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　向量的减法
学习指导 核心素养
掌握向量减法的运算法则及其几何意义，会求两个向量的差． 数学抽象、直观想象：向量的减法．
向量的减法
(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
1．由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？
提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把向量的减法转化为加法．
2．由向量减法的作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？
提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.(　　)
(2)两个相反向量之差等于0.(　　)
(3)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A．－＝0　 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
答案：C
3．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)
A．a与b的长度相等
B．a∥b
C．a与b一定不相等
D．a是b的相反向量
答案：C
4．在四边形ABCD中，则－－＝____________．
解析：在四边形ABCD中，－－＝－＝－＝0.
答案：0
探究点1　向量的减法运算
化简下列各向量的表达式：
(1)＋－；
(2)(－)－(－)；
(3)(＋＋)－(－－).
【解】　(1)＋－＝－＝.
(2)方法一：加法法则(利用结合律)
原式＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0.
方法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
方法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝0.
(3)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.
向量减法运算的常用方法
　
1．(多选)在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则－－＝(　　)
A．　　 B．
C． D．
解析：选AB．－－＝＋＋＝＝.故选AB．
2．化简下列各式：
(1)－＋；
(2)＋＋－－.
解：(1)－＋＝＋＝0.
(2)＋＋－－
＝＋＋＋－
＝＋＋＝.
探究点2　向量的减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】　方法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，
则＝b－c.
过点A作ADBC，连接OD，则＝b－c，
所以＝＋＝a＋b－c.
方法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，
则＝a＋b－c.
方法三：如图③，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，连接OB，
则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
探究点3　向量模的运算
已知a，b为两个非零向量，
(1)求作向量a＋b，a－b；
(2)当向量a，b成什么位置关系时，满足＝？(不要求证明)
【解】　(1)当两个向量a，b不共线时，作平行四边形ABCD，使得＝a，＝b，＝c，＝d，所以a＋b＝＝c，a－b＝＝d.
当两个向量a，b同向且共线时，作＝a，＝b，＝c，＝d，
所以a＋b＝＝c，a－b＝，
当两个向量a，b反向且共线时，作＝a，＝b，＝c，
所以a＋b＝＝c，a－b＝＝d.
(2)当a⊥b时，满足＝，如图，作矩形ABCD，作＝a，＝b，
所以，＝，＝.
有关模的运算
(1)主要是利用向量加减法的几何意义，首先作出向量的和与差，然后再求出向量的模；
(2)当向量a，b不共线时：－<<＋.　
已知||＝6，||＝9，求：
(1)|－|的取值范围；
(2)|＋|的取值范围．
解：(1)因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15；
所以|－|的取值范围为[3，15].
(2)由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
因为||＝6，||＝9，
所以3≤|＋|≤15，
当与同向时，|＋|＝15；
当与反向时，|＋|＝3.
所以|＋|的取值范围为[3，15].
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
2．下列等式成立的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B．由题易知，①③④⑤成立．
3．已知||＝a，||＝b(a＞b)，的取值范围是[5，15]，则a＝________，b＝________．
解析：因为a－b＝≤≤＋＝a＋b，
所以a－b≤||≤a＋b，因为的取值范围是[5，15]，
所以解得
答案：10　5
4．已知＝6，且|a＋b|＝|a－b|，求.
解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示，
则＝a＋b，＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，所以||＝||.
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝|a|＝8，||＝|b|＝6，由勾股定理，得||＝＝＝10，所以|a－b|＝10.
[A　基础达标]
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则下列式子成立的是(　　)
A．＝＋　 B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
解析：选B．＝＋＝－＝－＝－－.故选B．
2．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＋－＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．＋－＝－＝.故选D．
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A．＝＋＋＝a－b＋c.
4．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b＋c－d＝0
解析：选D．易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0，故选D．
5．(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，下列命题正确的是(　　)
A．|＋|＝|－|
B．|－|＝|－|
C．|－|＝|－|
D．|－|2＝|－|2＋|－|2
解析：选ABCD．以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，由题意知其为正方形．
因为|＋|＝||，|－|＝||，||＝||，所以A正确；
因为|－|＝||，|－|＝||，||＝||，所以B正确；
因为|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，||＝||，所以C正确；
因为|－|2＝||2，|－|2＋|－|2＝|＋|2＋|＋|2＝||2＋||2＝||2，即||2＝||2，所以D正确，故选ABCD．
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0.又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1.因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0　2
7．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有__________. (填序号)
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
解析：化简－＋＝＋＝，①符合题意；由正六边形的性质，结合图可得向量，，与向量方向不同，根据向量相等的定义可得向量，，与向量不相等，②③④不符合题意；因为＋＝＋＝≠，⑤不符合题意；－＝≠，⑥不符合题意；＋＝≠，⑦不符合题意，故答案为①.
答案：①
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且＝4，＝，则＝________．
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，如图所示，
由向量加减法的几何意义，可知＝＋，＝－，
因为＝，所以＝，
又由＝4，且M为线段BC的中点，
所以＝＝＝2.
答案：2
9.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
10．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d.
解：因为a＋b＝，c－d＝，所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示，作平行四边形OBEC和平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，b－c＝，a＋d＝.
[B　能力提升]
11．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
解析：选AD．由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，A正确．
三角形内＝＋，但AC≠AB＋BC，B错误．
，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，C错误．
，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．
12．下列说法错误的是(　　)
A．若＋＝，则－＝
B．若＋＝，则－＝
C．若＋＝，则－＝
D．若＋＝，则＋＝
解析：选D．由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A，B正确；
由相反向量的定义可知＝－，
所以若＋＝，则－＝，C正确；
若＋＝，由相反向量定义知，
＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误，故选D．
13．在平面上有A，B，C三个不同的点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　)
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C．以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等，可知||＝||，因此平行四边形ABCD是矩形，故选C．
14．若a≠0，b≠0，且＝＝，则a与a＋b所在直线的夹角是__________．
解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝60°，
在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
答案：30°
[C　拓展探究]
15.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
(1)因为－＝，
又||＝||，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，
因为||＝||，
所以|a＋(a－b)|＝|b|.

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