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5.3　三角恒等变换
(教师独具内容)
1．根据三角函数的定义，会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，进而利用诱导公式推导出两角和与差的正弦、正切公式．建立相关的六个公式，通过探索、证明和初步应用这六个公式，认识、体会这六个公式的特征及功能．
2．在两角和的正弦、余弦、正切公式的基础上，会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
4．重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考常考的内容，主要是选择题或填空题．本考点是解决三角函数问题的基础，也是三角函数求值的关键．高考通常作为解决三角函数问题的工具渗透在考题中，考查数学运算的核心素养，高考备考注意角的范围，掌握角的变换技巧．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式，利用公式对三角函数式化简与求值．理解三角恒等变换的基本思想，要求学生具有定向思考和逆向思维能力，理解化归思想并能独立分析和解决一些三角问题．
2．高考考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用．命题的关注点在于两角和与差公式以及倍角公式的灵活应用．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
(3)tan (α±β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝．
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝a sinα＋b cos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin (α＋φ)或f(α)＝cos (α－φ).
4．常用结论
(1)公式的常用变式：tan α±tan β＝tan (α±β)·(1 tan αtan β).
(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
(3)升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sin α＝.
(4)常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(2) α∈R，tan 2α＝2tan α.(　　)
(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)
(4)公式a sinx＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
答案　A
解析　∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，∴原式＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　A
解析　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
4．已知α为锐角，且cos ＝，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　∵cos ＝(α为锐角)，∴α＋为锐角，∴sin ＝，∴sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝，故选B.
5．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
答案　ABC
解析　∵sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝sin cos ＋cos ，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，∴B正确；∵cos ＝cos ＝cos cos ＋，∴C正确；∵cos ＝cos ≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.
1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　解法一：因为tan 2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
解法二：因为tan 2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝，因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
2．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　D
解析　∵2tan θ－tan ＝7，∴2tan θ－＝7.令t＝tan θ，t≠1，则2t－＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tan θ＝2.故选D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础知识巩固
考点　　和(差)角公式及倍角公式
例1　已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　因为sin θ＋sin ＝sin ＋sin ＝sin cos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin ＝2sin cos ＝sin ＝1，所以sin ＝.
例2　已知sin α＝，α∈，tan (π－β)＝，则tan (α－β)的值为(　　)
A．－ B． C． D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan (π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan (α－β)＝＝＝－.
例3　已知sin α＝，则cos (π－2α)＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　B
解析　∵sin α＝，∴cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－.
　1.若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A.－ B．－ C． D．
答案　A
解析　∵sin (π－α)＝，∴sin α＝，又≤α≤π，∴cos α＝－＝－，∴sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．若α∈，且sin ＝，则cos ＝ ．
答案　
解析　∵α∈，∴α－∈，又sin ＝，∴cos ＝，则cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.
3．若sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝，则sin 2αcos β＝ ．
答案　
解析　由sin (2α－β)＝，sin (2α＋β)＝，可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝　①，sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝　②.由①＋②得2sin 2αcos β＝，所以sin 2αcos β＝.
　和(差)角公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用和(差)角公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．三角函数公式的应用策略：(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系；(2)使用公式求值时，应先求出相关角相应的函数值，再代入公式求值．
考点　　和(差)角公式及倍角公式的逆用与变形例4　＝ ．
答案　
解析　＝＝＝＝.
例5　化简＝ ．
答案　－1
解析　＝
＝＝－1.
例6　在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝ ．
答案　
解析　由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan (A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
　4.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°·cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案　D
解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin (56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.
5．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ ．
答案　2
解析　tan ＝tan (α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
　和(差)角公式与倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．同时重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．
(2)和(差)角公式的变形
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β).
(3)倍角公式变形：降幂公式．
考点　　利用角的变换求值
例7　若0＜α＜，－π＜β＜－，cos ＝，cos ＝－，则cos ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
答案　D
解析　∵0＜α＜，－π＜β＜－，则＜＋α＜，＜－＜，∴sin ＝
＝，sin＝
＝，∴cos＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.
例8　设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A． B．
C． D．或
答案　C
解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝－，sin β＝，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝.
　6.设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝ ．
答案　
解析　依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝＜sin α且α＋β＞α，所以α＋β∈，所以cos (α＋β)＝－.
于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
7．已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
答案　－
解析　∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝＝＝>0，∴0<α<.又tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
　三角函数求值的关键，观察已知条件与所求式子之间的联系，从三角函数名及角入手．
(1)当所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数．
(2)给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
课时作业
一、单项选择题
1.＝(　　)
A．cos (α＋15°) B．sin (α－15°)
C．tan (α－15°) D．tan (15°＋α)
答案　D
解析　＝tan (15°＋α).
2．在平面直角坐标系中，已知点A(2cos 80°，2sin 80°)，B(2cos 20°，2sin 20°)，那么|AB|＝(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
答案　A
解析　|AB|＝＝
＝＝＝＝2.
3．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos 等于(　　)
A． B．
C．－ D．
答案　A
解析　由题意可得sin α＝，cos α＝，cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成的角记为θ1，θ2)，则tan (θ1－θ2)＝(　　)
A． B．－ C． D．－
答案　D
解析　由题意知tan θ1＝2，tan θ2＝3，所以tan(θ1－θ2)＝＝＝－.
5．已知顶点在原点的锐角α，始边在x轴的非负半轴，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于P，则sin α的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由题意得cos ＝－，∵α为锐角，∴<α＋<，∴sin >0 sin ＝，∴sin α＝sin ＝×－×＝.
6．平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cos ＝，则x0＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　因为2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，所以2kπ＋<α－<2kπ＋(k∈Z)，所以sin ＝－＝－，x0＝cosα＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×＋×＝.
7．已知α，β∈，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，则tan (α＋β)等于(　　)
A． B．－2或
C． D．－2
答案　A
解析　因为α，β∈，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－12，tan αtan β＝10，所以tan (α＋β)＝＝＝.故选A.
8．已知1－sin ＝cos ，则cos2的值为(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　因为1－sin＝cos ，所以1－sin θ－cos θ＝sin θ，所以sin θ＋cos θ＝1，所以sin ＝，所以cos2＝1－sin2＝1－＝.
二、多项选择题
9．已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin＝，cos ＝－，则cos (α＋β)可以为(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　CD
解析　因为α为第一象限角，所以α∈，k∈Z，α＋∈，k∈Z.因为sin ＝<＝sin ，所以α＋是第二象限角，所以cos ＝－.因为β为第三象限角，所以β∈，k∈Z，β－∈，k∈Z，因为cos ＝－，所以β－是第二或第三象限角．当β－是第二象限角时，sin ＝，此时cos (α＋β)＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝；当β－是第三象限角时，sin ＝－，此时cos (α＋β)＝cos ＝coscos －sin sin ＝×－×＝，故选CD.
10．下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A．cos (－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝0
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
答案　BCD
解析　对于A，原式＝cos (30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误；对于B，原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0，B正确；对于C，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，C正确；对于D，原式＝cos 76°·cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
三、填空题
11．化简：cos 15°－cos 75°＝ ．
答案　
解析　cos 15°－cos 75°＝sin 60°cos 15°－cos 60°sin 15°＝sin (60°－15°)＝sin 45°＝.
12．若α，β均为锐角且cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin ＝ ．
答案　
解析　因为α，β均为锐角且cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝＝＝，sin(α＋β)＝＝＝，所以cosβ＝cos (α＋β－α)＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝，所以sin ＝－cos 2β＝1－2cos2β＝1－2×＝.
13．sin347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ ．
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°·sin 77°＝sin (58°＋77°)＝sin 135°＝.
14．已知角α在第四象限，且tan α＝－，则cos 的值是 ．
答案　
解析　∵α在第四象限，∴sin α<0，cos α>0，由tan α＝－，得＝－，与sin2α＋cos2α＝1联立，可得sinα＝－，cos α＝.∴cos ＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝.
四、解答题
15．(1)化简f(α)＝；
(2)已知α∈，β∈，cos ＝，cos ＝.求cos (α＋β)的值．
解　(1)f(α)＝
＝＝
＝sin α.
(2)因为α∈，β∈，
所以＋α∈，β－∈，
又cos ＝，cos ＝，
所以sin ＝＝，sin ＝－＝－，
因此cos (α＋β)＝cos
＝cos cos －sin sin ＝×－×＝.
16．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan (α－β)＝－.
(1)求sin (α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解　(1)∵α，β∈，
∴－＜α－β＜.
又tan (α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0，∴sin (α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos (α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.
17．已知＝－4.
(1)求tan α的值；
(2)若0＜β＜π，且tan (α－β)＝，求β.
解　(1)
＝＝
＝＝－4，解得tan α＝－.
(2)由两角差的正切公式得tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－1.
又因为0＜β＜π，所以β＝.

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