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5．4　三角函数的图象与性质
(教师独具内容)
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在上的性质．
2．重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养．
(教师独具内容)
1．本考点是高考中的一个热点，是历年高考必考内容．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现在解答题中，难度属中、低档题型．常常会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．
2．考查方向主要有三个方面：一是考查三角函数的性质(如单调性、最值、图象与x轴的交点等)；二是考查三角函数的图象，考查根据三角函数的图象确定函数解析式的参数，根据给出的情境确定三角函数的图象等问题；三是考查三角函数的图象变换，根据给出的两个三角函数的图象确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值等问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2．五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑).
3．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
单调性 单调递增区间：，k∈Z；单调递减区间：，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z；单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递增区间：，k∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
续表
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
对称性 对称中心：(kπ，0)，k∈Z 对称中心：，k∈Z 对称中心：，k∈Z
对称轴： x＝kπ＋，k∈Z 对称轴：x＝kπ，k∈Z
周期性 2π 2π π
4．常用结论
(1)对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
y＝A sin (ωx＋φ)的周期为；y＝A tan (ωx＋φ)的周期为．
(2)与三角函数的奇偶性相关的结论
①若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z).
②若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z).
③若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(2)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(3)y＝sin |x|是偶函数．(　　)
(4)由sin ＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan 2x的定义域为.
3．下列关于函数y＝4cos x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
答案　A
解析　y＝4cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
4．y＝sin 的单调递减区间是 ．
答案　(k∈Z)
解析　由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
5．函数y＝3－2cos 的最大值为 ，此时x＝ ．
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A.
2．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
答案　C
解析　f(x)＝sin ＋cos ＝sin ，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝6π，最大值为，故选C.
一、基础知识巩固
考点　　三角函数的定义域、值域(最值)
例1　函数y＝lg (sin x)＋的定义域为 ．
答案　
解析　要使函数有意义，则即解得所以2kπ例2　当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为 ．
答案　
解析　因为x∈，所以sinx∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2＋，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
例3　函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为 ．
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，∴sin ∈，故3sin ∈，∴函数f(x)在区间上的值域为.
例4　(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是 ．
答案　－
解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4(cos x＋1)，所以当－1≤cosx≤时函数单调递减，当≤cos x≤1时函数单调递增，从而得到函数的减区间为(k∈Z)，函数的增区间为(k∈Z)，所以当x＝2kπ－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值，此时sin x＝－，sin 2x＝－，所以f(x)min＝2×－＝－.
　1.函数y＝的定义域为 ．
答案　
解析　解法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x的取值范围为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
解法二：sin x－cos x＝sin ≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).所以定义域为.
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为 ．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－， ].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数的值域为.
　
1．求三角函数的定义域的实质：解简单的三角不等式，常借助三角函数的图象求解．
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点　　三角函数的单调性
例5　(2022·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　解法一：因为f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.
解法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.
例6　(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m可取(　　)
A． B． C． D．π
答案　AC
解析　因为函数f(x)＝sin2x＋2sin2x－1＝sin2x－cos 2x＝sin ，当x∈[0，m]时，2x－∈，函数f(x)单调递增，所以2m－≤，求得0例7　函数y＝sin 的单调递减区间为 ．
答案　，k∈Z
解析　函数y＝sin ＝－sin 的单调递减区间是函数y＝sin 的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例8　函数y＝|tan x|的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
答案　，k∈Z　，k∈Z
解析　作出函数y＝|tan x|的图象，如图所示．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
　3.函数y＝logcos 的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
答案　B
解析　y＝logcos ＝log (－sin 2x)，由－sin 2x>0得sin 2x<0，即2kπ－π<2x<2kπ，k∈Z，即kπ－4．已知ω>0，函数f(x)＝sin 在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(0，2]
答案　A
解析　由≤x≤π，得ω＋≤ωx＋≤πω＋.因为函数f(x)在区间上单调递减，所以π－≤， (k∈Z)，
即得≤ω≤.
　
1．已知三角函数解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
2．已知单调区间求参数的两种方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集；或由已知区间求出ωx＋φ的范围，则该范围是正、余弦函数相应单调区间的子集，然后列不等式(组)求解
周期法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
另外，若是选择题则利用特值验证排除法求解更为简捷．
考点　　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例9　已知函数y＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A.0 B．－ C． D．π
答案　B
解析　由y＝sin 是奇函数，得＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，得φ＝－，故选B.
例10　(多选)已知函数f(x)＝sin x cos x＋(1－2sin2x)，则下列有关函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最大值为
答案　AB
解析　由题可知f(x)＝sin2x＋cos 2x＝sin .当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误．故选AB.
　5.已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
答案　B
解析　因为函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为4π，即T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin .令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z).令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
6．(多选)(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案　ABC
解析　由题意，可得f(x)＝－cos x，T＝＝2π，故A正确；y＝cos x在上是减函数，所以f(x)在区间上是增函数，故B正确；f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．
　
1．三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(y＝A cos (ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
2．有关周期的两个结论
(1)函数y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|，y＝|A tan (ωx＋φ)|的周期均为T＝.
(2)函数y＝|A sin (ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|A cos (ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝.
3．三角函数的奇偶性一般转化为对称性求解．
4．三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x的图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即为对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即为对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y＝A cos (ωx＋φ)，y＝A tan (ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝A tan (ωx＋φ)的图象无对称轴).
因为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否为函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断，解选择题经常用这种方法．即f(x0)＝±A x＝x0是函数f(x)图象的对称轴方程；f(x0)＝0 点(x0，0)是函数f(x)图象的对称中心.
考点　　三角恒等变换的综合应用
例11　已知函数f(x)＝cos x＋sin x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的值域和单调递增区间．
解　(1)因为f(x)＝cos x＋sin x＋1，
所以f(x)＝2sin ＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝2π.
(2)因为sin ∈[－1，1]，
所以2sin ＋1∈[－1，3]，即f(x)的值域为[－1，3].
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
例12　已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan 的值．
解　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x＝cos 2x sin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin ，
∴函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，∴sin ＝1.
又α∈(0，π)，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.因此tan ＝＝＝2－.
　7.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(3)设g(x)＝f(cx)(c>0)，若g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间(2π，3π)，求c的取值范围．
解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
又－≤φ≤，所以φ＝－.
综上，ω＝2，φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin ，
当x∈时，－≤2x－≤，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－.
(3)由题意，得g(x)＝f(cx)＝sin ，
因为g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间(2π，3π)，
所以·≥π，即0令2cx－＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z.
若g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(2π，3π)，则2π<＋<3π，
解得＋当k＝0时，故c的取值范围为∪∪.
8.(2021·郑州模拟)如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
解　设∠PAB＝α，连接PB.因为AB是直径，所以∠APB＝90°.
又AB＝1，所以PA＝cos α，PB＝sin α.
因为PC是切线，所以∠BPC＝α.又PC＝1，
所以S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC＝PA·PB＋PB·PC sin α＝cos αsin α＋sin2α
＝sin2α＋(1－cos 2α)＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin ＋，
由已知sin ＋＝，所以sin ＝，又α∈，
所以2α－∈，
所以2α－＝，所以α＝，
故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于.
　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
第一步：将f(x)化为a sin ωx＋b cos ωx的形式；
第二步：构造f(x)＝·sin ωx＋·cos ωx；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin (ωx＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin (ωx＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
二、核心素养提升
例1　(多选)(2021·沈阳模拟)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论，正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
答案　AD
解析　对于A，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；对于B，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，故B错误；对于C，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.又f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故C错误；对于D，∵sin |x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，当x＝＋2kπ(k≥0，k∈Z)或x＝－＋2kπ(k≤0，k∈Z)时，f(x)取得最大值2，故D正确．
例2　(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
答案　D
解析　已知f(x)＝sin (ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，则2π∈[a，b)，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在单调递增，所以③正确．故选D.
例3　(2020·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　D
解析　当－π＜x＜0时，sin x＜0，f(x)＝sin x＋＜0，故A错误；f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝－sin x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故B错误；∵f(2π－x)＝－sin x－≠f(x)，f(π－x)＝sin x＋＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C错误，D正确．故选D.
课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．函数y＝|2sin x|的最小正周期为(　　)
A．π B．2π
C． D．
答案　A
解析　作出函数y＝|2sin x|的大致图象，由图象知T＝π.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　由题意知2cos 2x＋1≥0，即cos 2x≥－.∴2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故选D.
3．函数f(x)＝tan 的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
答案　B
解析　由kπ－<2x－4．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
答案　D
解析　由题意得所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．f(x)＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是最值，所以图象不关于直线x＝对称，A不符合题意；f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称，B不符合题意；f(x)＝sin x的周期为2π，C不符合题意；f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为最大值，所以D符合题意．故选D.
5．(2022·陕西西安中学月考)函数f(x)＝2sin (2x＋φ)＋2(φ>0)的一个对称中心为，则φ的最小值为(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　由题知2sin ＋2＝2，则sin ＝0，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z).因为φ>0，所以φ的最小值为，故选A.
6．已知函数f(x)＝sin 的最小正周期为π，若f(x1)f(x2)＝－2，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A． B． C．π D．
答案　A
解析　函数f(x)＝sin 的最小正周期为π，若f(x1)f(x2)＝－2，则f(x1)＝，f(x2)＝－或f(x1)＝－，f(x2)＝，则|x1－x2|的最小值为半个周期，故选A.
7．当x＝时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
答案　D
解析　因为当x＝时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝A sin (A>0)，所以y＝f＝A sin ＝－A cos x，所以函数y＝f为偶函数且图象关于点对称，故选D.
8．(2021·四川遂宁模拟)已知ω>，函数f(x)＝sin 在区间内没有最值，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　解法一：因为＜x＜，所以πω＋＜2ωx＋＜3ωπ＋，因为f(x)在区间内无最值，所以k∈Z，解得＋k≤ω≤＋，k∈Z，由ω＞得＋＞，所以k＞－1，由＋k≤＋，解得k≤，所以k＝0，所以≤ω≤.故选C.
解法二：根据选项，当ω＝时，f(x)＝sin .因为x∈，所以x＋∈，当x＋＝时，f(x)取得最值，不符合题意，排除A；当ω＝时，f(x)＝sin ，因为x∈，所以x＋∈，函数没有最值，符合题意，B，D均未包含ω＝，不符合题意，排除B，D.故选C.
二、多项选择题
9．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |4x| D．f(x)＝sin |x|
答案　AC
解析　作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图所示．
由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减．f(x)＝cos |4x|的周期为，且在上单调递增．f(x)＝sin |x|不是周期函数．故选AC.
10．(2022·福州模拟)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，直线x＝，x＝是f(x)的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是(　　)
A.函数y＝f为偶函数
B．f(x)的图象的一个对称中心为
C．f(x)在区间上有2个零点
D．f(x)在区间上为单调函数
答案　ABC
解析　由题意，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).因为直线x＝是函数f(x)图象的对称轴，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin (k∈Z).对于A，f＝sin ＝cos (2x＋kπ)，为偶函数，故A正确；对于B，f＝sin ＝sin kπ＝0，所以点为函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝0或2x－＝π，即x＝或x＝时，f(x)＝0，所以函数f(x)在上有2个零点，故C正确；对于D，当x∈时，2x－＋kπ∈(k∈Z)，所以函数f(x)在上有增有减，故D不正确．故选ABC.
11．已知函数f(x)＝sin x sin －的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是(　　)
A． B． C． D．
答案　CD
解析　f(x)＝sin x sin －＝sin x·－＝sin2x＋sinx cos x－＝(1－cos 2x)＋sin 2x－＝＝sin .作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题．
易得或满足题意，所以n－m的值可能为区间内的任意实数．所以选项A，B可能，选项C，D不可能．
12．(2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝sin ，则(　　)
A．函数y＝|f(x)|的最小正周期为π
B．直线x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴
C．y＝f(x)＋f的值域为
D．若ω>0时，f(ωx)在区间上单调，则ω的取值范围是
答案　BC
解析　对于A，y＝的最小正周期T＝，所以A错误；对于B，因为f＝sin ＝sin ＝－1，所以直线x＝是函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴，所以B正确；对于C，y＝sin ＋sin ＝sin ＋sin 4x＝(sin 2x＋cos 2x)＋2sin 2x cos 2x，令t＝sin 2x＋cos 2x，即t＝sin ，则t∈[－，]，2sin 2x cos 2x＝t2－1，所以y＝t＋t2－1＝t2＋t－1，t∈[－，]，该函数图象的对称轴为直线t＝－，所以当t＝－时，ymin＝－，当t＝时，ymax＝2，所以函数y＝f(x)＋f的值域为，所以C正确；对于D，f(ωx)＝sin ，ω>0，则f(ωx)的最小正周期T＝＝，因为f(ωx)在区间上单调，所以π－≤＝，则0<ω≤1，若x∈，则2ωx＋∈，且<ωπ＋≤，<2ωπ＋≤.若f(ωx)在区间上单调递增，则则0<ω≤；若f(ωx)在区间上单调递减，则解得≤ω≤.综上，0<ω≤或≤ω≤，所以D错误．故选BC.
三、填空题
13．函数f(x)＝cos 在[0，π]上的零点个数为 ．
答案　3
解析　因为0≤x≤π，所以≤3x＋≤.由题意可知3x＋＝或或，解得x＝或或，故有3个零点．
14．函数f(x)＝cos (3x－θ)－sin (3x－θ)是奇函数，则tan θ等于 ．
答案　－
解析　f(x)＝cos (3x－θ)－sin (3x－θ)＝2sin ＝－2sin ，因为函数f(x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tan θ＝tan ＝－.
15．若x＝是函数f(x)＝sin (x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为 ．
答案　π
解析　依题意知f＝sin ＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z.又因为0＜ω＜10，所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1.而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，所以f(x)＝sin ，最小正周期为π.
16．设定义在R上的函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，给出以下四个论断：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p q”的形式) (用到的论断都用序号表示).
答案　①④ ②③或①③ ②④
解析　若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin (2x＋φ).同时，若f(x)的图象关于直线x＝对称，则sin ＝±1.又－＜φ＜，所以2×＋φ＝，所以φ＝，此时f(x)＝sin ，若x∈，则2x＋∈，此时f(x)为增函数．f＝sin ＝0，故f(x)关于对称，所以②③成立．故①④ ②③.若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin (2x＋φ).同时，若f(x)的图象关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z.又－＜φ＜，所以φ＝，此时f(x)＝sin ，若x∈，则2x＋∈，此时f(x)为增函数．f＝sin ＝1，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以②④成立．故①③ ②④.
四、解答题
17．已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？若存在，求出其对称轴；若不存在，请说明理由．
解　(1)由T＝2，知＝2，解得ω＝π.
∵当x＝时，f(x)max＝2，∴A＝2，
且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z).
∴f(x)＝2sin ＝2sin .
(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝k＋(k∈Z).
由≤k＋≤，得≤k≤，
又k∈Z，∴k＝5.
故在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
18．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin ＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin ＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin ≤1.
依题意知a≠0，
①当a＞0时，
∴a＝3－3，b＝5；
②当a＜0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

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