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5.5　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(教师独具内容)
1．体会从函数y＝sin x的图象到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的变换过程：先分别考察参数φ，ω，A对函数图象的影响，然后对y＝A sin (ωx＋φ)的图象整体考察．这样借助具体函数图象的变化，领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归数学思想，培养学生观察、归纳、类比、联想等数学思想方法．通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用．
2．了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题，主要以选择题或填空题的形式考查．命题的重点是考查三角函数的图象和最值的相关问题，考查函数图象的变换，根据给出的两个函数图象确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题．
2．考查方向主要是：
(1)根据函数的图象确定函数的解析式，难点在于φ的确定，掌握两种方法，熟练应用；
(2)三角函数模型的简单应用与实际问题相结合，对于生活中出现周期性的函数模型想到采用三角函数模型来描述．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
注：五点法作图的步骤：用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
注：(1)两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
(3)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知函数f(x)＝sin 2x，要得到函数g(x)＝sin 的图象，只需将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　B
3．函数y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π， B．2，，
C．2，，－ D．2，4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为 ．
答案　y＝10sin ＋20，x∈[6，14]
解析　从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，又×＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin ＋20，x∈[6，14].
5．已知简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为 ．
答案　
解析　将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f(x)＝sin 的图象．
2．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ ．
答案　－
解析　解法一(五点作图法)：由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝±2.当ω＝2时，f(x)＝2cos (2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，则f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－；当ω＝－2时，f(x)＝2cos (－2x＋φ)＝2cos (2x－φ).同理可得，φ＝，则f(x)＝2cos ，所以f＝－.综上，f＝－.
解法二(代点法)：由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝±2.当ω＝2时，因为点在函数f(x)的图象上，所以2cos ＝2，所以2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，令k＝1，则φ＝－，所以f(x)＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－；当ω＝－2时，f(x)＝2cos (－2x＋φ)＝2cos (2x－φ).同理可得，φ＝，所以f(x)＝2cos ，所以f＝－.综上，f＝－.
解法三(平移法)：由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝±2.当ω＝2时，f(x)＝2cos (2x＋φ)；当ω＝－2时，f(x)＝2cos (－2x＋φ)＝2cos (2x－φ)．函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos (2x±φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f(x)＝2cos (2x±φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移－＝个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos (2x±φ)＝2cos 2＝2cos ，所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
一、基础知识巩固
考点　　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及其变换例1　把函数f(x)＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)＝2sin 的图象，则m的最小值是(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　把函数f(x)＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位，得到g(x)＝2cos ＝2cos 的图象，g(x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ＝2cos ，由2m－＝－＋2kπ，k∈Z，得m＝－＋kπ，k∈Z，∵m>0，∴当k＝1时，m最小，此时m＝π－＝.
例2　已知函数f(x)＝4cos x sin ＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
解　(1)f(x)＝4cos x sin ＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin ＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin ，列表：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x)＝2sin 1 2 0 －2 0 1
图象如图所示：
　1.(2021·广州测试)由y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　A
解析　由y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin ＝2sin ＝2sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin ，故选A.
2．(多选)已知曲线C1：y＝3sin x，C2：y＝3sin ，则下列结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2
D．把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2
答案　AC
解析　由C1：y＝3sin x变换到C2：y＝3sin ，若先伸缩后平移，则把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.若先平移后伸缩，则把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2.故选AC.
　
1．y＝A sin (ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
注意：(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向．
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝A sin x到y＝A sin (x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝A sin ωx到y＝A sin (ωx＋φ)时，变换量是个单位．
考点　　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式例3　(2022·蓉城名校联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x
D．g(x)＝sin
答案　C
解析　根据题图有A＝1，T＝－＝ T＝π＝ ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，由f＝sin ＝1 sin ＝1 ＋φ＝＋2kπ，k∈Z φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin ，将f(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin ＝sin 2x.故选C.
例4　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ．
答案　f(x)＝sin
解析　解法一：由题图知A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，所以2×＋φ＝π，即φ＝，所以f(x)＝sin .
解法二：由题图知A＝，以为第二个零点，为最小值点，列方程组
解得所以f(x)＝sin .
　3.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
答案　D
解析　由题图得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝.所以f(x)＝2sin .由函数的对称性得f(2)＝－2，即f(2)＝2sin ＝－2，即sin ＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z).因为|φ|＜π，所以k＝0，φ＝－.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin .
4．(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋4φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
B.函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin
C．函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－
D．函数g(x)在区间上单调递增
答案　ABD
解析　由题图可知，A＝2，＝π，所以T＝4π＝，解得ω＝，故f(x)＝2sin .因为图象过点C(0，1)，所以1＝2sin 4φ，即sin 4φ＝.因为0<φ<，所以0<4φ<，所以4φ＝，故f(x)＝2sin ，故A正确；将f(x)的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到函数y＝2sin 的图象，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＝2sin 的图象，故B正确；当x＝－时，f＝2sin 0＝0，即x＝－时，f(x)不取最值，故直线x＝－不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C错误；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z)，当k＝1时，g(x)在区间上单调递增，故D正确．故选ABD.
　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ常用的方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
考点　　三角函数图象、性质的综合应用
例5　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1).
例6　已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．
解　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin .
(2)将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)＝sin ＝sin 的图象，
根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin ＝0，即sin ＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因为m＞0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)＝sin .
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在上的单调递增区间是和.
　5.若函数f(x)＝sin (ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为 ．
答案　π
解析　因为f(0)＝f，且f(x)在上有且只有一个零点，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z).由f(x)在上有且只有一个零点，得－<≤－，所以6．(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝A sin (A>0，ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y＝sin 的图象平移得到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
解　(1)函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③.理由如下：
由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数f(x)＝A sin 满足的条件之一，
由③可知，T＝π，所以ω＝2，故②不符合题意．
所以函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③.
由①可知A＝2，所以f(x)＝2sin .
(2)因为f(x)＋1＝0，
所以sin ＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，π]，
所以x的取值为－，，－，，
所以方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.
　三角函数图象与性质综合问题的求解思路
(1)将函数整理成y＝A sin (ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一个整体；
(3)借助正弦函数y＝sin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
考点　　三角函数的实际应用
例7　摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．
解　(1)由题意可知H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，
得解得A＝40，B＝50.
又函数周期为30，ω＝＝，
所以H(t)＝40sin ＋50(0≤t≤30)，
又t＝0时，H(t)＝10，所以10＝40sin ＋50，即sin φ＝－1，φ可取－，
所以H(t)＝40sin ＋50＝－40cos t＋50(0≤t≤30).
(2)H(t)＝－40cos t＋50＝30，cos t＝，解得t＝5或t＝25，
所以游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟后，距离地面的高度恰好为30米．
(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为分钟，游客甲、乙中间相隔5个座舱，
则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了t(5≤t≤30)分钟，则游客乙在摩天轮上坐了t－5分钟，
所以高度差为
h＝－40cos t＋50－＝－40
＝－40
＝－40cos ，
因为5≤t≤30，所以≤t＋≤，
当t＋＝π，即t＝10时，h取得最大值40.
例8　(2021·山东省八所重点中学联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
解　(1)连接AB，OA，OB(图略)，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝－，所以在△AOB中，∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以在△AOB中，由余弦定理得AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin ，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin －2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos ，
即函数关系式为y＝cos (t>0)，
当t∈时，2t＋∈，
所以cos ∈，
故当t∈时，y∈.
　7.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cos t－sin t，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解　(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin ，又0≤t<24，
所以≤t＋<，
所以－1≤sin ≤1.
当t＝2时，sin ＝1；
当t＝14时，sin ＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin ，
故有10－2sin >11，
即sin <－.
又0≤t<24，因此所以108.如图所示，某幼儿园有一个矩形游乐场ABCD，其中AB＝50米，BC＝40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A，B，C，D四个点分别在矩形EFGH的四条边(不含顶点)上．设∠BAE＝θ(弧度)，EF的长为y米．
(1)求y关于θ的函数表达式；
(2)求矩形区域EFGH的面积S的最大值．
解　(1)由∠BAE＝θ，∠E＝，得
∠ABE＝－θ，
又∠ABC＝，所以∠CBF＝θ，
由AB＝50米，BC＝40米，得
EF＝EB＋BF＝50sin θ＋40cos θ(米)，
即y＝50sin θ＋40cos θ.
(2)由(1)知，EF＝50sin θ＋40cos θ(米)，
GF＝CF＋CG＝40sin θ＋50cos θ(米)，
所以S＝(50sin θ＋40cos θ)(40sin θ＋50cos θ)＝2000＋4100sin θcos θ
＝2000＋2050sin 2θ，
当θ＝时，S取得最大值，且最大值为4050平方米．
　三角函数模型的应用策略
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
(2)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
二、核心素养提升
例1　为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π B．
C． D．100π
答案　B
解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥.
例2　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．5
答案　B
解析　依题意，有(m，n∈Z)，∴又|φ|≤，∴m＋n＝0或m＋n＝－1.由f(x)在上单调，得≥－，∴ω≤12.当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝，取n＝2，得ω＝9，f(x)＝sin 符合题意；当m＋n＝－1时，φ＝－，ω＝4n＋3，取n＝2，得ω＝11，f(x)＝sin ，此时，当x∈时，11x－∈，f(x)不单调，不符合题意．故选B.
例3　若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是 ．
答案　
解析　解法一：因为x∈(ω＞0)，所以ωx∈，因为f(x)＝2sin ωx在上是增函数，所以故0＜ω≤.
解法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的图象如图所示．
要使f(x)在上是增函数，需所以0＜ω≤.
解法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得－＋≤x≤＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，由题意 (k∈Z，ω＞0)，从而有即0＜ω≤.
1．解决三角函数的周期T与ω的关系这类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
2．根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．
课时作业
一、单项选择题
1．函数y＝sin 在区间上的简图是(　　)
答案　A
解析　令x＝0得y＝sin ＝－，排除B，D；由f＝0，f＝0，排除C.故选A.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－ B． C．1 D．
答案　D
解析　由题意可知该函数的周期为，∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.∴f＝tan ＝.
3．(2021·张家口模拟)要得到函数f(x)＝cos 的图象，可将函数g(x)＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　B
解析　f(x)＝cos ＝sin ＝sin ＝sin ，因此只需将函数g(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，故选B.
4.(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝a sin ωx＋a cos ωx(a＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则实数a，ω的值分别为(　　)
A．a＝2，ω＝2 B．a＝2，ω＝1
C．a＝2，ω＝ D．a＝2，ω＝
答案　C
解析　由f(0)＝2得a＝2，则f(x)＝2sin ωx＋2cos ωx＝2sin .由f(0)＝f及结合图形知，函数f(x)在x＝处取得最大值，∴ω＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝12k＋，k∈Z.∵＞，即＞，∴0＜ω＜3，∴ω＝，故选C.
5．(2022·石家庄检测)若ω>0，函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y＝cos ＝cos ，其图象与函数y＝sin ωx＝cos ，k∈Z的图象重合，∴－＋2kπ＝－＋，k∈Z，即ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，∴ω的最小值为，故选B.
6.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为，最大值为2
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称
C．函数f(x)的最小正周期为，图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上单调递减
答案　D
解析　对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin (3x＋φ)，又由g＝2，可得3×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.所以g(x)＝2sin ，所以f(x)＝2sin .所以f(x)的最小正周期为π，A，C错误；对于B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以B错误；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在区间上单调递减，所以D正确．
7．已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)(ω＞0).在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为，故选C.
8．若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为3π，则ω的值为(　　)
A． B． C． D．2
答案　A
解析　因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin ，所以f(x)的最大值为2，因为f(x1)＝2，f(x2)＝0，|x1－x2|的最小值为3π，所以f(x)的最小正周期为T＝12π，由周期公式得T＝＝12π，因为ω＞0，所以ω＝.
二、多项选择题
9．由函数f(x)＝sin x的图象得到函数g(x)＝cos 的图象的过程中，下列表述正确的是(　　)
A．先将f(x)＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B.先将f(x)＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．先将f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
D．先将f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
答案　AC
解析　因为g(x)＝cos ＝sin ＝sin ，
解法一：先将f(x)＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象，再向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin 的图象．
解法二：先将f(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象．
10．将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．函数g(x)的最大值为，且其图象关于直线x＝－对称
B．函数g(x)的图象关于y轴对称
C．函数g(x)的最小正周期为π
D．函数g(x)的图象关于点中心对称
答案　BCD
解析　将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos －1＝cos (2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x的图象．对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；函数g(x)的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点中心对称，故D正确．
11．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋h，若函数y＝|f(x)|的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的结论中，正确的是(　　)
A.A＝2
B．φ＝
C．图象的对称中心为，k∈Z
D．在区间上单调递增
答案　AC
解析　根据题图，可知2A＝3＋1，h＝1，∴A＝2.＝－，∴T＝2π，ω＝＝1.∴f(x)＝2cos (x＋φ)＋1.根据题图，∵|φ|＜，∴点为五点作图法的第一个点，∴＋φ＝0，∴φ＝－.∴f(x)＝2cos ＋1，∴图象的对称中心为，k∈Z，在区间上单调递减．故选AC.
12．(2022·青岛质量检测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＋f＝0，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间(k∈Z)上单调递增
C．f(x)在区间上的最小值为－
D．将g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝f的图象
答案　ABD
解析　因为f(0)＝－，f(0)＋f＝0，所以f＝sin ＝，所以－＝＋2k1π或－＝＋2k1π(k1∈Z)，所以ω＝＋4k1或ω＝2＋4k1(k1∈Z)，当x∈时，因为ω>0，所以ωx－∈，要使f(x)在上有且只有三个极值点，需<－≤，即<ω≤.综上，ω＝6，所以f(x)＝sin ，其最小正周期为，A正确；令2k2π－≤6x－≤＋2k2π，k2∈Z，则－≤x≤＋，k2∈Z，所以f(x)在区间(k2∈Z)上单调递增，B正确；当x∈时，6x－∈，因为sin ＝－，sin＝－，所以f(x)在区间上的最小值为－，C错误；将g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝sin ＝f的图象，D正确．故选ABD.
三、填空题
13．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ．
答案　y＝sin
14．(2022·无锡模拟)若函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝ ．
答案　
解析　把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象．由题意知cos (2x－π＋φ)＝sin ，即sin ＝sin ，由0＜φ＜π知φ－＝－，即φ＝.
15.已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f(x)的单调递增区间为 ．
答案　2　(k∈Z)
解析　由图象知＝－＝，则最小正周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin (2x＋φ).由2×＋φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝2sin .令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
16．一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
(1)当t＝5 s时，点P离水面的高度为 m；
(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为 ．
答案　(1)2＋2　(2)h(t)＝4sin ＋2(t≥0)
解析　(1)t＝5 s时，水轮转过的角度为×5＝，即点P转到点A处，过点P0，A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴∠MOP0＝.在Rt△AON中，∠AON＝，∴AN＝4×sin ＝2，此时点P离水面的高度为(2＋2)m.
(2)由题意可知，点P转动的角速度为ω＝＝ rad/s，由条件可设h(t)＝4sin ＋2.由h(0)＝0，得4sin φ＋2＝0，∴φ＝－，∴所求函数的表达式为h(t)＝4sin ＋2(t≥0).
四、解答题
17．函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式和当x∈[0，π]时f(x)的单调递减区间；
(2)f(x)的图象向右平行移动个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象，用“五点法”作出g(x)在[0，π]内的大致图象．
解　(1)因为函数f(x)的最大值是3，
所以A＋1＝3，即A＝2.
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.
所以f(x)＝2sin ＋1，
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递减区间为.
(2)依题意得g(x)＝f－1＝2sin ，
列表如下：
x 0 π
2x－ － 0 π
f(x) － 0 2 0 －2 －
描点(0，－)，，，，，(π，－)，连线得g(x)在[0，π]内的大致图象如图．
18．(2022·沈阳模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间；
(2)把函数y＝f(x)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求关于x的方程g(x)＝m(0解　(1)由题中图象知，A＝2，最小正周期T＝－＝π，所以ω＝＝2.
因为点在函数图象上，
所以2sin ＝0，
即sin ＝0.
又因为－<φ<，
所以－<φ－<，
所以φ－＝0，从而φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin .
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)依题意得g(x)＝2sin .
因为g(x)＝2sin 的最小正周期T＝2π，
所以g(x)＝2sin 在x∈内有2个周期．
令x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
即函数g(x)＝2sin 的图象的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z).
由x∈，得x＋∈[0，4π].
又0将实数根从小到大依次设为xi(i＝1，2，3，4)，则＝，＝.
所以关于x的方程g(x)＝m(019.(2021·聊城模拟)将函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．已知g(x)的部分图象如图所示，且＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数h(x)＝f(x)＋g，求h(x)在上的值域．
解　(1)由题可知，g(x)＝A sin .
由图可知，A＝2.
因为＝4，所以MN＝×＝.
则T＝＝ ω＝8，
因为g＝2sin ＝2sin φ＝2，0<φ<π，所以φ＝.
故f(x)＝2sin ＝2cos 8x.
(2)由(1)知g(x)＝2sin ，则h(x)＝2cos 8x＋2sin ＝2cos 8x＋sin 8x－cos 8x＝2sin .
因为－≤x≤，
所以－≤8x＋≤，
所以－≤sin ≤1，
故－≤h(x)＝2sin ≤2，
则h(x)的值域为[－，2].
20．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F.
(1)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解　(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝，
将B代入y＝sin 中，
得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z).
因为|φ|<，所以φ＝－，
故y＝sin .
(2)在y＝sin 中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，
则P，
所以矩形PMFE的面积为S＝×＝，即儿童乐园的面积为.

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