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3．5　指数与指数函数
(教师独具内容)
1．通过类比平方根与立方根的概念，掌握n次方根的概念和性质，进而学习根式的性质．
2．能运用根式的运算性质进行化简、求值，能进行分数指数幂与根式之间的互化、有理数指数幂的运算，了解无理数指数幂的概念，知道无理数指数幂可以用有理数指数幂来逼近的思想．
3．理解指数函数的概念，掌握与指数函数有关的定义域、值域的求法．
4．能画出具体指数函数的图象，并根据指数函数的图象说明指数函数的性质．掌握指数函数的性质，能利用指数函数的单调性解决简单问题，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究实际问题．
5．重点提升直观想象和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．在近五年的全国卷中，指数函数的图象及其性质均有涉及．一般考查指数型函数的图象和性质，也会和分段函数结合进行考查，还可能结合其他函数的性质综合考查，常以选择题或填空题的形式出现．
2．指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象、单调性和奇偶性等常考知识点，能解决指数型函数图象的识别问题、利用指数函数的单调性比较大小以及求复合函数中参数的取值范围等问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．指数与指数运算
(1)根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①()n＝a(a使有意义).
注：负数没有偶次方根．
②当n是奇数时， ＝a；当n是偶数时， ＝|a|＝．
(3)分数指数幂的意义
①a eq \s\up15()＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).
②a eq \s\up15(－)＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(4)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
注：有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，底数a是大于0且不等于1的常量．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
单调性 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与04．常用结论
(1)指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
1．下列等式成立的是(　　)
答案　D
2．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＝3
答案　C
解析　因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以解得a＝2.故选C.
3．(2021·青铜峡市高级中学高三期中)函数f(x)＝2－x在区间[－1，2]上的最大值是(　　)
A．－ B． C．－2 D．2
答案　D
解析　函数f(x)＝2－x＝在区间[－1，2]上单调递减，所以函数f(x)＝2－x在区间[－1，2]上的最大值是f(－1)＝2.故选D.
4．(2021·北京海淀人大附中高三月考)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(0，2) D．(1，2)
答案　C
解析　f(x)＝＝＝2－，∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<1，∴－1<－<0，∴－2<－<0，∴0<2－<2，∴函数f(x)＝的值域为(0，2).故选C.
5．(2021·河北保定模拟)已知函数f(x)＝，若实数m，n满足em＋n＝4mn，且f(m)＝－，则f(n)＝(　　)
A． B． C． D．－
答案　A
解析　∵f(x)＝，∴f(m)＝，f(n)＝，∴f(m)＋f(n)＝＋＝，又em＋n＝4mn，∴f(m)＋f(n)＝1，又f(m)＝－，∴f(n)＝.故选A.
1．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝.故选B.
2．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
答案　D
解析　因为a＝30.7＞1，b＝＝30.8＞30.7＝a，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以c＜1＜a＜b.故选D.
3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案　B
解析　∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A；f(1)＝e－e－1>0，排除D；∵f′(x)＝＝，∴当x>2时，f′(x)>0，排除C.故选B.
4．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是 .
答案　
解析　当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，解得x＞－，∴－＜x≤0；当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立；当x＞时，原不等式为，显然成立．综上可知，x＞－.
一、基础知识巩固
考点　　指数幂的化简与求值
A． B． C． D．
答案　B
例2　已知x＝log43，则的值为 ．
答案　
解析　因为x＝log43，所以4x＝3，2x＝，所以＝＝22x－1＋2－2x＝(2x)2－1＋(2x)－2＝3－1＋＝.
　1.1.5 eq \s\up15(－)×＋80.25×＋(×)6－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up15())＝ ．
答案　110
解析　原式＝ eq \s\up15()＋2 eq \s\up15()×2 eq \s\up15()＋22×33－ eq \s\up15()＝2＋108＝110.
2．若ax＋a－x＝3，则＝ ．
答案　
解析　(ax＋a－x)2＝a2x＋2＋a－2x＝9，所以a2x＋a－2x＝7，所以＝
＝＝.
　
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
(4)注意平方差、立方差、完全平方公式的使用．
考点　　指数函数的图象及应用
例3　(2021·元氏县第四中学模拟)图中的曲线是指数函数y＝ax的图象，已知a的取值分别为π， ，，，则曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为(　　)
A．，π，， B．，π，，
C．π，，， D．π，，，
答案　C
解析　不妨取x＝1，由指数函数y＝ax的图象可知，c2对应的a最大，其次是c1，然后是c4，最小的是c3，所以曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为π， ，，.故选C.
例4　若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 ．
答案　(0，1)
解析　作出y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图中实线所示．由图象可得b的取值范围为(0，1).
　3.函数y＝的图象的大致形状是(　　)
答案　D
解析　因为y＝＝在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增，所以只有D正确．
4．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是 ．
答案　[－1，1]
解析　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图中实线所示，由图可知，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1，1].
　有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
考点　　指数函数的性质及应用
例5　(2021·北京海淀模拟)若>27，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，－3)
C．[－3，＋∞) D．R
答案　B
解析　由>27，得3－x>33，所以－x>3，解得x<－3.故选B.
例6　(2021·丽水外国语实验学校高三月考)设a＝ eq \s\up15()，b＝ eq \s\up15()，c＝ eq \s\up15()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>a>b B．a>b>c
C．a>c>b D．b>c>a
答案　B
解析　a＝ eq \s\up15()，b＝ eq \s\up15()，c＝ eq \s\up15()，函数y＝是减函数，>，∴ eq \s\up15()> eq \s\up15()，∴b>c.又函数y＝x是R上的增函数，>，∴ eq \s\up15()> eq \s\up15()，即a>b.综上可得，a>b>c.故选B.
　5.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
答案　D
解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x＝单调递减，则f(x)≥f(0)＝1，作出f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x＋1)6．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,x eq \s\up15()，x>0，))若f(x0)>1，求实数x0的取值范围．
　
1．利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解．
考点　　与指数函数有关的复合函数问题
例7　(2021·安徽镜湖芜湖一中高三月考)函数f(x)＝e2x－4－2ex－2的单调递增区间为(　　)
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[－2，＋∞)
答案　A
解析　令ex－2＝t(t>0)，则原函数可化为y＝t2－2t，该函数在[1，＋∞)上单调递增，又t＝ex－2在R上单调递增，当x＝2时，t＝1，故f(x)＝e2x－4－2ex－2在[2，＋∞)上单调递增．故选A.
例8　(2021·江苏无锡模拟)函数y＝ (－3≤x≤1)的值域是 ．
答案　
解析　设t＝－2x2－8x＋1＝－2(x＋2)2＋9，则y＝，∵－3≤x≤1，∴当x＝－2时，t有最大值9；当x＝1时，t有最小值－9，∴－9≤t≤9，由函数y＝在定义域上是减函数，得原函数的值域是.
　7.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－3.2]＝－4，[4.3]＝4，已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域是(　　)
A．{－1，0，1} B．{－2，－1，0}
C．{－1，0} D．{－2，－1，0，1}
答案　B
解析　∵f(x)＝－＝＝＝－，3x＋1>1，∴0<<2，∴－<－<，故y＝[f(x)]的值域是{－2，－1，0}．故选B.
8．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域与单调区间．
解　f(x)＝＝2x2－2x，
令g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x>1时，g(x)单调递增，当x<1时，g(x)单调递减，所以当x＝1时，g(x)取得最小值，g(x)min＝－1，
因为y＝2t在R上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，
所以f(x)min＝.
因此f(x)的值域为，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1).
　解决与指数函数有关的复合函数问题时，通常先换元，再结合函数的单调性求解．
二、核心素养提升
例1　若关于x的方程5x＝a＋3有负实根，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－3，－2)
解析　设关于x的方程5x＝a＋3有负实根为x0(x0<0)，根据指数函数的性质，可得0<5x0<1，所以0例2　已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　y＝6a－x，x>0的值域为(－∞，6a)，要使f(x)＝(a>0，a≠1)的值域为R，y＝ax必为减函数，因此0例3　(2022·上海高三月考)已知函数f(x)＝若对任意的x1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x2∈(－∞，2)，满足f(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围是 ．
答案　[0，4)
解析　设函数g(x)＝(x≥2)的值域为A，函数h(x)＝2|x－a|(x<2)的值域为B，因为对任意的x1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x2∈(－∞，2)，满足f(x2)＝f(x1)，则A B，且对A中任意的元素，B中有且只有一个与之对应．g(x)＝＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以A＝[4，＋∞).当a≥2时，h(x)＝2a－x，x<2，此时B＝(2a－2，＋∞)，所以2a－2<4，解得2≤a<4；当a<2时，h(x)＝此时h(x)在(－∞，a)上是减函数，取值范围是(1，＋∞)，h(x)在[a，2)上是增函数，取值范围是[1，22－a)，所以22－a≤4，解得0≤a<2.故实数a的取值范围为[0，4).
1．解含参指数不等式或者求等式中参数的取值范围，通常需要分离参数，转化为求有关函数的最值问题．
2．注意数形结合思想和分类讨论思想的使用．
课时作业
一、单项选择题
1．化简(x>0)的结果是(　　)
A． B．x C．1 D．x2
答案　C
.
2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
答案　A
解析　函数f(x)＝3x－的定义域为R，且f(－x)＝3－x－＝－3x＋＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x，y＝－在R上都是增函数，故函数f(x)在R上是增函数．
3．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案　D
解析　∵函数y＝0.3x在R上单调递减，∴a＝0.30.6b>a.
4．函数f(x)＝ 的定义域是(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)
答案　B
解析　要使函数有意义，需满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－3，因为y＝3x为增函数，所以2x－1≥－3，解得x≥－1.
5．(2021·武汉检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－的图象恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　y＝(a－1)2x－化为a－(2x＋y)＝0，依题意，对a∈R，a－(2x＋y)＝0恒成立，则2x－＝0且2x＋y＝0，所以x＝－1且y＝－，即恒过定点.
6．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
答案　B
解析　因为2x2＋1≤＝24－2x，则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.
7．(2021·衡水检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－2，1) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－1，2)
答案　D
解析　原不等式变形为m2－m<，因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－18．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
答案　D
解析　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．x∈(－∞，1]时，2x∈(0，2]，函数f(x)＝2x＋1－4x＝2×2x－(2x)2＝－(2x－1)2＋1≤1，可得f(x)的最大值为1，所以K≥1.故选D.
二、多项选择题
9．已知实数a，b满足等式18a＝19b，下列关系式有可能成立的是(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．0＜a＜b D．b＜a＜0
答案　AB
解析　实数a，b满足等式18a＝19b，即y＝18x在x＝a处的函数值和y＝19x在x＝b处的函数值相等，由图可知A，B均有可能成立．
10．(2021·济南一模)若a，b，c∈R，且＜，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．ac＞bc B．(a－b)c2≥0
C．＜ D．a3＞b3
答案　BD
解析　因为＜，所以a＞b.对于A，若c≤0，则不等式不成立；对于B，因为c2≥0，所以不等式成立；对于C，若a＞0，b＜0，则不等式不成立；对于D，因为a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，所以不等式成立(或利用幂函数的性质易得成立).故选BD.
三、填空题
11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝ ．
答案　－
解析　当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．当012．(2021·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则a与b的关系式为 ．
答案　a＋b≥0
解析　令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.
13．已知点P(a，b)在函数y＝的图象上，且a>1，b>1，则aln b的最大值为 ．
答案　e
解析　由题意知b＝，则aln b＝aeq \s\up13(ln)＝aln e2－ln a＝a2－ln a，令t＝a2－ln a(t>0)，则ln t＝ln a2－ln a＝－(ln a)2＋2ln a＝－(ln a－1)2＋1≤1，当且仅当ln a＝1时，“＝”成立，此时ln t＝1，所以t＝e，即aln b的最大值为e.
14．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”．若[1，2]为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”，则实数t的取值范围为 ．
答案　
解析　因为函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝f(－x)＝|2－x＋t|.因为[1，2]为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”，所以函数y＝|2x＋t|和函数g(x)＝|2－x＋t|在[1，2]上的单调性相同．又因为y＝2x＋t和y＝2－x＋t的单调性相反，所以(2x＋t)(2－x＋t)≤0在[1，2]上恒成立，即－2x≤t≤－2－x在[1，2]上恒成立，得－2≤t≤－.
四、解答题
15．(1)求函数y＝2x2－2x＋5，x∈[－1，2]的值域；
(2)求函数y＝4x－2x＋1＋5，x∈[－1，2]的值域．
解　(1)x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，设t＝x2－2x＋5，由x∈[－1，2]得t∈[4，8]，
则y＝2t在[4，8]上单调递增，则16≤y≤256，故函数的值域为[16，256].
(2)y＝4x－2x＋1＋5＝(22)x－2×2x＋5＝(2x)2－2×2x＋5，
令2x＝t，因为x∈[－1，2]，则t∈，所以y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，
所以当t＝1时，y有最小值4；当t＝4时，y有最大值13.所以原函数的值域为[4，13].
16．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(2，12)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式≥2m＋1在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)令g(x)＝，则g(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴当x＝1时，g(x)＝取得最小值，
∴2m＋1≤，∴m≤－.
故实数m的取值范围是.
17．(2022·湖北武汉一中模拟)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝－m.
(1)当x∈[－1，3]时，求f(x)的值域；
(2)若 x∈[0，2]，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围；
(3)若 x1∈[0，2]， x2∈[－1，3]，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当x∈[－1，3]时，函数f(x)＝x2∈[0，9]，∴f(x)的值域为[0，9].
(2) x∈[0，2]，g(x)≥1成立，等价于g(x)在[0，2]上的最小值大于或等于1，
而g(x)在[0，2]上单调递减，
∴－m≥1，即m≤－.
故实数m的取值范围为.
(3) x1∈[0，2]， x2∈[－1，3]，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在[0，2]上的最大值小于或等于f(x)在[－1，3]上的最大值9，∴1－m≤9，即m≥－8.
故实数m的取值范围为[－8，＋∞).

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