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3．7　函数的图象
(教师独具内容)
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的性质，函数图象是函数性质在“形”上的直接体现，借助函数图象的直观性可以帮助我们迅速解决方程解的个数与不等式解集的问题．
3．通过函数图象的识别与应用两个方面提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考常考的内容，属于中档题目，多为选择题，命题的重点是判断给出解析式的函数对应的图象，函数图象的应用多渗透在解答题中．
2．考查方向主要有三个方面：一是考查函数图象的识别，根据给出的函数解析式识别其图象；二是考查图象的变换，常见类型为函数图象的平移、对称、伸缩变换；三是考查函数图象的应用，根据函数图象求参数、解不等式及确定两函数图象的交点个数．
3．要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，准确识记函数图象变换的规律，掌握函数图象识别的一些基本技巧，如利用图象的对称性、函数值的符号等排除干扰项，从而得到正确选项．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先，确定函数的定义域并化简函数的解析式，讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性).
其次，列表，除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最(极)值点、对称点等．
然后，画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点．
最后，用光滑的曲线依次连接所描的各个点，得到图象．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)
y＝f(ωx)．
②y＝f(x)
y＝Af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
1．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是(　　)
答案　C
解析　距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降的快．
2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
答案　C
解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的两部分组成．故选C.
3．函数y＝－ex的图象(　　)
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
答案　D
解析　由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
4．为了得到函数f(2x＋1)的图象，需将函数y＝f(2x)的图象(　　)
A．向右平移个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移1个单位
答案　C
解析　因为f(2x＋1)＝f，所以将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位可得到函数y＝f(2x＋1)的图象．
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是 ．
答案　(0，＋∞)
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a>0时，y＝|x|与y＝a－x的图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个实数解．
1．(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象如图的函数可能是(　　)
A.y＝f(x)＋g(x)－
B.y＝f(x)－g(x)－
C．y＝f(x)g(x)
D．y＝
答案　D
解析　易知函数f(x)＝x2＋是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．选项A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；选项C，因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D.
2．(2020·天津高考)函数y＝的图象大致为(　　)
答案　A
解析　因为f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝1时，y＝＝2＞0，排除B.故选A.
3．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
答案　D
解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.又f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
一、基础知识巩固
考点　　作函数的图象
例1　作出下列函数的图象．
(1)y＝
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)分段分别作出函数的图象，如图1所示．
(2)y＝2x＋2的图象是由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图2所示．
(3)y＝其图象如图3所示．
　1.作出函数y＝2x＋1－1的图象．
解　将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图所示．
2．作出函数y＝|x2－2x－1|的图象．
解　y＝
其图象如图所示．
　作函数图象的方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
考点　　函数图象的识辨
例2　(2021·正定模拟)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)
答案　C
解析　由函数f(x)＝ax－a－x在R上为减函数，可知01或x<－1}，故排除A，B；又y＝loga(|x|－1)＝可知y＝loga(|x|－1)在(1，＋∞)上单调递减，故排除D.
例3　如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)
答案　C
解析　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
　3.(2021·青岛模拟)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)
答案　B
解析　因为f(－x)＝＝－＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；又f(2)＝＝－，因为<2<π，所以sin 2>0，所以f(2)＜0，排除D.故选B.
4.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A—B—C—M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　)
答案　A
解析　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x，0≤x≤1；当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1　
1．辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2．函数图象的识别问题需注意的“三关”
(1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除．
(2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项．
(3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少、准确率高．
考点　　函数图象的应用
例4　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案　C
解析　f(x)＝x|x|－2x＝画出函数f(x)的图象如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
例5　函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为 ．
答案　∪
解析　当x∈时，y＝cos x>0；当x∈时，y＝cos x<0.结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象可知，当1例6　关于x的方程ex ln x＝1的实根的个数是 ．
答案　1
解析　由ex ln x＝1(x>0)得ln x＝(x>0)，即ln x＝(x>0).令y1＝ln x(x>0)，y2＝(x>0)，在同一直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，如图所示．根据图象可知两函数图象只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.
　5.(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
答案　ABD
解析　由题意，知函数min{a，b}＝为取小函数．根据f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象如图所示．由图可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．
6.(2021·福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－2B．{a|－2≤a<－1}
C．{a|－2≤a<2}
D．{a|a≥－2}
答案　B
解析　根据题意可知f(x)＝不等式f(x)≥x2－x－a等价于a≥x2－x－f(x)，令g(x)＝x2－x－f(x)＝作出g(x)和y＝a的大致图象，如图所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a<－1，则实数a的取值范围是{a|－2≤a<－1}．故选B.
7．设函数f(x)＝则f(f(0))＝ ，若f(m)>1，则实数m的取值范围是 ．
答案　0　(－∞，0)∪(e，＋∞)
解析　f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1).若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞).
　
1．利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
2．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
二、核心素养提升
例1　(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是(　　)
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
答案　AC
解析　f3(x)＝log2x2是偶函数，图象关于y轴对称，故其他函数的图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知A是“同形”函数；将f1(x)＝log2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知C是“同形”函数．故选AC.
例2　(2021·淮安模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上是减函数，若g(x)＝f(x－2)是奇函数，且g(2)＝0，则不等式xf(x)≤0的解集是(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
答案　C
解析　g(x)＝f(x－2)的图象是把函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的，且g(2)＝g(0)＝0，f(－4)＝g(－2)＝－g(2)＝0，f(－2)＝g(0)＝0，画出f(x)的大致图象如图所示．结合函数的图象可知，当x≤－4或x≥－2时，xf(x)≤0.故选C.
例3　(2021·深圳模拟)已知函数f(x)＝若不等式f(x)－kx＋k＋1<0的解集为空集，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－2，0] B．(2－3，0]
C．[2－2，0] D．[－1，0]
答案　C
解析　因为不等式f(x)－kx＋k＋1<0的解集为空集，所以不等式f(x)－kx＋k＋1≥0恒成立．f(x)－kx＋k＋1≥0可变形为f(x)≥k(x－1)－1.在同一坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝k(x－1)－1的图象，如图，直线y＝k(x－1)－1的图象过定点A(1，－1)，当直线y＝k(x－1)－1与y＝x2(x≤0)的图象相切时，方程f(x)－kx＋k＋1＝0有一个实数解，即x2－kx＋k＋1＝0在(－∞，0]上有一个实数解，由Δ＝k2－4(k＋1)＝0，可得k＝2－2或k＝2＋2(舍去)，故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为[2－2，0].
当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化，利用数形结合思想确定参数的取值范围．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·济南市学习质量评估)函数y＝－ln |x|的图象大致为(　　)
答案　D
解析　令f(x)＝y＝－ln |x|，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，排除B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除A；当x＝2时，y＝1－ln 2<1－ln e＝0，排除C.故选D.
2．已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　)
答案　D
解析　解法一：由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D.
解法二：先画出函数f(x)的图象，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图2所示．故选D.
3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图象为(　　)
答案　C
解析　由题意得y＝ ＝ ，x∈(0，2)不是一次函数，排除A，B；当x→0时，y→2，排除D.故选C.
4．(2021·杭州高三月考)函数f(x)＝的图象是(　　)
答案　A
解析　f(3)＝＝ln 2>0，排除D；f(－1)＝－ln 2<0，排除C；f＝ln <0，排除B.故选A.
5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)
答案　C
解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C.
6.如图，有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)
答案　C
解析　由y＝f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.故选C.
7．若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　B
解析　作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B.
8．已知图1中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图2中的图象对应的函数为(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
答案　B
解析　观察函数图象，知题图2是由题图1保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得，因此题图2中对应的函数解析式为y＝f(－|x|).
二、多项选择题
9．(2022·烟台模拟)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数
D．f(x)没有最小值
答案　AC
解析　f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
10．已知函数f(x)＝x，g(x)＝x－4，则下列结论正确的是(　　)
A．若h(x)＝f(x)g(x)，则函数h(x)的最小值为4
B．若h(x)＝f(x)|g(x)|，则函数h(x)的值域为R
C．若h(x)＝|f(x)|－|g(x)|，则函数h(x)有且仅有一个零点
D．若h(x)＝|f(x)|－|g(x)|，则|h(x)|≤4恒成立
答案　BCD
解析　对于A，h(x)＝x(x－4)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x＝2时，h(x)的最小值为－4，故A错误；对于B，h(x)＝x|x－4|＝画出h(x)的图象如图1所示，则h(x)的值域为R，故B正确；对于C，h(x)＝|x|－|x－4|＝画出h(x)的图象如图2所示，则h(x)有一个零点2，故C正确；由C选项的分析，结合h(x)图象可知|h(x)|≤4恒成立，故D正确．故选BCD.
三、填空题
11．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为 ．
答案　{x|x≤0或1解析　作出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为或由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或112．已知函数f(x)＝a，b，c，d是互不相同的正数，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围是 ．
答案　(24，25)
解析　作出函数f(x)的大致图象如图所示．
因为a，b，c，d互不相同，不妨设a13．对函数f(x)，若存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是 ．
答案　(1，＋∞)
解析　依题意可知，f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，a＝>1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a的图象上存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞).
14．已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
答案　(3，＋∞)
解析　当m>0时，函数f(x)＝
的图象如图所示，
∵x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2>4m－m2，∴要使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实数根，则4m－m20)，即m2>3m(m>0)，解得m>3，∴m的取值范围是(3，＋∞).
四、解答题
15．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝|x－2|(x＋1).
解　(1)因为函数的定义域为{x|x>0}，
所以y＝eln x＝x(x>0)，其图象如图所示．
(2)当x－2≥0，即x≥2时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x－2<0，即x<2时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出，其图象如图所示．
16．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；
当0(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t(t>0)，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即实数m的取值范围为(－∞，0].
17．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围.
解　不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.
令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；
当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，
当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤.
所以a的取值范围是.

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