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9．2　向量运算
9．2.1　向量的加减法
　向量的加法
学习指导 核心素养
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义．2.掌握向量加法的交换律和结合律，会利用它们进行计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会利用它们解决实际问题． 1.数学抽象、直观想象：向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则和三角形法则．2.数学运算：向量加法的运算．
1．向量加法的定义及运算法则
定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法
法则 三角形法则 前提 已知向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b
结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形
平行四边形法则 前提 任意两个不共线的非零向量a，b
作法 作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作 OABC
结论 以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
图形
规定 零向量与任一向量a的和都有a＋00a＝a
向量加法的三角形法则和平行四边形法则使用的条件是否相同？
提示：两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的非零向量求和．
2．向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(　　)
(4)在矩形ABCD中，＋＝＋.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)
A．＝　　 B．＋＝
C．＝＋ D．＋＝0
答案：C
3.如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝(　　)
A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B
4．在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝__________．
答案：
探究点1　平面向量加法及其几何意义
　如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c.
【解】　利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作＝a，以A为起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作＝a，＝b，＝c，以，为邻边作 OADB，则＝a＋b，再以，为邻边作 ODEC，则＝＋＝a＋b＋c.
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．　
如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1).
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2).
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3).
探究点2　平面向量的加法运算
化简：(1)(＋)＋(＋).
(2)＋(＋)＋.
【解】　(1)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(2)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0.
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．　
　如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
探究点3　向量加法的实际应用
　某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解】　如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作 OACB，则此人的实际速度为＋＝.
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．　
　如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移和的长度．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，所以∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)，
所以飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的长度为800 km.
1．化简＋＋＋的结果等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．＋＋＋＝＋0.
2．已知正六边形ABCDEF，则＋＋＝(　　)
A．0 B．
C． D．
解析：选B．如图所示，
则＝，所以＋＋＝＋＋＝，故选B．
3．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D．因为＝＋，根据向量的三角形法则，有＝＋，则可知＝，故四边形ABCD为平行四边形．
4．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
[A　基础达标]
1.＋＋化简后等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．＋＋＝＋＋＋＋
＝＋＝，故选C．
2．下列向量的运算结果为零向量的是(　　)
A．＋
B．＋＋
C．＋＋＋
D．＋＋＋
解析：选C．对于A，＋＝＋＝；
对于B，＋＋＝＋＋＝；
对于C，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；
对于D，＋＋＋＝(＋＋)＋＝0＋＝.
综上所述，只有C符合题意．
故选C．
3．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，则＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．＋＋＝＋＝.故选B．
4．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　)
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．<＋
解析：选AC．由题意，向量a＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由＝，＋＝，所以＝＋，所以D不正确．故选AC．
5．(多选)(2021·江苏苏州市星海实验中学高一月考)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　)
A．＋＝
B．＋＋＝
C．＋＋＝
D．＋＋＝0
解析：选ACD．由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD．
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．
又因为||＝1，所以||＝1，
所以|＋|＝||＝1.
答案：1
7．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为________，方向为____________．
解析：以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，
即＋＝，
则∠OAC＝60°，
||＝24，||＝||＝12，
所以∠ACO＝90°，所以||＝12.
所以F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．
答案：12 N　竖直向上
8．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
解析：如图，设小船实际航行速度为v0，则v0＝v1＋v2，设船在静水中的速度为＝10 km/h，河水的流速为＝10 km/h,
因为v1⊥v2，所以2＋2＝2，得(10)2＋102＝2，
所以＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
答案：20
9．作五边形ABCDE，并作出下列各题中的和向量：
(1)＋；
(2)＋＋＋.
解：五边形ABCDE如图所示：
(1)＋＝.如图所示．
(2)＋＋＋＝＋＋＝.如图所示．
10.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
证明：因为＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，所以＋＝＋.
[B　能力提升]
11．已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解析：选B．因为＋是以，为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设为D，则＋＝2，所以2＋＝0.所以||＝||.故点O为△ABC的重心．
12．(多选)在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　)
A．a＋b＝c　　　　 B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．＝
解析：选ABD．由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；
由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M(异于点O)满足＋OPi＋OPj＝0(其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*)，则满足以上条件的点M的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D．分以下两种情况讨论：
①若点M在x轴上，则Pi、Pj关于x轴对称，
由图可知，P1与P8、P2与P7、P3与P6、P4与P5关于x轴对称，
此时，符合条件的点M有4个；
②若点M在y轴上，则Pi、Pj(1≤i，j≤8，i，j∈N*)关于y轴对称，
由图可知，P1与P4、P2与P3、P5与P8、P6与P7关于y轴对称，
此时，符合条件的点M有4个．
综上所述，满足题中条件的点M的个数为8.
故选D．
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________．
解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.因为＝＝，所以CE∥AD，且CE＝AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以＝，所以＋＝＋＝，所以|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
答案：8
[C　拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解：如图，作 OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300 N.
所以||＝||cos 30°＝150 (N)，||＝||cos 60°＝150(N).
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．

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