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6．1　数列的概念及简单表示法
(教师独具内容)
1．能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式．
3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
本考点在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度较低，以考查an与Sn的关系为主．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的通项公式
数列{an}的前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用一个式子表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则
an＝
4．数列的分类
1．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2022＝(　　)
A． B．1
C．－1 D．2
答案　D
解析　a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝1－＝，可得数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2022＝a3×673＋3＝a3＝2.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ ．
答案　5n－4
解析　由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，可得an＝5n－4.
3．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是 ．
答案　30
解析　an＝－n2＋11n＝－＋，因为n∈N*，所以当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
4．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝ ．
答案　21
解析　由题意，知a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ ．
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，a1＝2不满足上式，所以an＝
1．(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选C.
2．(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积．已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解　(1)证明：当n＝1时，b1＝S1，易得b1＝.
当n≥2时，＝Sn，代入＋＝2消去Sn，得＋＝2.
化简，得bn－bn－1＝.
所以数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由题意可知a1＝S1＝b1＝.
由(1)可得bn＝，由＋＝2可得Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，显然a1不满足该式，
所以an＝
3．(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
解　(1)a2＝5，a3＝7.
猜想an＝2n＋1，证明如下：
由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，
an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，
……
a2－5＝3(a1－3).
因为a1＝3，所以an＝2n＋1.
(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以
Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①
从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②
①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1.
所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
一、基础知识巩固
考点　　数列的有关概念及通项公式
例1　(2022·长沙一中模拟)数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N*)
B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*)
D．an＝(n∈N*)
答案　C
解析　数列0，，，，…的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为an＝(n∈N*)，故选C.
例2　(2021·唐山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝10，那么a10＝(　　)
A．1 B．9 C．10 D．55
答案　C
解析　数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝10，令n＝1，m＝9，代入可得S1＋S9＝S10，即S1＝S10－S9，故a1＝a10＝10，故选C.
　1.(2021·保定模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为(　　)
A．193 B．192
C．174 D．173
答案　A
解析　根据题意，由三角形数阵可得，每一行的第一个数字依次为1，2，4，7，…，则第n行的第一个数字为＋1，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193.故选A.
2．(2022·武汉模拟)如图，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，若第n层的小正方体的个数记为Sn，则S7＝(　　)
A．20 B．28 C．32 D．36
答案　B
解析　由所给图形知，S1＝1，S2＝1＋2，S3＝1＋2＋3，…，按此规律可得Sn＝1＋2＋3＋…＋n，所以第n层小正方体的个数Sn＝，于是得S7＝＝28.故选B.
　由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法
观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③各项的符号特征和绝对值特征；
④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．
考点　　an与Sn的关系及其应用
例3　(2022·咸宁模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则an等于(　　)
A．3×4n B．3×4n＋1
C． D．
答案　C
解析　由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2).两式相减，得an＋1－an＝3an(n≥2)，即an＋1＝4an(n≥2)，又由a1＝1，得a2＝3a1＝3，a2≠4a1，所以当n≥2时，an＝a2×4n－2＝3×4n－2.所以an＝故选C.
例4　(2021·三明模拟)已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝4n－1 D．an＝4n＋1
答案　B
解析　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，整理，得a－2a1－3＝0，解得a1＝3或a1＝－1，因为an>0，所以a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a＋an－－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)an－1－\f(3,4)))＝a－a＋an－an－1，整理，得a－a－2an－2an－1＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是以a1＝3为首项，2为公差的等差数列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，故选B.
　3.(2022·河北高三三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝nan，且S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3720，则a1＝(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
答案　C
解析　因为Sn＝nan，所以Sn＝n(Sn－Sn－1)，n≥2.所以nSn－1＝(n－1)Sn，n≥2.变形，得＝，n≥2.所以数列是每项均为S1的常数列．所以＝S1，即Sn＝nS1＝na1.又因为S2＋S4＋S6＋…＋S60＝3720，所以2a1＋4a1＋6a1＋…＋60a1＝(2＋4＋6＋…＋60)a1＝a1＝3720.解得a1＝4，故选C.
4．(2021·广东高三模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2(n∈N*)，则＝(　　)
A．243 B．244 C．245 D．246
答案　B
解析　由题意得2Sn＝3an－2，2Sn－1＝3an－1－2(n≥2)，2a1＝3a1－2，a1＝2.所以2an＝3an－3an－1.所以an＝3an－1.所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S10＝＝310－1＝(35＋1)(35－1)，a6－2＝2×35－2＝2(35－1)，所以＝35＋1＝244.故选B.
　对含有an与Sn的递推式的两种处理思路
(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n”都换成“n－1”，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题．
(2)转化为和和关系：借助an＋1＝Sn＋1－Sn或an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解．
考点　　由递推关系研究数列的周期性
例5　(2021·沈阳模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2021＝(　　)
A．1 B．－ C．－2 D．－1
答案　B
解析　当n＝1时，a2＝－＝－，当n＝2时，a3＝－＝－2，当n＝3时，a4＝－＝1，当n＝4时，a5＝－＝－，所以数列{an}的周期为3，因为2021＝3×673＋2，所以a2021＝a2＝－.故选B.
例6　(2021·河北衡水中学第二次联考)若P(n)表示正整数n的个位数字，an＝P(n2)－P(2n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝(　　)
A．－1 B．0 C．1009 D．1011
答案　C
解析　由题意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0，…，所以数列{an}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202＋(－1)＝1009，故选C.
　5.(2022·广东佛山一中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，an＋1＝则S2022等于(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因为a1＝，an＋1＝
所以a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4＝，各项值以4为周期重复出现，所以an＋4＝an.因为a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＋＝2，2022＝505×4＋2，所以S2022＝505×2＋＋＝.故选B.
6．(2021·内蒙古呼和浩特一模)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2021项的乘积是(　　)
A．－2 B．－1 C．2 D．1
答案　C
解析　由递推关系式，得an＋2＝＝＝－，则an＋4＝－＝an，∴{an}是以4为周期的一个周期数列．计算可得a1＝2，a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·…·a2020·a2021＝a2021＝a1＝2.故选C.
　
(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性．
考点　　数列的单调性及数列的最大(小)项
例7　(2021·龙岩模拟)若an＝2n2＋tn＋3(t为常数)，n∈N*，且数列{an}为递增数列，则实数t的取值范围为(　　)
A．t<－2 B．t>－2
C．t<－6 D．t>－6
答案　D
解析　因为数列{an}为递增数列，所以an＋1>an，在n∈N*时恒成立．所以an＋1－an＝[2(n＋1)2＋t(n＋1)＋3]－(2n2＋tn＋3)＝4n＋2＋t>0，即t>－4n－2在n∈N*时恒成立，而n＝1时，(－4n－2)max＝－6，所以t>－6.故选D.
　7.(2021·衡阳模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为 ．
答案　
解析　设数列{an}中的第n项最大，则即解得8≤n≤9.又n∈N*，则n＝8或n＝9.故数列{an}中的最大项为第8项和第9项，且a8＝a9＝.
　
(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性．
(2)求数列最大项的方法：设数列{an}中的第n项最大，建立不等式组求解即可得出结果．
二、核心素养提升
例1　(2021·张家界模拟)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝(n≥2)，则数列的最小值为(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　A
解析　因为an＋1＝，a1＝1，所以＝＋2，即－＝2，＝1，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，因为数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝＝2n－1(n≥2)，所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2，当n＝1时也成立，所以＝＝n＋.设f(x)＝x＋，x∈[1，＋∞)，则f′(x)＝1－＝.所以函数f(x)在(1，)上单调递减；在(，＋∞)上单调递增．而f(3)＝3＋＝7＋，f(4)＝4＋＝7＋，所以数列的最小值为.故选A.
例2　(2022·南昌模拟)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，3] B．(1，3)
C．(2，3) D．
答案　C
解析　因为an＝f(n)，f(x)＝所以an＝因为数列{an}是递增数列，所以解得即2课时作业
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．(2022·桂林模拟)下列说法错误的是(　　)
A．递推公式也是数列的一种表示方法
B．an＝an－1(n≥2)，a1＝1是递推公式
C．表示数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法
D．an＝2an－1(n≥2)，a1＝2是递推公式
答案　C
解析　根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an＝an－1(n≥2)与an＝2an－1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意相邻两项间的关系，所以都是递推公式，故B，D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误．故选C.
2．由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是(　　)
A．9 B．17 C．33 D．65
答案　C
解析　因为数列{an}的通项公式为an＝2n－1，而n≥2时，bn＝abn－1，又b1＝2，则b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.故选C.
3．(2022·合肥模拟)若(－1)na<2＋对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　当n为偶数时，(－1)na<2＋恒成立，即a<2－恒成立，令an＝2－，则数列{an}是递增数列，且其最小项为a2＝，故a<；当n为奇数时，(－1)na<2＋恒成立，即－a<2＋恒成立，即a>－2－恒成立，令bn＝－2－，则数列{bn}是递增数列，且bn∈[－3，－2)，故a≥－2.综上可得，实数a的取值范围是.故选A.
4．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示).
则第7个三角形数是(　　)
A．27 B．28 C．29 D．30
答案　B
解析　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an＝an－1＋n(n≥2).所以第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故选B.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ，即λ<对任意的n∈N*都成立，于是λ<.由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A.
6．(2022·昆明模拟)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝(n≥2)，则b8＝(　　)
A．64 B．81 C．80 D．82
答案　A
解析　由数列{an}满足an＋1＝，得－＝2，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以数列{bn}满足b1＝1，bn－bn－1＝2n－1(n≥2)，b2－b1＝2×2－1，b3－b2＝2×3－1，…，b8－b7＝2×8－1，所以b8＝1＋2×(2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)－7＝2×－6＝64.故选A.
7．(2021·常州模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则a5＝(　　)
A．26 B．19
C．11 D．9
答案　D
解析　依题意Sn＝n2＋1，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，所以an＝所以a5＝2×5－1＝9.故选D.
8．(2021·黄石模拟)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对 n∈N*，an＋2＝an＋1－an，则a2021＝(　　)
A．2×－1 B．2×－1
C．2×－1 D．2×－1
答案　C
解析　由an＋2＝an＋1－an，得an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以an＋1－an＝.所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋＋＋1＝＋1＝2×－1.经检验，当n＝1时也成立，所以an＝2×－1.所以a2021＝2×－1，故选C.
二、多项选择题
9．(2022·湖北宜昌摸底)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2022＝
C．S3＝ D．S2022＝1011
答案　ACD
解析　由数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以an＋3＝an，数列{an}的周期为3，故a2022＝a673×3＋3＝a3＝－1，S3＝，S2022＝674×＝1011.
10．(2022·福州模拟)数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝，an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，则下列命题正确的是(　　)
A．Sn＝
B．an＝－
C．数列{an}为递增数列
D．数列为递增数列
答案　AD
解析　因为an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，所以Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，因为Sn≠0，所以－＝4(n≥2)，所以数列是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故D正确；＝4＋4(n－1)＝4n，所以Sn＝，故A正确；因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，所以an＝又因为a1>a2，所以B，C不正确．故选AD.
三、填空题
11．(2021·盐城模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＝ eq \f(2S,2Sn－1)(n≥2)，则{an}的通项公式为 ．
答案　an＝
解析　因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝ eq \f(2S,2Sn－1).所以2S－Sn－2SnSn－1＋Sn－1＝2S.整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.所以－＝2.所以数列是首项为＝1，公差为2的等差数列．所以＝＋(n－1)·2＝2n－1.所以Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，但当n＝1时，a1＝1不满足上式，所以an＝
12．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项和为 ．
答案　
解析　由题意，可知an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，数列的前10项和为＋＋…＋＝2＝.
13．(2021·辽阳模拟)已知数列{an}为递增数列，且an＝则t的取值范围是 ．
答案　
解析　因为数列{an}为递增数列，且an＝则2t－3>0，解得t>.因为当n≥4时，an＝tn为递增数列，所以t>1.另外，类似于分段函数的单调性，还需满足a35.设g(x)＝x4＋2x－5，因为g(x)＝x4＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增，且g＝＋2×－5＝>0，故对任意t>，t4＋2t>5都成立．所以t的取值范围是.
14．(2021·龙岩模拟)已知数列{an}满足a1＝，an－an＋1＝anan＋1，则的最小值为 ．
答案　
解析　因为a1＝，an－an＋1＝anan＋1，所以＝10，－＝1.所以数列是以10为首项，1为公差的等差数列．所以＝n＋9.所以＝＝n＋＋11.因为f(x)＝x＋在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，当n＝4时，＝，当n＝5时，＝，<，所以当n＝4时，取得最小值为.
四、解答题
15．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，求数列{an}的通项公式；
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求数列{an}的通项公式．
解　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；
当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.
因此an＝
(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，
所以a1＝1.
因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，
所以数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝－的等比数列，故an＝.
(3)当n＝1时，由已知，得a1＝21＝2.
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n.①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1.
所以an＝.
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，求数列{an}的通项公式．
解　在4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，
令n＝1，得8(a1＋1)＝9a1，所以a1＝8.
因为4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①
所以4n(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②
由①－②，得4an＝an－an－1，
即an＝an－1，an＝an－1，
所以an＝××…××a1＝××…××8＝(n＋1)3(n≥2)，
又a1＝8也满足此式，
所以数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)3.
17．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解　(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)·2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，an＋1≥an 12＋a－3≥0 a≥－9，
又a2＝a1＋3>a1，a≠3.
所以a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).

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