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3.9　函数模型及其应用
(教师独具内容)
1．在掌握几类函数模型增长差异的基础上，能应用恰当的函数模型解决实际问题，通过对函数模型应用实例的学习，会对搜集的相关数据所作出的散点图进行拟合，建立适当的数学模型，并总结出解决该类问题的方法与步骤．
2．能利用问题中的数据及其蕴含的关系选择合适的数学模型，在建立函数模型解决实际问题时，要特别注意函数的定义域是否符合实际情况．
3．重点提升数学建模和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．本考点在高考中也经常出现，以近三年全国卷为例，函数模型及其应用均有考查，而且与实际应用相结合的问题是高考的命题动向．
2．利用函数模型解决实际问题，通常与最值和后面要学习的导数相交汇，考查学生的阅读理解能力和数学建模素养，解决此类问题时要从实际问题中抽象出数量关系，建立合适的数学模型，注意变量的取值范围应与实际情况相符合．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．常见的八种函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)；
(8)“对勾”函数模型
①形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：
(ⅰ)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(ⅱ)当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2.
②函数f(x)＝＋(a>0，b>0，x>0)在区间(0，]上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增．
2．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行　 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax注：幂函数模型y＝xn(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快．
3．常用结论
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案　B
解析　在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度的大小关系为g(x)>f(x)>h(x).
2．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是(　　)
A．y＝2t B．y＝log2t
C．y＝t3 D．y＝2t2
答案　B
解析　由散点图可知该函数图象类似于对数函数图象．故选B.
3．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
答案　D
解析　y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.
4．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为 元/瓶．
答案　6
解析　设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以当x＝6时，y取得最大值．
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为 万件．
答案　18
解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
1．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案　C
解析　将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得lg V＝－0.1＝－，所以V＝10 eq \s\up15(－)＝≈≈0.8.故选C.
2．(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
答案　B
解析　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8天．故选B.
3．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63 C．66 D．69
答案　C
解析　因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C.
一、基础知识巩固
考点　　利用图象刻画实际问题
例1　(2021·广州模拟)
如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
答案　B
解析　函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；小孔打开后，鱼缸的水深h减少的速度先快后慢，最后快，故对应的图象为B.
例2　(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的路程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最少
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案　BD
解析　根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶路程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油量最少，故B正确；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，路程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确．
　1．(2021·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　)
答案　B
解析　设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a).画出函数图象可得其形状与B项接近．故选B.
2．(2021·武汉模拟)经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是(　　)
答案　B
解析　因为当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，故可排除A，D；又当价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除C.故选B.
　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点　　已知函数模型求解实际问题
例3　(2021·荆门高三模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)
A．22小时 B．23小时
C．33小时 D．24小时
答案　D
解析　将(0，192)，(22，48)代入y＝ekx＋b，可得eb＝192，e22k＋b＝48，即有e11k＝，eb＝192，则当x＝33时，y＝e33k＋b＝×192＝24.故选D.
例4　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案　C
解析　设2016年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，所以n≥4，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．
　3.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系
f(x)＝已知某家庭2021年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
答案　A
解析　根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
4．射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241 Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001)(　　)
A．0.110 B．0.112
C．0.114 D．0.116
答案　C
解析　由题意可得，＝1×e－7.6×0.8μ，所以－ln 2＝－7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114.所以这种射线的吸收系数为0.114.
　
(1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
(3)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
(4)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
考点　　建立函数模型解决实际问题
例5　某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解　(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴y＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
例6　在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x m.
(1)求总造价y(元)关于长度x(m)的函数；
(2)当x取何值时，总造价最低？并求出最低总造价．
解　(1)由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，
则中间区域的长为(x－4)m，宽为 m，定义域为x∈(4，50).
则y＝100(x－4)＋200，得y＝18400＋400，x∈(4，50).
(2)因为x＋≥2＝20，当且仅当x＝，即x＝10∈(4，50)时取等号．
所以当x＝10时，总造价最低为(18400＋8000)元．
　5.大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是 ．
答案　300
解析　由题意可知，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25000；当x＞400时，y＝60000－100x＜20000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元．
6．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解　(1)当x＝0时，C＝8，所以k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)，所以f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.所以隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
　构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
二、核心素养提升
例1　某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年1至5月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：
x(月份) 1 2 3 4 5
Q(x)(台) 6 9 10 8 6
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是(　　)
A.Q(x)＝ax＋b(a≠0)
B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)
C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)
D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b＞0且b≠1)
答案　C
解析　观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大致是关于Q(3)对称分布，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象关于直线x＝3对称，显然只有C满足题意．
例2　(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息 元．
(参考数据：1.02254≈1.093，1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)
答案　99
解析　将1000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1000×(1＋4.01%)5≈1217(元)，故共得利息1217－1000＝217(元).将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为1000×(1＋2.25%)5≈1118(元)，即获利息1118－1000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
例3　芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，还可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
上市时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个能够最佳反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市时间及最低种植成本．
解　(1)由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数不可能是常值函数，用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符，所以应选用函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c中，
得解得
所以能够最佳反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)由(1)知，当t＝－＝150时，芦荟种植成本最低，为×1502－×150＋＝100(元/10 kg).
例4　2020年9月20日，阳澄西湖南隧道相城段主体完工，它是国内首条穿湖双层叠加超深、超宽隧道．建成后，将极大地方便周边市民的通行．为了保障通行安全，汽车在隧道内行驶时，需要保持适当的安全车距．安全车距d(单位：m)正比于车速v(单位：km/h)的平方与车身长l(单位：m)的积，即d＝klv2(其中k是比例系数)，且安全车距不小于半个车身长．经测算，当车速为60 km/h时，安全车距为5.76个车身长．
(1)试求比例系数k的值；
(2)试写出车距d与车速v之间的函数关系式；
(3)交通繁忙时段，规定车速为多少时，可使隧道的车流量(单位时间内通过的车辆数)最大？
解　(1)因为当车速v＝60 km/h时，安全车距d＝5.76l＝kl×602，所以k＝.
(2)由(1)知，k＝，从而d＝.由d＝>，可得v> km/h.所以当v> km/h时，d＝；当0≤v≤ km/h时，d＝.综上，d＝
(3)由于一辆车占去道路的长为l＋d，记1 h内通过隧道的车辆数为Q，则Q＝.当0≤v≤ km/h时，Q＝＝≤，在v＝ km/h时，取到最大值；当v> km/h时，Q＝＝≤＝，当且仅当＝，即v＝25 km/h时取等号．又>，
所以当v＝25 km/h时，车流量Q最大．
答：在交通繁忙时段，规定车速为v＝25 km/h时，可以使隧道的车流量最大．
1．在应用函数解决实际问题时需注意的四个步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
2．通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模素养．
课时作业
一、单项选择题
1.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(　　)
答案　A
解析　若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，故排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D.
2.(2022·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为(　　)
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案　A
解析　由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.经检验符合题意．
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水量超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)
A．13 m3 B．14 m3
C．18 m3 D．26 m3
答案　A
解析　设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝则10m＋(x－10)×2m＝16m，解得x＝13.
4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
答案　B
解析　设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a5．(2021·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为(　　)
A.1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”的个数至少是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，n∈N*，得n≥10(n∈N*)，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.
7．(2021·武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1000倍
答案　B
解析　设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg ＝54，解得x2＝10－7，所以＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍．
8．(2021·威海调研)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案　D
解析　由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误．
二、多项选择题
9．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．下列四个论断，一定正确的是(　　)
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低
D．4点到6点不进水不出水
答案　AC
解析　由甲、乙两图可知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误．
10．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．6 B．9 C．8 D．7
答案　BC
解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，则n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥≈7.4，故选BC.
三、填空题
11．(2021·东营高三期末)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需要再投入30万元，且能全部销售完，若每件甲产品销售价格(元)定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了 万元．
答案　14.5
解析　由题意可得，当广告费为1万元时，y＝2，产品的生产成本为30y＋4＝64(万元)，每件销售价格为×150%＋×50%＝48.25(元)，所以年销售收入为48.25×2＝96.5(万元).所以年利润为96.5－64－1＝31.5(万元).若不投入广告费，则y＝1，产品的生产成本为30＋4＝34(万元)，每件销售价格为34×150%＝51(元)，所以年销售收入为51万元，所以年利润为51－34＝17(万元)，故当广告费为1万元时，企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了31.5－17＝14.5(万元).
12．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝ ，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为 ．
答案　2ln 2　1024
解析　由题意可知，当t＝时，y＝2，即2＝e eq \s\up15()，所以k＝2ln 2，所以y＝e2t ln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.
13．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要 min.
答案　8
解析　由题意可知Ta＝21 ℃.令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·，所以h＝8.令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·，所以t＝8.
14．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案　16
解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过的时间为16 min.
四、解答题
15．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解　(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)设投资股票类产品x万元，则投资债券类产品(20－x)万元．
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝＋＝(0≤x≤20).
所以当＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．
故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．
16．(2021·安徽皖东名校联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的取值范围；
(2)现有两个奖励方案函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
解　(1)y＝f(x)的定义域是[10，1000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2].
(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由≤0.2，可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1000]，
则g′(x)＝<0，
所以g(x)在[10，1000]上单调递减，
所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.
故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
17．已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N.经测算，电车载客量p(t)与发车时间间隔t满足p(t)＝其中t∈N.
(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－60(元)，当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益．
解　(1)因为p(t)＝
所以p(5)＝400－2×(10－5)2＝350.
p(5)的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350.
(2)将p(t)＝
代入Q＝－60中可得Q＝
化简即可得Q＝
当2≤t<10时，Q＝180－≤180－2＝60，
当且仅当t＝5时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝－60≤－60＋90＝30，当t＝10时等号成立．
综上可知，当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．

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