递减，g(x)min＝g(3)＝＋.
故当0＋a，
解得1－当12，解得1当22，不等式无解；
当3≤a<6时，－＋3>＋，
因为－＋3≤，＋≥2，所以不等式无解；
当a≥6时，12－3a>＋，
因为12－3a≤－6，
所以不等式无解．
综上，a的取值范围为.
课时作业
一、单项选择题
1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f等于(　　)
A．3 B．－3 C． D．－
答案　C
解析　设f(x)＝xα，∴＝＝2α＝3，∴f＝＝＝.
2．(2021·辽宁沈阳模拟)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围为(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　D
解析　∵0<0.71.3<1，1.30.7>1，∴0<0.71.3<1.30.7，由(0.71.3)m<(1.30.7)m，得m>0.故选D.
3．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案　B
解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
答案　A
解析　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.故选A.
5．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)
A．{0，－3}
B．[－3，0]
C．{0，3}
D．(－∞，－3]∪[0，＋∞)
答案　A
解析　由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}．
6．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．3
答案　A
解析　因为函数f(x)为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
7．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　　)
A．－3 B．13 C．7 D．5
答案　B
解析　f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增、减区间可知＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.
8．已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1，4)
C．[－1，＋∞) D．[－1，6]
答案　C
解析　不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，等价于a≥－2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立．令t＝，则1≤t≤3，所以a≥t－2t2在[1，3]上恒成立．因为y＝－2t2＋t＝－2＋，所以当t＝1时，ymax＝－1，所以a≥－1.故选C.
二、多项选择题
9．已知条件P：①是奇函数；②值域为R；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件P的是(　　)
A．f(x)＝x eq \s\up15()
B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝2x－2－x
答案　CD
解析　对于A，定义域不关于原点对称，不符合题意；对于B，值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，不符合题意；对于C，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，f(x)＝x3为奇函数，值域为R，图象也经过第一象限，符合题意；对于D，易知f(x)＝2x－2－x为奇函数，值域为R，图象也经过第一象限，符合题意．故选CD.
10．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，下列命题中是真命题的是(　　)
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
答案　AB
解析　对于A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|，显然是偶函数，故B正确；对于C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误；对于D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．
三、填空题
11．二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，则它的解析式为 ．
答案　f(x)＝x2－2x＋1
解析　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1(a>0)，又其图象过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝，所以f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.
12．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x eq \s\up15()，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是 ．
答案　h(x)＞g(x)＞f(x)
解析　分别作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知当0＜x＜1时，h(x)＞g(x)＞f(x).
13．y＝ 的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是 ．
答案　[0，2]
解析　当a＝0时，y＝，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a≠0时，要使y＝的值域为[0，＋∞)，只需解得014．(2021·江西高安中学模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋3在区间[1，4]上不单调，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋3图象的对称轴为直线x＝，因为函数f(x)在区间[1，4]上不单调，所以1<<4，解得四、解答题
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).
(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有两个相等的根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[3，5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解　(1)因为函数f(x)的图象过点(－2，1)，所以f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f(x)＝0有两个相等的根，所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2，所以f(x)的表达式为f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.由g(x)的图象知，要满足题意，则≥5或≤3，即k≥12或k≤8.所以实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).
16．是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解　f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a<－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，
所以得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由得a＝－1；
当0综上可得，存在实数a满足条件，且a＝－1.
17．(2021·南通市海门实验学校高三月考)已知二次函数f(x)＝x2－mx＋m－1(m∈R).
(1)若f(x)是偶函数，求m的值；
(2)函数f(x)在区间[－1，1]上的最小值记为g(m)，求g(m)的最大值；
(3)若函数y＝|f(x)|在[2，4]上是增函数，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，
∴f(1)＝f(－1)，
即1－m＋m－1＝1＋m＋m－1，解得m＝0(经检验符合题意).
(2)f(x)＝x2－mx＋m－1图象的对称轴为直线x＝，开口向上．
①若<－1，即m<－2，此时函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，所以最小值g(m)＝f(－1)＝2m.
②若－1≤≤1，即－2≤m≤2，此时当x＝时，函数f(x)最小，最小值g(m)＝f＝－＋m－1.
③若>1，即m>2，此时函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以最小值g(m)＝f(1)＝0.
综上，g(m)＝作出分段函数的图象如图，由图可知，g(m)的最大值为0.
(3)要使函数y＝|f(x)|在[2，4]上是增函数，则f(x)在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，
∴或即或解得m≤3或m≥8.
∴实数m的取值范围是(－∞，3]∪[8，＋∞).

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