资源简介

4.2　导数与函数的单调性
(教师独具内容)
1．了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．
3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．
2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．
(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．
1．函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)
A．(0，4) B．(0，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)＜0，得0＜x＜4，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　由题图可知，当x＜0和x＞x1时，导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当0＜x＜x1时，导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＞0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递增．
3．函数f(x)＝的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
答案　(1，＋∞)　(－∞，0)和(0，1)
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)＜0，得x＜1且x≠0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1).
4．若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
答案　[－3，0]
解析　f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，故实数a的取值范围是[－3，0].
1．(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则(　　)
A．aC．b答案　B
解析　因为a＝2ln 1.01＝ln 1.012＝ln 1.0201，且1.0201＞1.02，所以ln 1.0201＞ln 1.02，即a＞b，故排除A，D.令f(x)＝2ln (1＋x)－(－1)(x>0)，则f′(x)＝－，因为当00，f(x)单调递增，所以f(0.01)>f(0)＝0，所以a>c.同理，令g(x)＝ln (1＋2x)－(－1)(x>0)，则g′(x)＝－，因为当x>0时，(1＋2x)2>1＋4x，所以当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(0.01)b.综上a>c>b，故选B.
2．(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
解　(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则xx2；
令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；
当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，设切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，
所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，
即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，解得x0＝1，
所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，
则x3－x2－x＋1＝0，(x－1)2(x＋1)＝0，解得x＝±1，
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).
3．(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，
令φ(x)＝f′(x)，
由于φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，
①当x＝0时，不等式恒成立，符合题意；
②当x＞0时，分离参数a得
a≥－，
记g(x)＝－，
g′(x)＝－，
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，
则h′(x)＝ex－x－1，
令t(x)＝h′(x)，
又x≥0，所以t′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，
即ex－x2－x－1≥0恒成立，
故当x∈(0，2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
因此，g(x)max＝g(2)＝，
综上可得，a的取值范围是.
4．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln .
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，
从而当且仅当－a2ln a≥0，
即0＜a≤1时，f(x)≥0.
③若a<0，则由(1)得，当x＝ln 时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，从而当且仅当a2≥0，即－2e≤a＜0时，f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－2e eq \s\up15()，1].
一、基础知识巩固
考点　　求函数的单调区间(不含参数)
例1　函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调递增区间为(2，＋∞).
例2　函数y＝x ln x的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，e－1) B．(e－1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．(0，e－1)
答案　D
解析　函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝ln x＋1，令y′＜0得0＜x＜e－1，所以函数y＝x ln x的单调递减区间为(0，e－1).
　1.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
答案　B
解析　对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得02．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
答案　D
解析　函数f(x)＝x2－ln x的定义域为{x|x＞0}．函数f(x)＝x2－ln x的导函数为f′(x)＝x－，令x－＜0且x＞0，解得0＜x＜1.所以函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1).
　确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
考点　　讨论含参函数的单调性
例3　已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解　由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
例4　(2021·广州调研)已知函数f(x)＝ax－(a＋2)ln x－－ln a(a>0)，讨论函数f(x)的单调性．
解　易知x>0，a>0，f′(x)＝a－＋＝＝.
由f′(x)＝0得x＝1或x＝.
①若01，由f′(x)<0，得10，得0.所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
②若a＝2，则＝1，f′(x)＝≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③若a>2，则<1，由f′(x)<0，得0，得01.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
　3.已知函数f(x)＝－x＋a ln x(a>0).讨论f(x)的单调性．
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.
①若0＜a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a>2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
综上，当0当a>2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
4．(2021·湖北高三一模)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋ax2－bx的导函数为f′(x)，其中e为自然对数的底数，e＝2.7182818…，且f′(1)＝0.讨论f(x)的单调性．
解　f′(x)＝(x－1)ex＋ax－b，∵f′(1)＝0，
∴a－b＝0，即b＝a，f′(x)＝(x－1)(ex＋a).
①当a≥0时，令f′(x)<0，解得x<1；
令f′(x)>0，解得x>1.
∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
②当－e0，解得x1；
令f′(x)<0，解得ln (－a)∴f(x)在(－∞，ln (－a))和(1，＋∞)上单调递增，在(ln (－a)，1)上单调递减．
③当a<－e时，ln (－a)>1，令f′(x)>0，解得x>ln (－a)或x<1；
令f′(x)<0，解得1∴f(x)在(－∞，1)和(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－a))上单调递减．
④当a＝－e时，f(x)在R上单调递增．
　
1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考点　　函数单调性的简单应用
角度1　比较大小或解不等式
例5　(多选)(2021·重庆抽测)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　)
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f
答案　CD
解析　构造函数g(x)＝.则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在上单调递减，所以g＞g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故选CD.
例6　(2021·武汉模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，都有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2021为奇函数，则不等式f(x)＋2021ex<0的解集为(　　)
A.(－∞，0) B．(0，＋∞)
C． D．
答案　B
解析　由题意，构造新函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，所以函数g(x)在R上单调递减．因为f(x)＋2021为定义在R上的奇函数，所以f(0)＋2021＝0，所以f(0)＝－2021，则g(0)＝－2021，所以不等式f(x)＋2021ex<0等价于g(x)0，所以不等式f(x)＋2021ex<0的解集为(0，＋∞).
　5.(2021·南昌摸底调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　)
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
答案　A
解析　根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)6．(2021·新高考八省联考)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a答案　D
解析　因为ae5＝5ea，a<5，故a>0，同理b>0，c>0，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，当01时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为ae5＝5ea，a<5，故＝，即f(5)＝f(a)，而0f(4)>f(3)，故f(a)>f(b)>f(c)，所以0　以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
角度2　求参数的取值范围
例7　(2021·九江模拟)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，3]
C． D．[3，＋∞)
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1，4]上恒成立．因为y＝在[1，4]上单调递增，所以t≥×＝.故选C.
例8　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<＝－2，当且仅当x＝－时取到最大值－2.所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－2).
　7.(2022·东莞市光明中学高三月考)若f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
答案　C
解析　由题可知，f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)，f′(x)＝－x＋.若f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，由f′(x)＝－x＋≤0，得b≤x(x＋2)＝(x＋1)2－1，当x∈(－1，＋∞)时，(x＋1)2－1>(－1＋1)2－1＝－1，所以b≤－1.故选C.
8．(2022·石首市第一中学高三月考)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．
C． D．(－2，＋∞)
答案　D
解析　因为函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，所以f′(x)＝＋2ax>0在区间上有解，即2a>，又函数y＝x2在上单调递增，所以函数y＝－在上单调递增，故当x＝时，y＝－最小，即＝－4，即2a>－4，得a>－2.故选D.
　已知函数的单调性求参数范围
(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．
二、核心素养提升
例1　(2022·南通市天星湖中学高三开学考试)已知f(x)＝x2＋2a ln x＋3，若 x1，x2∈[4，＋∞)(x1≠x2)， a∈[2，3]，<2m，则m的取值范围是 ．
答案　
解析　不妨设x1>x2，不等式<2m等价于f(x2)－f(x1)<2m(x1－x2)，即f(x2)＋2mx20，所以8＋＋2m≥0在a∈[2，3]上有解，所以8＋＋2m≥0，即m≥－.
例2　(2021·辽宁沈阳二中高三模拟预测)已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若函数y＝f′(x)没有零点，且f(f(x)－2021x)＝2021，当g(x)＝sin x－cos x－kx在上与f(x)在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是 ．
答案　(－∞，－1]
解析　若方程f′(x)＝0无解，则f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，∴f(x)为R上的单调函数， x∈R都有f(f(x)－2021x)＝2021，则f(x)－2021x为定值，设t＝f(x)－2021x，则f(x)＝t＋2021x，易知f(x)为R上的增函数．∵g(x)＝sin x－cos x－kx，∴g′(x)＝cos x＋sin x－k＝sin －k，又g(x)在上与f(x)在R上的单调性相同，∴g(x)在上单调递增，则当x∈时，g′(x)≥0恒成立，当x∈时，x＋∈，sin ∈，∴sin ∈[－1，]，∴k≤－1.
例3　(2022·河北石家庄一中模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数．
(1)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)当a＝1时，试比较f(m)与f的大小．
解　(1)由f(x)＝ln x－ax，得f′(x)＝－a，
∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝1－a＝0，即a＝1.
(2)当a＝1时，f(x)＝ln x－x，
令h(m)＝f(m)－f＝ln m－m－＝2ln m－m＋，
则h′(m)＝－1－＝
＝－≤0，
∴h(m)单调递减．
又h(1)＝0，
①当0＜m＜1时，h(m)＞0，即f(m)>f；
②当m＝1时，h(m)＝0，即f(m)＝f；
③当m＞1时，h(m)＜0，即f(m)利用导数研究函数的单调性考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．破解题的关键是明确导函数的定义，求出所给函数的导数，判断其是否在给定的区间上恒为负值或恒为正值．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2，0)
答案　D
解析　设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－22．已知f(x)为R上的可导函数，且 x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　)
A．e2021f(－2021)e2021f(0)
B．e2021f(－2021)C．e2021f(－2021)>f(0)，f(2021)>e2021f(0)
D．e2021f(－2021)>f(0)，f(2021)答案　D
解析　构造函数h(x)＝，则h′(x)＝<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2021)>h(0)，即> e2021·f(－2021)>f(0)；同理，h(2021)3．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)
B．(－3，0)∪(0，＋∞)
C．[－3，0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－3]
答案　B
解析　依题可知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个零点，故得a>－3且a≠0.
4．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1，1)
C．(－∞，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1)
答案　D
解析　∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，∴xf′(x)＋2f(x)>0.∵g(x)＝x2f(x)，∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减．若g(x)5．(2022·四川雅安高三月考)若f(x)＝x2＋m ln x在(，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．(－∞，－4)
答案　B
解析　对f(x)＝x2＋m ln x求导得f′(x)＝2x＋＝，因为f(x)＝x2＋m ln x在(，＋∞)上是增函数，所以f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立，即2x2＋m≥0在(，＋∞)上恒成立，所以m≥－4.故选B.
6．函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为(　　)
答案　A
解析　f(－x)＝(－x)2－x sin (－x)＝x2＋x sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B不符合题意；f(x)＝x2＋x sin x＝x(x＋sin x)，令g(x)＝x＋sin x，则g′(x)＝1＋cos x≥0恒成立，所以g(x)是增函数，则当x＞0时，g(x)＞g(0)＝0，故当x＞0时，f(x)＝xg(x)，f′(x)＝g(x)＋xg′(x)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只有A符合题意．
7．(2021·广东韶关第一次综合测试)已知函数f(x)＝ln (ex＋1)－x，若a＝f，b＝f(log56)，c＝f(log64)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．b>a>c B．a>b>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案　B
解析　由题可知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝ln (e－x＋1)＋x＝ln ＋x＝ln (ex＋1)－x，则f(x)为偶函数，f′(x)＝－＝＝，当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由log45－log56＝－log56＝≥>＝0，所以log45>log56>1>log64>0，a＝f＝f(－log45)＝f(log45)，故a>b>c.
8．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0，1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又f(x)是奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1，0)时，f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
二、多项选择题
9．若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
答案　ACD
解析　对于A，f(x)＝，则g(x)＝，g′(x)＝，当x<1且x≠0时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2≥0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数；对于C，f(x)＝sin x，则g(x)＝ex sin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝ex sin ，显然g(x)不单调；对于D，f(x)＝x，则g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，g′(x)<0，当x>－1时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．∴不具有M性质的函数是A，C，D.
10．(2021·日照模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>m>1，则下列不等式成立的有(　　)
A．f> B．f<－1
C．f> D．f<0
答案　AC
解析　由已知条件，构造函数g(x)＝f(x)－mx，x∈R，则g′(x)＝f′(x)－m>0，所以函数g(x)＝f(x)－mx在R上单调递增，且>0，g>g(0)，故f－1>－1，所以f>0，故B错误；又<0，所以f>，故A正确；>0，故g>g(0)，所以f－>－1，即f>>0，故C正确，D错误．故选AC.
三、填空题
11．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5，5)，则a的值为 ．
答案　－75
解析　∵f′(x)＝3x2＋a，且f′(x)<0的解集为(－5，5)，∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
12．若函数f(x)＝x＋cos x－1，则不等式f(x－1)<0的解集为 ．
答案　(－∞，1)
解析　f(x)的定义域为R，f′(x)＝1－sin x≥0，∴f(x)在R上单调递增且f(0)＝0，∴f(x－1)<0等价于f(x－1)13．若函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－∞，1]
解析　若函数f(x)＝ax3－3x在(－1，1)上单调递减，则f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1，1)上恒成立，即ax2≤1在(－1，1)上恒成立．若a≤0，满足条件；若a＞0，则只要当x＝1或x＝－1时，满足条件即可，此时a≤1，即0＜a≤1.综上，实数a的取值范围是(－∞，1].
14．函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为 ．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由题意构造函数F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－.因为f′(x)<，所以F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．因为f(x2)<＋，f(1)＝1，所以f(x2)－1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).
四、解答题
15．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ex，若f(x)在x＝0处的切线方程为6x＋y＋3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解　(1)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex，由切线方程知f′(0)＝－6，f(0)＝－3，
∴解得
(2)f(x)＝(x2－3x－3)ex，定义域为R，f′(x)＝(x2－x－6)ex＝(x－3)(x＋2)ex，令f′(x)>0，得x>3或x<－2，令f′(x)<0，得－216．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当00，
故f(x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当017．(2022·北京市玉渊潭中学高三月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)设函数g(x)＝[f(x)－x3]ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝x3＋ax2－x＋c，
所以f′(x)＝3x2＋2ax－1，
当x＝时，得a＝f′＝3×＋2f′×－1，解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝x3－x2－x＋c，
所以f′(x)＝3(x－1).
令f′(x)＞0，得x＜－或x＞1，
所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞).
(3)函数g(x)＝(－x2－x＋c)ex，有g′(x)＝(－x2－3x＋c－1)ex.令h(x)＝－x2－3x＋c－1，则函数g(x)在区间[－3，2]上单调递增等价于h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3，2]上恒成立，只要解得c≥11，所以实数c的取值范围是[11，＋∞).

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