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3.8　函数与方程
(教师独具内容)
1．掌握函数零点的定义、方程的根和函数零点的关系，掌握函数零点存在定理．
2．通过函数的图象研究函数的零点是解决零点问题的重要途径，明确二分法的适用条件：在零点附近图象连续，且该零点为变号零点．
3．用二分法求函数的零点首先要确定变号零点所在的区间，然后找中点值，区间缩小一半，同号丢，异号算，零点落在异号区间里，这样重复进行，直到满足零点要求的精确度为止．
4．重点提升数学运算和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．本考点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据近五年的高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．
2．从近五年的高考试题来看，用二分法求函数的零点考得较少．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．
(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．常用结论
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　B
解析　由零点存在定理及题中的对应值表可知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上的零点至少有3个．
2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　B
解析　因为函数f(x)＝ex＋3x在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ．
答案　(－8，1]
解析　二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需所以解得－8＜m≤1.
4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是 ．
答案　0，－
解析　由题意知2a＋b＝0，则b＝－2a，令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝－，所以g(x)的零点为0，－.
5．方程2x＋3x＝k的实数解在[1，2)内，则实数k的取值范围是 ．
答案　[5，10)
解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)f(2)＜0，即(5－k)(10－k)＜0，解得5＜k＜10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10).
1．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　)
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0，2)
C．(－∞，0)∪(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝(x≠0)恰有3个实根即可，令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个不同交点．因为h(x)＝＝当k＝0时，y＝2，如图1，y＝2与h(x)＝的图象有1个交点，不满足题意；当k＜0时，如图2，y＝|kx－2|与h(x)＝的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2的图象相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2(负值舍去)，所以k＞2.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).故选D.
2．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B.
3．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线y＝－x过点A时，直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1.故选C.
4．(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝ ，g(x)＝其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ．
答案　
解析　当x∈(0，2]时，y＝f(x)＝ (x－1)2＋y2＝1(y≥0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9]上的图象如图所示．
∵当x∈(1，2]时，g(x)＝－，又g(x)的周期为2，∴当x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g(x)＝－.由图可知，当x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，∴当x∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)的图象恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点．当y＝k(x＋2)的图象与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0＜x≤1)相切时，d＝＝1 k2＝(k>0) k＝.当y＝k(x＋2)的图象过点A(－2，0)与B(1，1)时，k＝.∴≤k＜.
一、基础知识巩固
考点　　函数零点及其所在区间的判断
例1　(2021·哈尔滨模拟)下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是(　　)
A．f(x)＝ex－1 B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝－x D．f(x)＝－x2
答案　C
解析　根据函数奇偶性的概念可判断A与D所给函数为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝x＋为奇函数，但不存在零点；对于C，f(x)＝－x为奇函数，且f(±)＝0.
例2　若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)·(c－b)＞0，由函数零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．
　1.函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　B
解析　解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.
解法二(图象法)：将函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x和h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.
2．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝ ．
答案　5
解析　因为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)的零点在内，则整数k＝5.
　判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．
(2)利用零点存在定理求解．
(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．
考点　　函数零点个数的判断
例3　已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
例4　(2021·长沙模拟)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数且当x∈(0，＋∞)时是减函数，若f(1)＝0，则函数y＝f(x2－2|x|)的零点共有(　　)
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
答案　D
解析　根据题意，函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，当x∈(0，＋∞)时是减函数，且f(1)＝0，则函数在(0，＋∞)上只有一个零点，由于函数y＝f(x)是奇函数且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则f(x)在(－∞，0)上是减函数，又f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0，则函数在(－∞，0)上只有一个零点．故函数y＝f(x)共有3个零点，依次为－1，0，1.对于函数y＝f(x2－2|x|)，当x2－2|x|＝－1时，解得x＝±1；当x2－2|x|＝0时，解得x＝±2或x＝0；当x2－2|x|＝1时，解得x＝1＋或x＝－1－.故函数y＝f(x2－2|x|)的零点共有7个．
例5　(2021·邯郸模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象的交点个数为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
答案　C
解析　因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，所以作出函数f(x)的图象如图所示．
因为x＝±10时，y＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象的交点个数为8.
　3.已知函数f(x)＝
则f(x)的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　当x＞1时，令f(x)＝ln (x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1，故f(x)的零点个数为2.
4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(　　)
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
答案　B
解析　分别作出y＝f(x)与y＝log3|x|的图象如图所示，由图可知y＝f(x)与y＝log3|x|的图象有4个交点，故函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
　函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．
(2)零点存在定理．要求函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．
(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
考点　　函数零点的应用
例6　已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m的取值范围是(　　)
A．(－5，－4) B．
C． D．(－5，－2)
答案　C
解析　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需即
解不等式组可得－例7　(2022·湖南郴州高三月考)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．
C．{0}∪(1，＋∞) D．(0，1]
答案　D
解析　函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)＜0得x＜－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)＞0得－2＜x≤0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－，作出f(x)的图象如图，要使f(x)＝b有三个根，则0＜b≤1.故选D.
　5.已知函数f(x)＝其中a>0且a≠1，若 m∈R，使得函数f(x)有2个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．∪(1，2) B．(0，1)∪(1，2)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．∪(2，＋∞)
答案　B
解析　设g(x)＝令f(x)＝0，则g(x)＝m，故问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有两个交点，显然当01时，只需2＋a>2a，解得16．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝－，令2x＝t，因为x∈[－1，1]，所以t∈，a＝－，0≤t－≤，0≤≤，－≤－≤2，所以实数a的取值范围是.
　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、核心素养提升
例1　已知定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，＋∞)时满足f(x)＝则方程f(x)－＝0的解的个数为 ．
答案　5
解析　方程f(x)－＝0的解的个数即为函数y＝f(x)的图象与直线y＝的交点个数，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝，如图所示，由图象可知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝共有5个交点，即方程f(x)－＝0的解的个数为5.
例2　已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sinπx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为 ．
答案　12
解析　将函数f(x)＝|2x－3|－8sinπx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sinπx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12.
例3　设f(x)是周期为4的周期函数，且当x∈[－1，3]时，f(x)＝若函数g(x)＝3f(x)－x有且仅有五个零点，求正实数m的取值范围．
解　画出f(x)的大致图象，如图所示．
第一个半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)，第二个半椭圆C2的方程为＋(x－4)2＝1(y≥0)，第三个半椭圆C3的方程为＋(x－8)2＝1(y≥0).函数g(x)＝3f(x)－x的零点问题转化为方程f(x)＝的根的问题，继而转化为y＝f(x)的图象与直线y＝的交点横坐标问题．要使函数g(x)＝3f(x)－x有且仅有五个零点，必须满足直线y＝与C2有两个不同交点且与C3没有交点，即方程＋(x－4)2＝1有两个不同解且方程＋(x－8)2＝1无解，所以(1＋9m2)x2－72m2x＋135m2＝0有两个不同根且(1＋9m2)x2－144m2x＋63×9m2＝0没有根．由两个判别式可得3m2>5且m2<7，故直观想象——探究与函数零点有关的问题
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．(2021·扬州模拟)设函数y＝x2与y＝图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　B
解析　因为函数y＝x2与y＝图象的交点为(x0，y0)，则x0是方程x2＝的解，也是函数f(x)＝x2－的零点．因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝22－1＝3＞0，f(1)＝1－2＝－1＜0，所以f(1)f(2)＜0.由零点存在定理可知，方程的解在(1，2)内．
2．已知0A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　函数的定义域是(0，＋∞)，y＝a|x|－|logax|＝ax－|logax|，令y＝0，则ax＝|logax|，在同一直角坐标系中作出函数y＝ax和y＝|logax|的图象如图所示，可知两个图象有2个交点，所以原函数的零点有2个，故选B.
3．(2021·济宁模拟)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
答案　C
解析　f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得04．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x2＜x1＜x3 B．x1＜x2＜x3
C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x2＜x1
答案　B
解析　令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1，因为函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1的图象与直线y＝－x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1及y＝－x的图象如图，结合图象可得x1＜x2＜x3.
5．(2021·郑州质量测试)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，1]
答案　A
解析　画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需1－a≥0，即a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，06．(2021·重庆九校联考)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　当x>0时，令|ln x|－3＝0，所以ln x＝±3，所以x＝e3或x＝e－3，都满足x>0；当x≤0时，令－2x(x＋2)－3＝0，即2x2＋4x＋3＝0，因为Δ＝16－4×2×3<0，所以方程没有实数根．综上，函数y＝f(x)－3的零点个数是2.
7．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．18
答案　B
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10.
8．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x－2)＝f(－x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－在区间[－3，3]上的零点个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　A
解析　由f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)的图象关于点(1，0)对称．由f(x－2)＝f(－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称．如图，作出f(x)在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f(x)在[－3，3]上的图象，作出函数y＝在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y＝f(x)－在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.
二、多项选择题
9．(2022·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－1.下列结论中正确的是(　　)
A．f(2)＝0
B．点(4，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C．函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D．函数y＝f(x)在区间[－6，6]上有3个零点
答案　AB
解析　对于A，因为f(x)为奇函数且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正确；对于B，由A知，f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0，0)成中心对称，则(4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，因为f(－6)＝f(2)＝0，f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C错误；对于D，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0.又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－6，6]上有7个零点，故D错误．故选AB.
10．(2022·衡水检测)已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1答案　BCD
解析　由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示．由图可知，x1＋x2＝－2，－2三、填空题
11．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－ex＋2e，g(x)＝ex，h(x)＝min{f(x)，g(x)}，若函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点，则k的取值范围为 ．
答案　(0，e)
解析　因为f(x)＝－ex＋2e单调递减，g(x)＝ex单调递增，且f(1)＝e＝g(1)，故h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝作出函数h(x)的图象如图所示．函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点等价于函数h(x)的图象与y＝k的图象有2个交点，由图可知，k∈(0，e).
12．(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为 ．
答案　－1和1
解析　令f(x)＝0得或
解得x＝1或x＝－1，所以f(x)的零点为－1和1.
13．已知函数f(x)＝|1－x2|＋a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－1，0)
解析　函数y＝f(x)有四个零点，即y＝－a与y＝|1－x2|的图象有四个交点，作出函数y＝|1－x2|的图象如图，由图可知0<－a<1，即－114．已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝ ；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是 ．
答案　－1　(0，1)
解析　解方程f(x0)＝－1，得或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0<1，,x＝－1，))解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知，当0＜k＜1时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．
四、解答题
15．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．
解　(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，故实数a的取值范围为(－1，1).
16．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝求函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和．
解　由题意知，当x<0时，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与直线y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，
由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
令＋2＝，
解得x3＝，
所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
17．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解　(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则有t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤1，而原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，即实数a的取值范围是.

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