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9.3.2 向量数量积的坐标表示
学习指导 核心素养
1.掌握向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积．2.能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直． 数学运算、逻辑推理：向量数量积的坐标表示．
1．向量数量积的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
2．两个公式、一个充要条件
(1)向量的模长公式
设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝．
(2)向量的夹角公式
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y)) .
(3)两个向量垂直的充要条件
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝，即A，B两点间的距离为.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)
(2)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．(　　)
(4)已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量a，b的夹角θ＝120°.
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)
A．23 B．7
C．－23　 D．－7
答案：D
3．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝______.
答案：2　2　120°
4．已知向量a＝，b＝，且a与a＋b垂直，则m＝________．
解析：因为a＝(2，3)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，3＋m)，
因为a与a＋b垂直，
所以a·(a＋b)＝0，即2＋3(3＋m)＝0，解得m＝－，
答案：－
探究点1　数量积的坐标运算
已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，求：
(1)a·b；
(2)|3a－b|；
(3)(a＋b)·(2a－b).
【解】　a＝(1，3)，b＝(2，5).
(1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)方法一：3a－b＝3(1，3)－(2，5)＝(1，4)，
所以|3a－b|＝＝；
方法二：因为(3a－b)2＝9a2－6a·b＋b2＝9×10－6×17＋29＝17，
所以|3a－b|＝.
(3)方法一：因为a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)，
2a－b＝2(1，3)－(2，5)＝(0，1)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝(3，8)·(0，1)＝8.
方法二：(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝2×10＋17－29＝8.
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．　
1．(2021·江苏南通市海安高级中学高一月考)已知向量a＝，b＝，则a·＝________．
解析：由向量减法坐标运算可得a－b＝(1，2)－(－3，2)＝(4，0).
由向量数量积的坐标运算可得a·(a－b)＝(1，2)·(4，0)＝4.
答案：4
2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为＝2，所以F(，2).
所以＝(2，1)，＝(，2)－(2，0)＝(－，2).
所以·＝(2，1)·(－，2)＝2×(－)＋1×2＝.
答案：
探究点2　平面向量的模
(1)已知向量a＝，b＝，且a⊥b，则＝(　　)
A． B．5
C．4 D．
(2)(2021·江苏南京市金陵中学高三月考)已知向量a＝，b＝，若＝，则m＝________．
【解析】　(1)由a⊥b，可得a·b＝0，代入坐标运算可得x－4＝0，解得x＝4，所以a＋b ＝，得＝5，选B．
(2)向量a＝(2，－6)，b＝(3，m)，
则a＋b＝(5，－6＋m)，a－b＝(－1，－6－m)，
则＝＝，
＝＝，
因为＝，
即＝，化简可得－12m＋61＝12m＋37，
解得m＝1.
【答案】　(1)B　(2)1
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　
已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．12
解析：选B．由a＝(2，0)，得|a|＝2.又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos 60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.
探究点3　平面向量的夹角
(2021·江苏苏州市质检)已知a＝(1，2)，b＝(－3，1).
(1)求a－2b；
(2)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值；
(3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．
【解】　(1)因为a＝(1，2)，b＝(－3，1)，
所以a－2b＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0).
(2)因为a＝(1，2)，b＝(－3，1)，
所以＝＝，＝＝，
因为a·b＝cos θ，
所以cos θ＝＝＝－.
(3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，
所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即2－k22＝0.
因为2＝12＋22＝5，2＝(－3)2＋12＝10，所以5－10k2＝0，所以k＝±.
利用数量积求两向量夹角的步骤
　
1．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以|b|＝2.因为a＝(1，1)，所以|a|＝，且a·b＝(1，1)·(2，0)＝2.设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解：因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
因为a，b的夹角α为钝角，所以
即
所以λ＜1且λ≠－1.
所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
1．a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，b＝(1，－2)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A．－　　 B．－
C． D．
解析：选B．因为a＝(2，4)，b＝(1，－2)，所以|a|＝＝2，|b|＝＝，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.故选B．
2．设向量a＝，b＝，c＝，且⊥c，则λ＝(　　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：选A．由题，得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，由⊥c，得2×(1＋λ)＋1×(1－3λ)＝0，解得λ＝3.故选A．
3．已知向量＝(2，1)，＝(3，t)，＝1，则·＝(　　)
A．2 B．3
C．7 D．8
解析：选C．由题意，向量＝(2，1)，＝(3，t)，可得＝－＝(1，t－1)，
因为＝1，可得＝1，解得t＝1，即＝(3，1)，
所以·＝2×3＋1×1＝7. 故选C．
4．已知向量a＝(m，3)，b＝(2，1)，满足(a＋b)·b＝6，则实数m的值为________．
解析：向量a＝(m，3)，b＝(2，1)，
则a＋b＝(m＋2，4).
又(a＋b)·b＝6，
所以2(m＋2)＋4＝6，
解得m＝－1.
答案：－1
5．已知a＝(1，)，b＝(2，m).
(1)当3a－2b与a垂直时，求m的值；
(2)当a与b的夹角为120°时，求m的值．
解：(1)由题意得3a－2b＝(－1，3－2m)，
由3a－2b与a垂直，得－1＋9－2m＝0，所以m＝.
(2)由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，化简得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0(舍去).所以m＝－2.
[A　基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D．2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．在△ABC中，C＝，AC＝BC＝2，点P是边AB上一动点，则·＋·＝(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选A．以C为原点，CB和CA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，2)，B(2，0), 所以AB所在直线方程为y＝－x＋2，设P(x，－x＋2)，
则＝(x，－x＋2)，＝(0，2)，＝(2，0)，
·＋·＝2(－x＋2)＋2x＝4.
故选A．
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝(　　)
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D．由题意得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且＝3，则b＝(　　)
A．(－3，6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：选A．设b＝(x，y)，则|a||b|cos 180°＝x－2y，所以×3×(－1)＝x－2y ①，
又＝3②， 由①②可解得x＝－3，y＝6.故选A．
5．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C．设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
此时点P的坐标为(3，0).
6．已知向量a＝(x，－1)，向量b＝(1，2)，若a＋b与b垂直，则x＝__________．
解析：a＋b＝(x＋1，1)，因为a＋b与b垂直，所以(a＋b)·b＝x＋1＋2＝0，x＝－3.
答案：－3
7．已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，)，且|λa＋b|＝，则λ＝__________．
解析：由已知易得λa＋b＝，则(－λ)2＋＝，解得λ＝1或λ＝－.
答案：1或－
8．平面上有A，B，D三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使＝，则点E的坐标为________．
解析：设点C，则＝，＝，
又＝，
所以解得
所以点C的坐标为.
又连接DC延长至点E，使＝，
所以＝3，
设点E，则＝，＝，
所以解得
所以点E的坐标为.
答案：
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2).
(1)求a－b及|a－b|；
(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝＝4.
(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，
因为ka＋b与a－b垂直，
所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，
解得k＝3.
10．已知a＝(1，)，b＝(－，－1).
(1)求a和b的夹角；
(2)若a⊥(a＋λb)，求λ的值．
解：(1)因为a＝，b＝，
所以|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×＝－2，
设a，b的夹角为θ，故cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，
故θ＝.
(2)由a⊥得a·＝0，
即|a|2＋λa·b＝0，
又|a|2＝4，a·b＝－2，
故λ＝－＝.
[B　能力提升]
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C．设a与c的夹角为θ，依题意得，
a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.
设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，
所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，
所以cos θ＝＝＝＝－，
所以a与c的夹角为120°.
12．(多选)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是(　　)
A．－2a2 B．－a2
C．－a2 D．－a2
解析：选BCD．建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(x，y)，又A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0)，
则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y).
所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]
＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2ay
＝2x2＋2－a2≥－a2.
故选BCD．
13．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为________，的值为________．
解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ＝－6，所以cos θ＝－1，所以θ＝180°.
即a，b共线且反向，所以a＝－b，
所以x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝－.
答案：180°　－
14．(2021·江苏南通市海门市第一中学高三期末)在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(2，－2)，C(4, 1).
(1)若＝3，求点D的坐标；
(2)设实数k满足(k＋2)·＝4，求实数k的值．
解：(1)因为A，B，C，
所以＝，设D，所以＝，
因为＝3，
所以(1，－5)＝3(x－4，y－1)＝(3x－12，3y－3)，
所以解得
所以点D的坐标为.
(2)＝，k＋2＝k＋2＝，
因为(k＋2)·＝4，所以4＋＝4，解得k＝30.
[C　拓展探究]
15．已知A，B，C.
(1)若x＝1，判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)求实数x的值，使得最小；
(3)若存在实数λ，使得＝λ，求x，λ的值．
解：(1)当x＝1时，△ABC为直角三角形．证明如下：
当x＝1时，由A，B，C，则＝，＝，
此时·＝－3×1＋3×1＝0，即⊥，即∠A＝，所以△ABC为直角三角形．
(2)由题意，＝，＝，则＋＝，
所以|＋|＝≥5，当且仅当x＝－6时取等号．故当x＝－6时，|＋|取得最小值为5.
(3)由题意，＝，＝，因为＝λ，所以解得

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