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5．1　任意角、弧度制及任意角的三角函数
(教师独具内容)
1．掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；掌握终边相同的角的表示方法；会判断角所在的象限．
2．体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用180°＝π rad进行弧度与角度的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能理解角与实数之间的一一对应关系，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式．
3．初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象思维．
4．重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养．
(教师独具内容)
1．本考点主要以选择题或填空题来考查，考查对三角函数定义的理解，考查三角函数的概念，考查根据给出的点或点所在的直线求三角函数值．
2．了解任意角的概念和弧度制；能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；象限角与终边相同的角；弧长公式与扇形的面积公式及应用这些知识解决问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．角的概念的推广
(1)定义：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
(2)角的分类：按旋转方向分为正角、负角、零角；按终边位置分为象限角、轴线角．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
(4)象限角：建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 {α|k·360°＋90°<α续表
象限角 角的表示
第三象限的角 {α|k·360°＋180°<α第四象限的角 {α|k·360°＋270°<α注：(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．
2．弧度制的定义及相关公式
(1)定义：我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝≈0.01745 rad；1 rad＝°≈57.30°
弧长公式 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
注：(1)把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)就一定不能省略．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
(3)特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
α弧度数 0 π
sin α 0 1 0 －1
cos α 1 0 －1 0
tan α 0 1 0
(4)三角函数的符号性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
注：(1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)若α∈，则tan α>α>sin α.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(4)－300°角与60°角的终边相同．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　由题意，得cos α＝sin ＝－<0，sin α＝cos ＝－<0，∴点在第三象限，即α是第三象限角，∴α＝＋2kπ，k∈Z，最小正值为.故选A.
3．下列说法正确的是(　　)
A．第二象限角大于第一象限角
B．不相等的角终边可以相同
C．若α是第二象限角，2α一定是第四象限角
D．终边在x轴正半轴上的角是零角
答案　B
解析　对于A，第一象限角360°＋30°>120°，而120°是第二象限角，∴A错误；对于B，360°＋30°与30°终边相同，但它们不相等，∴B正确；对于C，若α是第二象限角，则2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴负半轴上的轴线角，∴C错误；对于D，360°角的终边在x轴正半轴上，但不是零角，∴D错误．故选B.
4．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．
5．终边在x轴上的角的集合为 ；终边在y轴上的角的集合为 ．
答案　{α|α＝kπ，k∈Z}　
1．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案　D
解析　当α＝－时，cos 2α＝cos ＜0，A错误；当α＝－时，cos 2α＝cos ＞0，B错误；由α为第四象限角可得sin α＜0，cos α＞0，则sin 2α＝2sin αcos α＜0，C错误，D正确．故选D.
2．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan ∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.
答案　4＋
解析　设OB＝OA＝r，如图，过点A作直线DE和EF的垂线，垂足分别为M，N，AN交CG于点P.由题意知AM＝AN＝7，EF＝12，所以NF＝5，又因为DE＝2，所以AP＝5，则AP＝PG＝NF＝5，所以∠AGP＝45°，因为BH∥DG，所以∠AHO＝45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形．在Rt△OQD中，OQ＝5－r，DQ＝7－r，因为tan ∠ODC＝＝，所以21－r＝25－r，解得r＝2，所以等腰直角三角形OAH的面积为S1＝×2×2＝4，扇形AOB的面积为S2＝××(2)2＝3π，所以阴影部分的面积为S1＋S2－π×12＝4＋.
一、基础知识巩固
考点　　象限角及终边相同的角
例1　与角240°终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　∵240°＝，∴与角240°终边相同的角的集合是.
例2　若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
答案　C
解析　∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
例3　已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 (用弧度制表示).
答案　
解析　在[0，2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为，所以所求角的集合为.
　1.设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
答案　B
解析　解法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N.故选B.
解法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M N.故选B.
2．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　B
解析　∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，∴的终边落在第二、四象限，又＝－cos ，∴cos ＜0，∴是第二象限角．
3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 ．
答案　
解析　在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.
　
(1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
解法一：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．
解法二：求(k∈N*)的终边位置的方法——等分象限法．
第一步：将四个象限k等分；
第二步：从第一象限开始，依次逆时针在等分后的象限标注Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，直至标完四个象限；
第三步：根据α的象限，标注的象限与α的象限相同的即为所求(k∈N*)的终边所在象限．
(3)表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
考点　　弧度制、扇形的弧长及面积公式
例4　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解　(1)α＝60°＝ rad，
所以l＝αR＝×10＝(cm).
(2)由题意得 (舍去)或
故扇形的圆心角为 rad.
(3)由已知得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为(　　)
A．120 B．240
C．360 D．480
答案　A
解析　∵圆的直径为16步，∴圆的半径为8步，又弧长为30步，∴扇形面积S＝×8×30＝120(平方步).
5.树人中学拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解　(1)由弧长公式及扇环面的周长为30米，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
所以θ＝，x∈(0，10).
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
所以花坛的面积与装饰总费用的比
y＝＝－.
令t＝17＋x，则y＝－－≤，
当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.
所以，当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
　应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的三角形．
(4)扇形中弧所在的弓形的面积等于扇形的面积减去扇形中三角形的面积．
(5)在解决实际问题时，先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案．
考点　　三角函数的定义
例5　已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin αtan α等于(　　)
A．－ B．±
C．－ D．±
答案　C
解析　设O为坐标原点，由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
解法一：当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时，sin αtan α＝－；当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时，sin αtan α＝－.所以sin αtan α＝－.
解法二：由三角函数定义知，cos α＝－，sin α＝y，所以sin αtan α＝sin α·＝＝＝＝－.
例6　若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则cos θ的值为 ．
答案　－
解析　由题意知r＝，∴sin θ＝＝m，∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2，∴cos θ＝＝－.
　6.函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
7．角α的终边在直线y＝－x上，求sin α，cos α，tan α.
解　由题意，得tan α＝－，
当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3，4)，r＝5，
∴sin α＝，cos α＝－，
当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，∴sin α＝－，cos α＝.
　三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
考点　　三角函数定义的应用
例7　若sin θcos θ＜0，＞0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　由＞0，得＞0，所以cos θ＞0.又sin θcos θ＜0，所以sin θ＜0，所以θ为第四象限角．
例8　若θ是第二象限角，则 0(填“>”“<”或“＝”).
答案　<
解析　∵θ是第二象限角，∴－10.∴<0.
　8.若sin x<0，且sin (cos x)>0，则角x是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　∵－1≤cos x≤1，且sin (cos x)>0，
∴09．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋ 0(填“>”“<”或“＝”).
答案　＝
解析　因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限，当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
　判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．
二、核心素养提升
例1　在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α答案　
解析　设点P的坐标为(x，y)，因为tan α例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，的坐标为 ．
答案　(2－sin 2，1－cos 2)
解析　如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－，所以PB＝sin ＝－cos 2，CB＝cos ＝sin 2，所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2，1－cos 2).
课时作业
一、单项选择题
1．下列各角中，与79°角终边相同的是(　　)
A．349° B．379° C．679° D．799°
答案　D
解析　对于A，349°＝360°－11°，故A错误；对于B，379°＝360°＋19°，故B错误；对于C，679°＝360°×2－41°，故C错误；对于D，799°＝2×360°＋79°，故D正确．
2．若角α的终边上一点的坐标为，则与角α终边相同的最大负角为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　A
解析　∵角α的终边过点，∴sin α＝－，cos α＝，∴所求的最大负角为－，故选A.
3．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为(　　)
A．100π B．600π C．200π D．300π
答案　A
解析　莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面的周长为3××20＝20π，故其侧面积为20π×5＝100π.故选A.
4．(2022·杭州第二中学模拟)若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为，半径为1，∴＝α×12，∴α＝.
5．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A．
B．
C.
D．
答案　D
解析　由图知，角α的取值集合为∪＝∪＝.
6．以原点为圆心的单位圆上一点从P(1，0)出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　设单位圆的半径为r，圆弧的弧长为l，则r＝1，l＝，∴对应的圆心角α＝＝＝2π＋.设Q(x，y)，由任意角的三角函数定义，可得x＝cos α＝cos ＝，y＝sin α＝sin ＝，∴点Q的坐标为.
7．已知点P(cos α＋sin α，sin α－cos α)在第三象限，则α的取值范围是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
答案　D
解析　∵P(cos α＋sin α，sin α－cos α)在第三象限，∴∴
∴∴
∴sin α<－，
∴α∈(k∈Z).
8．给出下列命题：①钝角是第二象限角；②小于90°的角是锐角；③第一象限角一定不是负角；④手表时针走过2小时，时针转过的角度为60°；⑤若α＝5，则α是第四象限角．其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　对于①，钝角是大于90°小于180°的角，显然钝角是第二象限角，故①正确；对于②，锐角是大于0°小于90°的角，小于90°的角也可能是负角，故②错误；对于③，－359°显然是第一象限角，故③错误；对于④，时针转过的角是负角，故④错误；对于⑤，因为1 rad≈57.3°，所以5 rad≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角，故⑤正确．故选B.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．如果α是第一象限角，则－α是第四象限角
B．如果α，β是第一象限角，且α<β，则sin αC．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为4，则该扇形的弧长为
答案　AD
解析　对于A，若α为第一象限角，则α∈，k∈Z，所以－α∈，k∈Z，是第四象限角，故A正确；对于B，若α＝，β＝，满足α，β是第一象限角，且α<β，但sin α>sin β，故B错误；对于C，设扇形的半径为r，则r＝π，解得r＝3，所以该扇形的面积S＝××32＝，故C错误；对于D，若圆心角为的扇形的弦长为4，则扇形的半径r＝＝4，所以该扇形的弧长l＝×4＝，故D正确．故选AD.
10．下列说法中正确的是(　　)
A．P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第二象限角
B．若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B<0，则此三角形必为钝角三角形
C．sin 145°cos (－210°)>0
D．sin 3cos 4tan 5>0
答案　ABD
解析　因为P(tan α，cos α)在第三象限，所以则α是第二象限角，故A正确；因为A，B是三角形的内角，且sin A cos B<0，则B∈，所以此三角形必为钝角三角形，故B正确；因为sin 145°cos (－210°)＝－sin 35°·cos 30°<0，故C错误；因为3∈，4∈，5∈，所以sin 3cos 4tan 5>0，故D正确．故选ABD.
三、填空题
11．终边在直线y＝x上的角α的集合是 (用弧度制表示).
答案　
解析　∵角α的终边在直线y＝x上，∴角α的终边在一、三象限的角平分线上，∴α＝kπ＋，k∈Z.
12．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝ ．
答案　－
解析　依题意，得cos α＝＝x<0，由此解得x＝－.
13．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin αcos β<0，则cos αsin β＝ ．
答案　±
解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin αcos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos αsin β＝±.
14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示．是一个以点O为圆心、QT长为直径的半圆，QT＝2 dm，的圆心为P，PQ＝PT＝2 dm.与所围的灰色区域QRTSQ即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为 dm2.
答案　＋
解析　连接PO，因为PQ＝PT，OQ＝OT，所以PO⊥QT，因为sin ∠QPO＝＝，所以∠QPO＝，所以PO＝1，∠QPT＝，所以所求面积为S＝×π×()2－＝ dm2.
四、解答题
15．将下列各角化成β＝α＋k·360°，k∈Z，0°≤α＜360°的形式，并指出它们是第几象限的角：(1)1320°；(2)－315°；(3)1500°；(4)－1610°.
解　(1)1320°＝240°＋360°×3，因为240°角的终边在第三象限，所以1320°是第三象限角．
(2)－315°＝45°＋360°×(－1)，因为45°角的终边在第一象限，所以－315°是第一象限角．
(3)1500°＝60°＋360°×4，因为60°角的终边在第一象限，所以1500°是第一象限角．
(4)－1610°＝190°＋360°×(－5)，因为190°角的终边在第三象限，所以－1610°是第三象限角．
16．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos (sin θ)sin (cos θ)的符号．
解　(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos (sin θ)sin (cos θ)＝cos sin <0；
当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos (sin θ)sin (cos θ)＝cos sin >0.
综上，当a>0时，cos (sin θ)sin (cos θ)的符号为负；当a<0时，cos (sin θ)sin (cos θ)的符号为正．
17．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解　因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，OM＝ON＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长为2×＝，方案二中扇形的弧长为1×＝；
方案一中扇形的面积为××22＝，方案二中扇形的面积为××12＝.
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．

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