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5.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
(教师独具内容)
1．能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式；掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其他三角函数值；已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时，应注意分类讨论思想的应用；灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变换的能力．
2．理解和掌握诱导公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，促进学生直观想象、逻辑推理与数学运算素养的发展．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．本考点主要以选择题或填空题来考查，命题的重点是考查利用同角三角函数基本关系式及诱导公式求值问题．对于同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，主要考查利用平方关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用．
2．注意利用同角三角函数基本关系式求值时角的取值范围，这是确定三角函数值符号的关键．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tanα＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z).
注：(1)同角三角函数的基本关系式的几种变形
①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
②sin α＝tan αcos α.
③sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若需要开方，要特别注意判断符号．
2．各角的终边与角α的终边的关系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
图示
与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称
图示
与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称
将α视为锐角，则－α，π±α，2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦、正切函数名不变，符号根据象限可以快速得出；±α的三角函数名改变，正弦、余弦互换，符号根据象限得出．
3．诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
记忆口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
记忆规律 奇变偶不变，符号看象限
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k是偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．若sin α＝，<α<π，则tan α等于(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
答案　D
解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－.
3．已知＝，则tan α＝(　　)
A．－6 B．6 C．－ D．
答案　B
解析　∵＝＝＝，∴tan α＝6，故选B.
4．化简：·sin (α－π)cos (2π－α)＝ ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)cos α＝·(－sin α)cos α＝－sin2α.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则
＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　C
解析　解法一：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
解法二：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ).由tan θ＝＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝.所以
＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝×(4－2)＝.故选C.
2．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sin α＝.故选B.
3．(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝ ．
答案　－
解析　解法一：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，所以sin α＝，cos β＝，因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.
解法二：由(sinα＋cos β)2＋(cos α＋sin β)2＝1，得2＋2sin (α＋β)＝1，所以sin (α＋β)＝－.
一、基础知识巩固
考点　　同角三角函数基本关系式之“知一求二”例1　已知cos α＝k，α∈，则sin (π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．± D．－k
答案　A
解析　解法一(直接法)：由cos α＝k，α∈，得sin α＝，所以sin (π＋α)＝－sin α＝－.故选A.
解法二(排除法)：易知k＜0，sin (π＋α)＝－sin α＜0，排除B，C，D，故选A.
例2　已知x∈，tan x＝－，则cos 等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案　C
解析　∵tan x＝＝－，∴cos x＝－sin x，∴sin2x＋cos2x＝sin2x＋sin2x＝sin2x＝1，∴sin2x＝.又x∈，∴sinx＝，∴cos ＝cos ＝－sin x＝－.
　1.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　因为α为第四象限角且sin α＝－，所以cos α＝＝，故tanα＝＝－.
2．已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tanα＝＝－.故选D.
　利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cos α时符号的选取．对于“知一求二”问题，可以借助勾股数，画直角三角形，利用sin α＝，cos α＝，tan α＝求值，最后结合α的范围确定三角函数符号．
考点　　同角三角函数基本关系式之“弦切互化，齐次式”例3　设α是第三象限角，且＝7，那么sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　B
解析　∵＝＝7，∴tan α＝3，又α是第三象限角，由同角三角函数基本关系，得sin α＝－，cos α＝－，∴sin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝－.
例4　已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sinαcos α＋2.
解　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
　3.已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是(　　)
A． B．－ C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcos α＝＝＝.故选A.
4．已知θ为第四象限角，sinθ＋3cos θ＝1，则tan θ＝ ．
答案　－
解析　由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
　
(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α)的问题，通常构造分母1，分子、分母同除以cos2α化为“切”求解；②sinα，cos α的齐次分式的问题常采用分子、分母同除以cos α化为“切”求解．
(2)切化弦：一般单独出现正切的时候，运用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．
考点　　同角三角函数基本关系式之“sin α±cos α与sin αcos α的关系”例5　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ ．
答案　－
解析　解法一：由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得所以tan θ＝－.
解法二：因为sin θ＋cos θ＝，所以sin θcos θ＝－，由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝＝－.
解法三：由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝－.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，所以θ∈，所以tan θ＝－.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　5.已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因为sinα＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又因为－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以cos α－sin α＝，所以＝＝.
6．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　D
解析　∵θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝＝＝＝.
　“sin α±cos α，sin αcos α”的应用：sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个．
考点　　诱导公式的应用
例6　已知cos ＝a，则cos ＋sin 的值是 ．
答案　0
解析　因为cos ＝cos ＝－cos ＝－a，sin ＝sin ＝cos ＝a，所以cos ＋sin ＝0.
例7　化简(n∈Z)的结果为 ．
答案　(－1)n＋1sin α(n∈Z)
解析　①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝＝－sin α；
②当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝＝＝sin α.
综上，化简的结果为(－1)n＋1sin α(n∈Z).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　7.已知角α的终边过点P(－7，24)，则sin (π＋α)＋cos 的值为(　　)
A．－ B．
C．0 D．
答案　A
解析　因为角α的终边过点P(－7，24)，所以sin α＝＝，则sin (π＋α)＋cos ＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－.
8．已知角α终边上一点P(－4，3)，则
的值为 ．
答案　－
解析　原式＝＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－.
方法点拨
1.将角合理转化的流程,任意负,角的三角函数
即①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．三角形中的三角函数关系式
sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C；cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C；tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C；sin ＝sin ＝cos ；cos ＝cos ＝sin .
考点　　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例8　已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，∴sinα＝.
　9.(2022·潍坊调研)已知3sin ＝－5cos ，则tan 等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　A
解析　由3sin ＝－5cos ，得sin ＝－cos ，所以tan ＝＝－.
10．已知－π求的值．
解　由已知，得sin x＋cos x＝，　①
两边平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，整理得2sinx cos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，
由－π又sin x cos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.　②
由①②得sin x＝－，cos x＝，tan x＝－，
∴＝＝－.
　
基本思路 ①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式
化简要求 ①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
二、核心素养提升
诱导公式中的拆角与配角问题
例1　已知sin ＝.
(1)求cos 的值；
(2)设解　(1)因为x＋－＝，所以cos ＝cos ＝sin ＝.
(2)由由题设条件sin ＝可知，例2　已知<α<，cos＝b(b≠0)，求sin 的值．
解　∵－α＝π－，∴cos ＝cos ＝－cos ＝－b.
∵<α<，∴0<－α<，
∴sin ＝＝.
解决条件求值问题的常见思路：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．
与有关的特殊角有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α；－α与－α；＋α与＋α等．
与π有关的特殊角有：＋α与－α；＋α与－α；－α与＋α；＋α与α－等．
常用结论：若α＋β＝，则sinα＝cos β.可推广为sin ＝cos ；sin ＝cos .
若α＋β＝π，则sin α＝sin β，cos α＝－cos β.
课时作业
一、单项选择题
1．已知α∈(0，π)，若cos α＝－，则tan α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　因为α∈(0，π)，cos α＝－，所以α＝，tan α＝tan ＝－.
2．已知tan (π－α)＝－3，则＝(　　)
A．－7 B．7
C．－1 D．1
答案　A
解析　tan (π－α)＝－tan α＝－3，即tan α＝3，所以＝＝－7.
3．若点P(sin 2021°cos 2021°，cos 2021°－sin 2021°)，则点P在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　sin 2021°＝sin (360°×5＋221°)＝sin 221°＝sin (180°＋41°)＝－sin 41°，同理cos 2021°＝－cos 41°，sin 2021°cos 2021°＝(－sin 41°)·
(－cos 41°)>0，sin 2021°>cos 2021°，即cos 2021°－sin 2021°<0，所以点P在第四象限．故选D.
4．(2021·重庆八中月考)已知θ是第三象限角，且cos (π＋θ)＝，则tan θ＝(　　)
A． B．2
C．2 D．
答案　C
解析　cos (π＋θ)＝－cos θ＝，所以cos θ＝－，又θ是第三象限角，所以sin θ＝－＝－＝－，所以tanθ＝＝＝2.
5．已知cos (α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin (－2π＋α)＝(　　)
A．－ B． C．± D．
答案　A
解析　由诱导公式可得cos (α－π)＝－cos α＝－，∴cos α＝，又α是第四象限角，∴sin (－2π＋α)＝sin α＝－.
6．已知sin ＝，则cos ＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案　B
解析　cos ＝cos ＝cos ＝－sin ＝－.
7．(2021·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A．2 B． C．－2 D．－
答案　A
解析　由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，∴tan α＋＝＋＝＝＝2.
8．若cos ＝，求cos －sin2＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
答案　A
解析　cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－＝－－＝－－＝－.
二、多项选择题
9．若sinα＝，且α为锐角，则下列结论中正确的是(　　)
A．tan α＝ B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
答案　AB
解析　∵sin α＝，且α为锐角，∴cos α＝＝＝，故B正确；tanα＝＝＝，故A正确；sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误；sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
10．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin (A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan (A＋B)＝－tan C
D．cos (A＋B)＝cos C
答案　ABC
解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，A正确；sin ＝sin ＝cos ，B正确；tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，C正确；cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，D错误．故选ABC.
三、填空题
11．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝ ，cos A＝ ．
答案　　
解析　由tan A＝>0且角A是△ABC的内角，可得012．设α为第二象限角，若sin α＝，则tan ＝ ．
答案　－
解析　因为α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝－3，所以tan ＝＝＝－.
13．若sin ＝－，θ∈[0，2π)，则θ＝ ．
答案　或
解析　由三角函数的诱导公式，可得sin ＝－cos θ＝－，即cos θ＝，又因为θ∈[0，2π)，所以θ＝或.
14．已知sin (α＋β)＝1，α，β均为锐角，且tan α＝，则cos β＝ ．
答案　
解析　因为α，β均为锐角，所以α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，因为sin (α＋β)＝1，所以α＋β＝，即β＝－α，因为tan α＝，α∈，所以sin α＝，所以cos β＝cos ＝sin α＝.
四、解答题
15．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解　假设存在实数m满足条件，由题设得，Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－m<0，②
sin αcos α＝>0，③
又sin2α＋cos2α＝1，
所以(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得－2×＝1，即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
因为m1＝2不满足条件①，舍去；
因为m2＝－不满足条件②和③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
16．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点P，角β的终边所在射线经过点Q(－m，m)(m<0).
(1)求sin αtan β的值；
(2)求＋.
解　(1)点P到原点O的距离r＝1，
由三角函数定义知sin α＝－，
由角β的终边所在射线经过点(－m，m)，且m<0知tan β＝＝－1，所以sin αtan β＝.
(2)＋＝＋＝－＋，
由三角函数定义知tan α＝且tan β＝－1，
所以原式＝－＋＝－.
17．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，π).求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　(1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θcos θ＝，②
将①式平方得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，代入②得m＝，经检验符合题意．
所以m的值为.
(2)＋＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ
＝.
(3)由m＝，得2x2－(＋1)x＋＝0，解得x＝或.
∴或
∵θ∈(0，π)，∴θ＝或.

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