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5.3　简单的三角恒等变换（二）
1．半角公式
sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝±
称为半角公式，符号由所在象限决定．
2．常用结论
tan ＝＝.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在锐角三角形ABC中，sin A sin B和cos A cos B的大小关系不确定．(　　)
(2) α∈R，1＋sin α＝.(　　)
(3) α∈R，2cos2α＋cos2α－1＝0.(　　)
(4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．sin 15°cos 15°等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
答案　B
解析　sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
3．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
答案　A
解析　因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.
4．已知cos ＝，x∈，则sin x＝ ，cos ＝ ．
答案　　
解析　因为x∈，所以x－∈，sin ＝＝.
sinx＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝.
又因为x∈，故cos x＝－＝－＝－，sin2x＝2sin x cos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.所以cos＝cos 2x cos －sin 2x sin ＝－×＋×＝.
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝，故选D.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
基础知识巩固
考点　　三角函数式的化简
例1　2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案　B
解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵<2<π，∴cos 2<0，∵sin 2＋cos 2＝sin ，0<2＋<π，∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
例2　化简：＝ ．
答案　cos2x
解析　原式＝＝＝＝＝cos 2x.
　1.化简：(1)sin (α＋β)cos α－[sin (2α＋β)－sin β]；
(2)(－π<α<0).
解　(1)原式＝sin (α＋β)cos α－[sin (α＋α＋β)－sin (α＋β－α)]＝sin (α＋β)cos α－[sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－sin (α＋β)·cos α＋cos (α＋β)sin α]＝sin (α＋β)cos α－×2sin αcos (α＋β)＝sin (α＋β)cos α－sin αcos (α＋β)＝sin (α＋β－α)＝sin β.
(2)原式＝＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin <0，所以原式＝＝cos α.
　
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
考点　　三角函数式的求值
例3　计算＝ ．
答案　2
解析　
＝＝
＝
＝＝
＝＝2.
例4　cos 20°cos 40°cos 100°＝ ．
答案　－
解析　cos 20°cos 40°cos 100°＝－cos 20°cos 40°cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
例5　已知cos α＝，cos (α－β)＝，若0＜β＜α＜，则β＝ ．
答案　
解析　由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝.由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜，又cos(α－β)＝，∴sin (α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.∵β∈，∴β＝.
例6　已知sin ＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin 的值．
解　(1)由sin ＝，得sin αcos ＋cos αsin ＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，且α∈，②
由①②解得cosα＝－.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
∴sin ＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×＝－.
　2.[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝ ．
答案　
解析　原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°cos 10°＋sin 10°cos (60°－10°)]＝2sin (50°＋10°)＝2×＝.
3．已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin ＝ ．
答案　－
解析　由已知可得tan ＝－2，∵α为第二象限角，∴sin ＝，cos ＝－，则sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝－.
4．已知cos ＝，θ∈，则sin 2θ＝ ，sin ＝ ．
答案　　
解析　由题意可得，cos2＝
＝，cos ＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.因为cos ＝＞0，θ∈，所以0＜θ＜，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin ＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.
5．已知α∈，且2sin2α－sinαcos α－3cos2α＝0，则＝ ．
答案　
解析　由2sin2α－sinαcos α－3cos2α＝0，得(2sinα－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
∵α∈，∴sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cosα＝＝，sin α＝＝，
∴＝＝＝.
　研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
对于“给角求值”一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题．对于“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．对于“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).
在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．
(3)谨记“给值求角”问题口诀：求角大小象限定，函数转化标准型．
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　D
解析　由题意可得＝
＝＝sin θ(sin θ－cos θ)＝＝＝.
2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°的值为(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
3．设≤x≤，则＋＝(　　)
A．2sin x B．2cos x
C．－2sin x D．－2cos x
答案　A
解析　＋＝＋＝＋
，因为≤x≤，所以sin x＋cos x>0，sin x－cos x≥0，故＋＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝2sin x．
4．(2022·河南高三月考)设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为(　　)
A． B． C．－ D．－
答案　B
解析　∵α为锐角，即0＜α＜，∴＜α＋＜，∵cos ＝，∴sin ＝＝，∴sin＝sin ＝2sin cos ＝2××＝，故选B.
5．(2021·惠州模拟)已知sin α＝，则cos (－2α)的值为(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　C
解析　cos (－2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
6．已知A，B∈，且满足tanA－＝tan B，则有(　　)
A．sin 2A－sin B＝0 B．sin 2A＋sin B＝0
C．sin 2A－cos B＝0 D．sin 2A＋cos B＝0
答案　C
解析　因为tan A－＝tan B，所以－＝，即＝＝，所以sin 2A sin B＋cos 2A cos B＝0，所以cos (2A－B)＝0，所以2A－B＝kπ＋，k∈Z，由A，B∈得－<2A－B<π，则k＝0，2A－B＝，所以sin 2A＝sin ＝cos B，故sin 2A－cos B＝0.
7．已知sin θ＝，<θ<3π，那么tan ＋cos 的值为(　　)
A．－3 B．3－
C．－3－ D．3＋
答案　B
解析　∵sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－，∈，∴sin＝－＝－，cos ＝－＝－，∴tan ＝＝3，∴tan ＋cos ＝3－.
8．设sin ＝－cos α，则cos ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
答案　D
解析　依题意，sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝，则sin α·＋cos α·＝，即cos ＝，故cos ＝2cos2－1＝2×－1＝，故选D.
二、多项选择题
9．下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2
B．
C．2sin195°cos 195°
D．
答案　BC
解析　对于A，cos2－sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin 195°cos 195°＝sin 390°＝sin 30°＝；对于D，＝＝.故选BC.
10．以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是(　　)
A．cos αsin β＝
B．＝
C．＝
D．＝2cos (α＋β)＋
答案　BCD
解析　对于A，因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，所以sin αcos β＝，故A错误；对于B，因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)·(1－cos α)，所以＝，故B正确；对于C，＝＝，＝＝，所以＝，故C正确；对于D，－2cos (α＋β)＝－2cos (α＋β)＝－2cos (α＋β)＝－cos (α＋β)＝＝＝，所以＝2cos (α＋β)＋，故D正确．
11.(2022·沈阳高三质量监测)如图，圆心在坐标原点O，半径为1的半圆上有一动点P，A，B是半圆与x轴的两个交点，过P作直线l垂直于直线AB，M为垂足．设∠AOP＝α，则下列结论正确的有(　　)
A．若α∈，则sin α＋cos α>1
B．若α∈，则α>sin α
C．若α∈(0，π)，则||＋||≥2||
D．若α∈[0，π]，则|PA|＋|PB|的最大值为2
答案　AC
解析　对于A，解法一：因为α∈，PM⊥AB，所以sin α＝|PM|，cos α＝|OM|，在△OPM中，根据三角形两边之和大于第三边，得sin α＋cos α＝|PM|＋|OM|>|OP|＝1，所以A正确．解法二：因为α∈，所以0sin2α，cosα>cos2α，则sinα＋cos α>sin2α＋cos2α＝1，所以A正确；对于B，当α＝0时，sinα＝0，则此时α＝sin α，所以B错误；对于C，当α∈(0，π)时，因为AB是半圆的直径，P是半圆上一动点，所以∠APB＝，即△ABP是直角三角形，又PM⊥AB，所以||2＝||||，所以||＋||≥2＝2＝2||，当且仅当||＝||，即点M与点O重合时，等号成立，所以C正确；对于D，当α＝0或α＝π时，|PA|＋|PB|＝2，当α∈(0，π)时，因为∠AOP＝α，所以∠ABP＝，在Rt△ABP中，|PB|＝|AB|cos ＝2cos ，|PA|＝|AB|sin ＝2sin ，所以|PA|＋|PB|＝2sin ＋2cos ＝2sin ，因为α∈(0，π)，所以＋∈，则当＋＝，即α＝时，|PA|＋|PB|取得最大值2，所以D错误．故选AC.
三、填空题
12．已知tan α＝2，则的值为 ．
答案　－2
解析　因为tanα＝2，所以＝＝＝＝－2.
13．若sin2α－cos2α＝，则＝ ．
答案　－
解析　因为sin2α－cos2α＝＝＝，所以＝－.
14．已知sin＝，则cos ＝ ．
答案　－
解析　依题意cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－＝，则cos＝－cos ＝－cos ＝－.
15.＋＋…＋＝ ．
答案　
解析　因为
＝·
＝·
＝·，
所以＋＋…＋＝·＝×(1－0)＝.
四、解答题
16．化简.
解　
＝
＝
＝1.
17．已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos (β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值．
解　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos (β＋α)＝，得sin α＝，sin (β＋α)＝.
所以sin β＝sin [(β＋α)－α]＝sin (β＋α)cos α－cos (β＋α)sin α＝×－×＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
18.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解　连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OB sin θ＝20sin θ，OA＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2).
此时AO＝DO＝10(m).
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

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