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6．2　等差数列及其前n项和
(教师独具内容)
1．通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．体会等差数列与一次函数的关系．
4．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．会利用等差数列的定义、等差中项证明数列是等差数列．
2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．熟练掌握利用等差数列的性质求等差数列的指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值．
4．本考点在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查，解答题往往与数列的计算、证明、数列求和、不等式等问题综合考查．难度中低档．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d) 当d≠0时，an是关于n的一次函数．
(2)前n项和公式：Sn＝＝na1＋＝n2＋n 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
3．常用结论
已知数列{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*).
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*).
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若数列{an}，{bn}是等差数列，则数列{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若数列{an}是等差数列，则数列也成等差数列，首项与数列{an}的首项相同，公差是数列{an}公差的.
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
1．(2022·广西钦州浦北中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则Sn的最小值为(　　)
A．－36 B．－6 C．36 D．－12
答案　A
解析　在等差数列{an}中，因为a1＝－11，a4＋a6＝2a5＝－6，所以a5＝－3，即－11＋4d＝－3，故d＝2，则Sn＝－11n＋(n－1)n＝n2－12n，故当n＝6时，取得最小值－36.故选A.
2．(2021·大连普兰店区模拟)已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝，则a5＝(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　因为an＋1＝，所以＝，即＝＋.所以数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，因此＝＋(5－1)×＝1＋＝，所以a5＝，故选A.
3．(2022·浙江湖州模拟)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，若a1b1＝3，a2b2＝7，a3b3＝13，则a4b4＝(　　)
A．19 B．21 C．23 D．27
答案　B
解析　由题意，设an＝an＋b，bn＝cn＋d，则anbn＝(an＋b)(cn＋d)＝acn2＋(bc＋ad)n＋bd，令cn＝anbn，可得dn＝cn＋1－cn＝2acn＋ac＋ad＋bc构成一个等差数列，由已给出的a1b1＝3，a2b2＝7，a3b3＝13，得d1＝c2－c1＝7－3＝4，d2＝c3－c2＝13－7＝6，所以d3＝c4－c3＝c4－13＝8，解得c4＝21，即a4b4＝21.故选B.
4．(2021·黄石模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10 C．10 D．12
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，则由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
5．(2021·泰州模拟)我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯＝1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为(　　)
A．30.8贯 B．39.2贯
C．47.6贯 D．64.4贯
答案　A
解析　依次记甲、乙、丙、丁、戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，数列{an}为等差数列，记公差为d，依题意，得
解得a1＝64.4，d＝－8.4.所以a5＝64.4－33.6＝30.8，即戊所得钱数为30.8贯．故选A.
1．(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3699块 B．3474块
C．3402块 D．3339块
答案　C
解析　设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n.设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即－＝－＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝＝3402.故选C.
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝ ．
答案　25
解析　解法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25.
3．(2021·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
证明　由题意可知，数列{}的首项为＝，
设等差数列{}的公差为d，
则d＝－＝－＝，
所以 ＝＋(n－1)＝n，
即Sn＝a1n2，
所以an＝
即an＝(2n－1)a1，所以an＋1－an＝2a1，
所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．
4．(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
解　(1)由等差数列的性质可得，S5＝5a3，则a3＝5a3，所以a3＝0，
设等差数列{an}的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得，a1＝2－6＝－4，
则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，
整理可得，(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
一、基础知识巩固
考点　　等差数列基本量的计算
例1　(2021·北京延庆模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝10，a3＝8，那么下列不等式中成立的是(　　)
A．a11＋a12<0 B．a11－a12<0
C．S11－S12<0 D．S11－S10<0
答案　A
解析　由题意，得a3＝a1＋2d＝8，解得d＝－1.所以an＝10＋(n－1)×(－1)＝11－n，Sn＝＝.对于A，a11＋a12＝0－1＝－1<0，故A正确；对于B，a11－a12＝0－(－1)＝1>0，故B错误；对于C，S11－S12＝55－54>0，故C错误；对于D，因为a11＝0，所以S11＝S10，即S11－S10＝0，故D错误．故选A.
例2　(2021·石家庄模拟)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
答案　B
解析　设数列{an}的公差为d，则由a2＝－6，a6＝6，得解得于是S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1.故选B.
　1.(2021·丹东模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为(　　)
A．5.5 B．8 C．12 D．16
答案　D
解析　设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则由题意可得
即解得
所以an＝8＋n－1＝n＋7.所以谷雨日影长为a9＝9＋7＝16，故选D.
2．(2021·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3a5＝12，a2＝0，若a1>0，则S20＝(　　)
A．420 B．340 C．－420 D．－340
答案　D
解析　设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3a5＝12，可得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340.故选D.
　等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
提醒：在求解数列基本量的问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
考点　　等差数列的判定与证明
例3　(2021·济南模拟)设数列{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1，2，…)，给出命题：①若数列{an}是等差数列，则数列{An}是等差数列；②若数列{an}是等比数列，则数列{An}是等比数列；③若数列{An}是等差数列，则数列{a2n－1}是等差数列，其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　对于①，若数列{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以数列{An}是等差数列，故①正确；对于②，若数列{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则＝＝＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故数列{An}不是等比数列，故②不正确；对于③，若数列{An}是等差数列，设公差为d，则An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，所以数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故③正确．故选C.
例4　(2021·辽宁抚顺模拟)已知数列{an}满足3an＋1＝an＋，a1＝，设bn＝3n·an.
(1)证明：{bn}为等差数列；
(2)设cn＝9n＋(－1)n－1·λ·3bn，若{cn}为递增数列，求λ的取值范围．
解　(1)证明：bn＋1－bn＝3n＋1an＋1－3nan＝3n＋1·－3nan＝1，
当n＝1时，b1＝3·a1＝2，所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得bn＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
由{cn}为递增数列，则cn＋1－cn>0对任意n∈N*恒成立，
即9n＋1＋(－1)n·λ·3n＋2－9n－(－1)n－1·λ·3n＋1>0，整理可得8·9n＋12λ·(－1)n·3n>0对任意n∈N*恒成立，所以2·3n＋3λ·(－1)n>0对任意n∈N*恒成立，
3λ·(－1)n>－2·3n对任意n∈N*恒成立，
当n为偶数时，则λ>(－2·3n－1)max，
即λ>－6，
当n为奇数时，则λ<(2·3n－1)min，即λ<2.
综上所述，λ的取值范围为(－6，2).
　3.(2022·南通模拟)对于下列四个条件：
①an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)；②an＋2－an＝d(d为常数，n∈N*)；③an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)；④数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1(n∈N*).能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　①an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，数列{an}的关系式符合一次函数的形式，所以①能确定数列{an}是等差数列；②an＋2－an＝d(d为常数，n∈N*)，不符合从第2项起，相邻项的差为同一个常数，故②不能确定数列{an}是等差数列；③an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，对于数列{an}的关系式符合等差中项的形式，所以③能确定数列{an}是等差数列；④数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1(n∈N*)，不符合Sn＝An2＋Bn(A≠0)，所以④不能确定数列{an}是等差数列．故选B.
4．(2022·张家口模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断数列{an}是否为等差数列．
解　当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
所以an＝
显然a2－a1＝6－6＝0，a3－a2＝2，
所以数列{an}不是等差数列．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.求证：数列为等差数列．
证明　由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n，
得－＝1，
又因为＝5，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列．
　
1．判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数).
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
说明：解答题中，证明数列{an}是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法．
2．证明某数列不是等差数列
若证明某数列不是等差数列，则只要证明存在连续三项不成等差数列即可．
考点　　等差数列的性质及其应用
例5　(2021·三明模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值为(　　)
A．45 B．75 C．30 D．180
答案　D
解析　在等差数列{an}中，因为a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，代入已知式可得5a5＝450，即a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.故选D.
例6　(2021·怀化模拟)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　)
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
答案　C
解析　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
例7　(2021·辽宁锦州模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．0.5
答案　C
解析　因为在等差数列{an}中，＝，＝＝＝＝×＝1，故选C.
　6.(2022·丽江模拟)在等差数列{an}中，若a5＋a6＋a8＋a9＝400，则数列{an}的前13项和S13＝(　　)
A．5200 B．2600
C．1500 D．1300
答案　D
解析　根据等差数列的性质可得a5＋a6＋a8＋a9＝2(a6＋a8)＝400，所以a6＋a8＝200，前13项和S13＝＝＝＝1300.故选D.
7．(2022·哈尔滨模拟)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4C．S6S5
答案　B
解析　由题意，在等差数列{an}中，a2＝－6，a8＝6，根据等差数列的性质，可得a5＝＝0，所以S4＝S5，又d＝＝2，所以数列{an}为递增数列．所以a6>a5＝0.所以S6>S5.故选B.
8．(2021·浙江高三模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1≠0，S16＝0，则满足anSn<0的正整数n的个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　B
解析　由a1≠0，S16＝0，知d≠0，则S16＝×16＝8(a8＋a9)＝0.所以a8＋a9＝0.若d>0，则a8<0，a9>0，即当n≤8时，an<0，当n≥9时，an>0.又S16＝0，所以当n≤15时，Sn<0，当n≥17时，Sn>0，当9≤n≤15时，anSn<0，n的个数为7；若d<0，同理可得，当9≤n≤15时，anSn<0，n的个数为7.综上所述，当9≤n≤15时，anSn<0，共有7个正整数满足题意．故选B.
在等差数列{an}中，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
二、核心素养提升
例1　(2021·秦皇岛模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝26－2n，要使数列{an}的前n项和Sn最大，则n的值为(　　)
A．14 B．13或14
C．12或11 D．13或12
答案　D
解析　因为an＝26－2n，所以数列{an}是首项a1＝24，公差d＝－2的等差数列，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋25n.由二次函数的性质可得，当n＝13或12时，Sn最大．
例2　(2021·扬州模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，且S100S99.则当Sn<0时，n的最大值为(　　)
A．197 B．198 C．199 D．200
答案　B
解析　因为S100S99，即S100－S98＝a100＋a99<0，S100－S99＝a100>0，所以a99<0，所以数列{an}的公差d＝a100－a99>0，所以S199＝＝199a100>0，S198＝＝<0，故当Sn<0时，n的最大值为198.故选B.
例3　(2022·青岛模拟)在等差数列{an}中，a1＞0，S5＝S12，则当Sn有最大值时，n的值为 ．
答案　8或9
解析　解法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12，得5a1＋10d＝12a1＋66d，所以d＝－a1＜0.设此数列的前n项和最大，则即
解得即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
解法二：由S5＝S12，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，即7a9＝0，a9＝0，由a1＞0可知d＜0，故当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
解法三：由S5＝S12，可得a1＝－8d，所以Sn＝－8dn＋d＝－d，由n∈N*并结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使得Sn取得最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使得Sn取得最小值．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·鞍山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*，则T20的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　由Sn＝n2，得当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2.将上述两式作差，得Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，即an＝2n－1，而a1＝1，符合an＝2n－1，所以an＝2n－1.所以＝＝，所以Tn＝＝＝，所以T20＝＝.故选C.
2．(2022·贵阳市民族中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－17n，则当Sn取最小值时，n的值为(　　)
A．4或5 B．5或6
C．4 D．5
答案　C
解析　因为Sn＝2n2－17n＝2－，又二次函数y＝2x2－17x图象的对称轴为x＝，且开口向上，而n∈N*，于是当n＝4时，Sn取得最小值，所以当Sn取最小值时，n的值为4.故选C.
3．(2021·衡阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝104，a6＝5，则数列{an}的公差为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，因为S13＝104，所以＝104，所以13a7＝104，解得a7＝8.因为a6＝5，所以d＝a7－a6＝8－5＝3.故选B.
4．(2022·南昌模拟)各项均为正数的数列{an}，a1＝1且a－2an－a－4an－1－3＝0，则其前n项和Sn＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　因为a－2an－a－4an－1－3＝0，所以(an－1)2＝(an－1＋2)2，因为数列{an}的各项均为正数，所以an－1＝an－1＋2或1－an＝an－1＋2，当an－1＝an－1＋2时，则an－an－1＝3，因为a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以an＝3n－2，所以Sn＝＝；当1－an＝an－1＋2时，因为a1＝1，所以1－a2＝1＋2，解得a2＝－2，不符合题意，舍去．故选A.
5．(2021·梅州模拟)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29 C．30 D．31
答案　B
解析　设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，中间项为an＋1，故S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29，故选B.
6．(2021·江苏如皋中学模拟)已知数列{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　)
A.36 B．24 C．16 D．12
答案　D
解析　由等差数列的性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12.故选D.
7．(2022·吉林延边二中模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且b7＝a7，则有(　　)
A．a5＋a9B．a5＋a9≥b4＋b10
C．a5＋a9≠b4＋b10
D．a5＋a9与b4＋b10的大小不确定
答案　B
解析　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a5＋a9≥2＝2 eq \r(a)＝2a7，当且仅当a5＝a9时，等号成立．又因为数列{bn}是等差数列，故b4＋b10＝2b7，因为b7＝a7，所以a5＋a9≥b4＋b10.故选B.
8．(2021·浙江宁海中学模拟)已知公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2021a2022<0A．a1d>0 B．|S2021|<|S2022|
C．S4042S4043<0 D．a2022S4042S4043>0
答案　D
解析　对于A，由a2021a2022<0，得a2021，a2022异号．若d>0，则等差数列{an}为递增数列，则a20210，则a1<0.若d<0，则等差数列{an}为递减数列，则a2021>a2022，所以a2021>0，a2022<0，则a1>0.所以a1d<0，故A不正确；对于B，当d<0时，则a2021>a2022，所以a2021>0，a2022<0，则a1>0，则当n≤2021时，an>0，当n≥2022时，an<0.则S2021＝a1＋a2＋…＋a2021>0，S2022＝a1＋a2＋…＋a2021＋a20220，此时|S2021|>|S2022|，同理当d＞0时，|S2021|＞|S2022|也成立，故B不正确；对于C，因为S4042＝×4042＝×4042>0，S4043＝×4043＝×4043＝4043a2022，当d>0时，a2022>0，则S4043>0，此时S4042·S4043>0，所以C不正确；对于D，由a2021·a2022<00，故D正确．故选D.
二、多项选择题
9．(2022·河北沧州七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a3＝5，a7＝3，则(　　)
A．d＝ B．d＝－
C．S9＝18 D．S9＝36
答案　BD
解析　因为a1＋a9＝a3＋a7＝5＋3＝8，所以S9＝＝＝36.因为a3＝5，a7＝3，所以公差d＝＝－.
10．(2021·山东莱州一中模拟)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn，则下列命题正确的是(　　)
A．若S3＝S11，则S14＝0
B．若S3＝S11，则S7是Sn中最大的项
C．若S7>S8，则S8D．若S7>S8，则S6>S9
答案　ABD
解析　根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝7(a7＋a8)＝0，又a1>0，所以a7>0，a8<0，则S7是Sn中最大的项，故A，B正确；若S7>S8，则a8<0，又a1>0，所以d<0，所以S8>S9，易得S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，故C错误，D正确．故选ABD.
11．(2021·江门模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，则下列结论正确的是(　　)
A．a1＋a12＝a8＋a5
B．a5a6C．若该数列的前3项依次为x，1－x，3x，则a10＝
D．数列是递减等差数列
答案　AC
解析　令m＝1，则an＋1－an＝a1，因为a1>0，所以数列{an}为等差数列，且公差d>0，故A正确；由a5a6－a1a10＝(a＋9a1d＋20d2)－(a＋9a1d)＝20d2>0，所以a5a6>a1a10，故B错误；根据等差数列的性质可得2(1－x)＝x＋3x，所以x＝，1－x＝，即a1＝，a2＝，则d＝.所以a10＝＋9×＝，故C正确；因为＝＝n＋，>0，所以是递增的等差数列，故D错误．故选AC.
三、填空题
12．(2021·益阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝ ．
答案　280
解析　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
13．(2021·枣庄模拟)变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线，这种螺旋线极具美感．图1是鹦鹉螺的截面，其轮廓是等比变径螺旋线(半径构成等比数列)，图2是一段等差变径圆弧螺旋线(半径构成等差数列)，其中ABCDEF是边长为1的正六边形，弧FA1是以A为圆心，AF为半径的圆弧，弧A1B1是以B为圆心，BB1为半径的圆弧，弧B1C1是以C为圆心，CC1为半径的圆弧，以此类推，已知各圆弧的圆心角均等于正六边形的外角，则弧E1F1的长为 ．
答案　2π
解析　由题意知，AB＝AF＝AA1＝1，故BB1＝BA1＝2，又因为图2是一段等差变径圆弧螺旋线，所以公差d＝2－1＝1，故FE1＝AF＋5d＝6，又正六边形的外角等于60°，所以∠E1FF1＝60°，所以的长l＝6×＝2π.
14．(2021·梅州模拟)数列{an}是等差数列，若a1>0，a2020＋a2021>0，a2020a2021<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ．
答案　4040
解析　由于数列{an}是等差数列，且a1>0，a2020a2021<0.若a2020<0，则数列{an}为递减数列，从而a2021<0，与题设矛盾；若a2020>0，则a2021<0，数列{an}为递减数列，符合题意．所以S4039＝＝4039a2020>0，S4040＝＝2020(a2020＋a2021)>0，S4041＝＝4041a2021<0，因此，使得Sn>0成立的最大自然数n为4040.
15．(2021·浙江湖州中学模拟)已知等差数列{an}(其中an≠0，公差d≠0)及关于x的方程aix2＋2ai＋1x＋ai＋2＝0(i＝1，2，3，…，n)，这些方程有公共的根m，若方程的另一个根分别为x1，x2，x3，…，xn，则－＝ ．
答案　－
解析　因为方程的公共根为m，
所以aim2＋2ai＋1m＋ai＋2＝0，①
且ai＋1m2＋2ai＋2m＋ai＋3＝0，②
由②－①，得(ai＋1－ai)m2＋2(ai＋2－ai＋1)m＋ai＋3－ai＋2＝0，即dm2＋2dm＋d＝0，因为d≠0，所以m2＋2m＋1＝0，即(m＋1)2＝0，解得m＝－1.方程的另一个根记为xi，则xi－1＝－＝－2×＝－2－，所以xi＋1＝－，即＝－，所以－＝－.
四、解答题
16．(2021·宜昌模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　(1)证明：由题意得，若n≥2，则an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－[25(n－1)－2(n－1)2]＝－4n＋27，
若n＝1，则a1＝S1＝23，经检验满足上式．故an＝－4n＋27，
由an＋1－an＝－4可知，数列{an}是首项为23，公差为－4的等差数列．
(2)由(1)，得|an|＝
①若n≤6，Tn＝Sn＝－2n2＋25n，
②若n≥7，Tn＝S6－(Sn－S6)＝－Sn＋2S6＝2n2－25n＋156，
综上所述，Tn＝
17．(2022·T8第一次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，S3＝5a1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1＋，数列{bn}的前n项和为Tn.定义[x]为不超过x的最大整数，例如[0.3]＝0，[1.5]＝1.当[T1]＋[T2]＋…＋[Tn]＝63时，求n的值．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝3，则S3＝3a1＋3d＝9＋3d.
因为S3＝5a1＝15，则9＋3d＝15，得d＝2.
所以数列{an}的通项公式是an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)因为Sn＝3n＋×2＝n2＋2n，
则bn＝1＋＝1＋＝1＋－.
所以Tn＝n＋＋＋＋…＋＋＝n＋1＋.
当n≤2时，因为－≤－－＜0，则[Tn]＝n.
当n≥3时，因为0＜－－＜，则[Tn]＝n＋1.
因为[T1]＋[T2]＋…＋[Tn]＝63，
则1＋2＋4＋5＋…＋(n＋1)＝63，
即3＋＝63，
即n2＋3n－130＝0，即(n－10)(n＋13)＝0.因为n∈N*，所以n＝10.
18．(2021·江苏徐州一中模拟)已知数列{an}的首项为，设其前n项和为Sn，且对n∈N*有an≠0，Sn＝＋1.
(1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)是否存在正整数m，k，使得S2，Sm，Sk(2解　(1)证明：因为Sn＝＋1，①
所以当n≥2时，Sn－1＝＋1，②
由①－②，得an＝－，
因为an≠0，所以－＝.
当n≥2时，有bn－bn－1＝－＝－＝－.
所以数列{bn}为等差数列．
(2)因为a1＝，所以当n＝1时，S1＝＋1，解得a2＝.
因为b1＝＝－，公差d＝－，
所以bn＝－.所以＝－.
所以＝.
所以··…··＝××…××，
整理，得an＝＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝也满足上式．
综上，an＝.
(3)由(2)可知，Sn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
因为S2，Sm，Sk成等差数列，所以2Sm＝S2＋Sk，
即＝＋，
化简，得m＝5－.
因为m，k∈N*，
所以当k＋4＝6时，k＝2，m＝2(舍去)；
当k＋4＝9时，k＝5，m＝3；
当k＋4＝18时，k＝14，m＝4.
综上所述，存在m＝3，k＝5或m＝4，k＝14，满足题意．

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