资源简介

4．1　变化率与导数、导数的计算
(教师独具内容)
1．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
2．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
4．重点提升数学运算和数学抽象素养．
(教师独具内容)
本考点以考查导数的概念、几何意义、导数的运算为主，而与切线有关的问题是高考的热点．预计导数的几何意义及其应用仍是2023年高考考查的重点内容．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．导数的概念
(1)平均变化率：我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
2．导数的几何意义
曲线f(x)的割线P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，则割线P0P的斜率是k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝
3．导函数的概念
当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝loga x(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
7．常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)熟记以下结论：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案　C
解析　因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝2(Δx)2＋4Δx，所以＝4＋2Δx.
2．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
答案　C
解析　f(3)－f(2)可写为，表示过点(2，f(2))，(3，f(3))的直线的斜率，f′(2)，f′(3)分别表示曲线f(x)在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，设过点(2，f(2))，(3，f(3))的直线为m，曲线在点(2，f(2))，(3，f(3))处的切线分别为l，n，画出它们的图象，如图．由图可知0＜kn＜km＜kl，故0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).
3．若函数f(x)＝(x2－4)(x－t)，且f′(－1)＝0，则t等于(　　)
A．0 B．－1 C． D．2
答案　C
解析　依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.
4．曲线f(x)＝x3－x在点(－1，f(－1))处的切线方程为(　　)
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y－2＝0
C．2x－y＋2＝0 D．2x－y－2＝0
答案　C
解析　∵f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，∴f′(－1)＝2，f(－1)＝0，曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.
5.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝ ．
答案　2
解析　切线的斜率k＝f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebC．0答案　D
解析　解法一：设切点为(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a)，
由得ex0(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程ex0(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当x0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，当x0，所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0解法二：过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得02．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案　B
解析　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
3．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案　D
解析　y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.
4．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为 .
答案　5x－y＋2＝0
解析　因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
5．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝ ．
答案　1
解析　f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
一、基础知识巩固
考点　　导数的运算
例1　f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x0)＝2022，则x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
答案　B
解析　f′(x)＝2021＋ln x＋x·＝2022＋ln x，故由f′(x0)＝2022，得2022＋ln x0＝2022，则ln x0＝0，解得x0＝1.
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；(4)y＝x sin cos .
解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
(4)∵y＝x sin cos
＝x sin (4x＋π)＝－x sin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2x cos 4x.
　1.(多选)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝－x2＋ln x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝＋
答案　AD
解析　A中f′(x)＝′＝－x＋，f′(1)＝－1＋＝－；B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，f′(1)＝2e；C中f′(x)＝′＝2cos ，f′(1)＝2cos ≠－；D中f′(x)＝′＝－＋，f′(1)＝－1＋＝－.故选AD.
2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝＋x2021＋sin x(x∈R)，则f(2021)＋f(－2021)＋f′(2021)－f′(－2021)的值为 ．
答案　2
解析　由题意，得f′(x)＝＋2021x2020＋cos x，f′(－x)＝－＋2021(－x)2020＋cos (－x)＝－＋2021x2020＋cos x＝f′(x)，∴f′(x)是偶函数，∴f′(x)－f′(－x)＝0，又f(x)＋f(－x)＝＋x2021＋sin x＋＋(－x)2021＋sin (－x)＝＋＝2.∴f(2021)＋f(－2021)＋f′(2021)－f′(－2021)＝2.
　
1．求函数导数的总原则
先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的六种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考点　　导数与函数的图象
例3　(2021·江苏金湖高三期中)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为(　　)
答案　A
解析　由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，速度先由快到慢，再由慢到快，由导数的几何意义可知，f′(x)先减后增，且恒大于等于0，故符合题意的只有A.故选A.
例4　(2022·北京清华附中高三月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，记a＝2f′(2)，b＝2f′(4)，c＝f(4)－f(2)，则a，b，c数值排序正确的是(　　)
A．aC．b答案　D
解析　结合图象，知kl1＝f′(2)，kl3＝，kl2＝f′(4)，f′(2)<　3.函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A.f′(1)>f′(2)>f′(3)
B．f′(2)>f′(1)>f′(3)
C．f′(3)>f′(2)>f′(1)
D．f′(3)>f′(1)>f′(2)
答案　C
解析　由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
4．(2021·湖北孝感模拟)如图，函数y＝f(x)在x＝2处的切线过点(4，0)和(0，－2)，则f′(2)－f(2)的值为(　　)
A. B．－ C． D．－
答案　C
解析　因为函数y＝f(x)在x＝2处的切线过点(4，0)和(0，－2)，所以切线的斜率为k＝f′(2)＝＝，切线方程为y－0＝(x－4)，即y＝x－2，所以f(2)＝×2－2＝－1，则f′(2)－f(2)＝＋1＝.故选C.
　导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点附近的变化情况.
考点　　求切线方程
例5　在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．
答案　(e，1)
解析　设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，所以有－1－n＝(－e－m).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).
例6　已知曲线f(x)＝x3－x，则曲线在点(1，0)处的切线方程为 ，曲线过点(1，0)的切线方程为 ．
答案　2x－y－2＝0　2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0
解析　f′(x)＝3x2－1.曲线在点(1，0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2，所以所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.设切点为P(x0，x－x0)，则k切＝f′(x0)＝3x－1，所以所求切线方程为y－x＋x0＝(3x－1)(x－x0)，又切线过点(1，0)，所以－x＋x0＝(3x－1)(1－x0)，所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－.故所求切线方程为y＝2(x－1)或y－＝－，即2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
　5.(2021·深圳模拟)已知f(x)＝x ln (x－1)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程是 ．
答案　y＝2x－4
解析　由题意知，f′(x)＝ln (x－1)＋，所以f′(2)＝ln (2－1)＋＝2，f(2)＝2ln (2－1)＝0，则在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2(x－2)，即y＝2x－4.
6．设a∈R，函数f(x)＝ex＋的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 ．
答案　ln 2
解析　函数f(x)＝ex＋的导函数是f′(x)＝ex－.又因为f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－＝－(e－x－a·ex)，则ex(1－a)＝e－x(a－1)，所以(e2x＋1)(1－a)＝0，解得a＝1.所以f′(x)＝ex－.令ex－＝，解得ex＝2或ex＝－(舍去)，所以x＝ln 2.
　与切线有关的问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出曲线在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.
考点　　由导数的几何意义求参数的取值范围
例7　(2021·银川模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－，)
解析　因为f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由题意得－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
例8　若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　设(x1，y1)是公切线和曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k1＝(ln x)′|x＝x1＝，切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，整理得y＝·x＋ln x1－1.设(x2，y2)是公切线和曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)的切点，则切线斜率k2＝(x2＋2x＋a)′|x＝x2＝2x2＋2，切线方程为y－(x＋2x2＋a)＝(2x2＋2)(x－x2)，整理得y＝(2x2＋2)x－x＋a，其中x2<0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝2x2＋2，　①,ln x1－1＝－x＋a，　②))
由①得x1＝，代入②得a＝－ln (2x2＋2)＋x－1.又x1>0，则－1　7.(2021·齐齐哈尔模拟)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝(　　)
A．1 B．
C．1－ln 2 D．1－2ln 2
答案　C
解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))，则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝(x－x2).化简得y＝·x＋ln x1＋1，y＝·x－＋ln (x2＋1)，依题意，
得
解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
8．对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，2] B．(3，＋∞)
C． D．
答案　D
解析　由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1>1，∴∈(0，1).由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2，2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a].要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤.
　
1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路
一般是利用切点P(x0，y0)求出切线方程再转化研究．
2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路
由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．
二、核心素养提升
例1　(2021·江西吉安一模)过点P(1，1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝＝ eq \f(x－1,x0－1)＝x＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3x，∴x＋x0＋1＝3x，∴x0＝1(舍去)或x0＝－，∴过点P(1，1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条．故选C.
例2　已知点P在曲线y＝sin2－cos2上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．∪
答案　D
解析　∵y＝sin2－cos2＝－cosx，∴y′＝sin x．设P(x0，y0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝tan α＝sin x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α＜π，∴α∈∪.故选D.
例3　设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)求ab的最大值．
解　(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．所以(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，
又点(x0，y0)为C1与C2的交点，
故有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝x－2x0＋2，,y0＝－x＋ax0＋b)) 2x－(a＋2)x0＋2－b＝0，消去x0，可得a＋b＝.
(2)由(1)知，b＝－a，所以ab＝a＝－＋，当a＝时，ab取到最大值.
1．求切线倾斜角的范围要注意结合正切函数的单调性计算．
2．最值问题的计算注意向函数或不等式问题转化．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·烟台模拟)设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案　B
2．(2021·厦门模拟)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝x－2
答案　A
解析　y＝的导数为y′＝－，可得曲线y＝在点(1，－1)处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝－2，所以曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
3.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＝f′(xB)
C．f′(xA)＜f′(xB)
D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
答案　A
解析　由图象可得，曲线y＝f(x)在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，则有f′(xA)＞f′(xB).故选A.
4．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为(　　)
A．∪ B．
C．∪ D．
答案　C
解析　y′＝3x2－，∴y′≥－，∴tan α≥－，又α∈[0，π)，故α∈∪.
5．(2021·东莞检测)已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切，则k等于(　　)
A． B． C．e D．e2
答案　A
解析　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝.
6．(2021·广州高三一模)已知点P(x0，y0)在曲线C：y＝x3－x2＋1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈，则x0的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．[－7，9]
答案　B
解析　由y＝x3－x2＋1，得y′＝3x2－2x，则曲线C在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－2x0，∵k∈，∴3x－2x0∈，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2x0≤21，,3x－2x0≥－\f(1,3)，))∴x0∈.
7．若函数f(x)＝x2＋1的图象与曲线C：g(x)＝aex＋1(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　设公切线与f(x)＝x2＋1的图象切于点(x1，x＋1)，与曲线C：g(x)＝aex＋1切于点(x2，aex2＋1)，∴2x1＝aex2＝ eq \f(aex2＋1－x－1,x2－x1)＝ eq \f(aex2－x,x2－x1)，化简可得，2x1＝ eq \f(2x1－x,x2－x1)，得x1＝0或2x2＝x1＋2，∵2x1＝aex2且a>0，∴x1>0，则2x2＝x1＋2>2，即x2>1，由2x1＝aex2，得a＝＝.设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝，∴h(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(2)＝，∴实数a的取值范围为.故选A.
8．设点P为函数f(x)＝x2＋2ax与g(x)＝3a2ln x＋2b(a>0)的图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为(　　)
答案　D
解析　设P(x0，y0)，由于P为公共点，则x＋2ax0＝3a2ln x0＋2b.又两曲线在点P处的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，即x0＋2a＝，即(x0＋3a)(x0－a)＝0.又a>0，x0>0，则x0＝a，于是2b＝a2－3a2ln a．设h(x)＝x2－3x2ln x，x>0，则h′(x)＝2x(1－3ln x)，可知当x∈(0，e eq \s\up15())时，h(x)单调递增；当x∈(e eq \s\up15()，＋∞)时，h(x)单调递减．故h(x)max＝h(e eq \s\up15())＝e eq \s\up15()，于是实数b的最大值为e eq \s\up15().故选D.
二、多项选择题
9．若直线y＝x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则下列曲线中可以与直线y＝x＋b相切的有(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
答案　BCD
解析　直线y＝x＋b的斜率为k＝，由f(x)＝的导数为f′(x)＝－，知切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，由4x3＝，解得x＝，故B正确；f(x)＝sin x的导数为f′(x)＝cos x，而cos x＝有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，由ex＝，解得x＝－ln 2，故D正确．故选BCD.
10．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中有“巧值点”的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
答案　AC
解析　若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
三、填空题
11．(2021·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝ ．
答案　－
解析　∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝.∴f(x)＝2x2－x＋ln x，∴f(1)＝2－＝－.
12．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 ．
答案　
解析　设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′| x＝x0＝2x0－＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝＝.
13．(2021·青岛一诊)设f(x)＝aex＋b ln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝ ．
答案　1
解析　对f(x)求导得f′(x)＝aex＋，所以f′(1)＝ae＋b＝e　①，f′(－1)＝－b＝　②.故由①②可得a＝1，b＝0，则a＋b＝1.
14．已知a－ln b＝0，c－d＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是 ．
答案　2
解析　设(b，a)是曲线C：y＝ln x上的点，(d，c)是直线l：y＝x＋1上的点，则(a－c)2＋(b－d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数y＝ln x求导得y′＝，令y′＝1，得x＝1，则y＝0，所以曲线C上到直线y＝x＋1的距离最小的点为(1，0)，该点到直线y＝x＋1的距离为＝.因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()2＝2.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
(1)由题意，得解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.
16．(2022·河北邯郸高三月考)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解　(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1，所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x＋1)(0－x0)＋x＋x0－16＝0，整理得x＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
17．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．
解　(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0).
由题意得
即
解得
(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，设曲线的切点为P，f′(x0)＝1－ eq \f(1,x)，
曲线在点P处的切线方程为y－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x－x0)，即y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))x＋.
当x＝0时，y＝.
即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A.由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))x＋\f(2,x0)，,y＝x，))得
即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0).又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·＝2，即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．