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7．1　平面向量的概念及线性运算
(教师独具内容)
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．理解平面向量的几何表示和基本要素．
2．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．
3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
4．重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考考频不高的部分，主要以选择题或者填空题的形式呈现，命题的重点是平面向量的线性运算问题．
2．考查方向主要是平面图形中向量的线性运算，同时向量的线性运算也可能出现在三角函数或解析几何等试题中．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为||.
任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a平行的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 (1)|λa|＝|λ|·|a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
5．常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，O不在直线AB上，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量的和为零向量．
(4)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(2021·广东佛山质量检测(一))平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近点B)，则＝(　　)
A.－ B．＋
C.＋ D．－
答案　D
解析　∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴＝＋＝＋＝－.故选D.
3．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
4．e1，e2是两个不共线的向量，已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M，P，Q三点共线，则t＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．－1
答案　A
解析　∵M，P，Q三点共线，则与共线，∴＝λ，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得解得t＝1.故选A.
5．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
答案　[2,6]
解析　当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2＜|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2,6]．
1．(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　)
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
答案　A
解析　解法一：因为D是AB的中点，所以＝2，所以＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－.故选A.
解法二：因为D是AB的中点，所以＝(＋)，即2＝＋，所以＝2－.故选A.
2．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B．－
C.＋ D．＋
答案　A
解析　如图，根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－.故选A.
一、基础知识巩固
考点　　平面向量的基本概念
例1　(多选)下列命题中错误的是(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
答案　BCD
解析　对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，故A正确；对于B，当a＝0时，a与b的方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，当a，b之一为零向量时，a与b的方向不一定相反，故C错误；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同，故D错误．故选BCD.
例2　设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案　C
解析　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．故选C.
　1.(多选)下列命题中错误的有(　　)
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案　BC
解析　由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确．故选BC.
2．(多选)下列命题正确的有(　　)
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
答案　AD
解析　方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的四点，＝，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，反之也成立，故D正确．故选AD.
　
1．解答向量概念型题目的关注点
(1)准确理解向量的有关知识，应重点把握两个要点：大小和方向．
(2)向量线性运算的结果仍是向量，准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解．
2．(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征．
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
3．(1)非零向量共线的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(2)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(3)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(4)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考点　　平面向量的线性运算
例3　(2022·广东模拟)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)
A.＝12＋3
B.＝12－3
C.＝－12＋3
D.＝－12－3
答案　A
解析　已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，所以16＝12＋3＝12(＋)＋3(＋)＝15＋12＋3，即＝12＋3.故选A.
例4　如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－ B．－＋
C．－＋ D．－
答案　B
解析　根据平面向量的运算法则得＝＋，＝，＝－.因为＝＋，＝，所以＝－＋.故选B.
　3.(2022·合肥检测)在△ABC中，＝.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D．a－b
答案　A
解析　解法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b.故选A.
解法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A.
解法三：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A.
　
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
考点　　由向量的线性运算求参数
例5　(2021·河南八市联考)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
　4.在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
答案　　－
解析　由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝－，所以x＝，y＝－.
　与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
考点　　共线向量定理的应用
例6　(2021·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　)
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
答案　A
解析　∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1.故选A.
例7　设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
解　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴与共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
　5.在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1
C．1 D．4
答案　B
解析　∵＝，∴＝5.又＝m＋，∴＝m＋2，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.
6．(2022·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
答案　－
解析　由题意知，A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，∴＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，∴解得k＝－.
　利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 与共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
二、核心素养提升
例1　(多选)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　)
A．P为线段OC的中点时，μ＝
B．P为线段OC的中点时，μ＝
C．无论μ取何值，恒有λ＝
D．存在μ∈R，λ＝
答案　AC
解析　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC中点时，则＝，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误．故选AC.
例2　已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
答案　D
解析　由＝＋得－＝，所以＝·，所以点P在射线AB上．故选D.
课时作业
一、单项选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，可以比较大小；③错误，当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．故选A.
2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A.
4．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
答案　D
解析　因为＝＋，根据向量的三角形法则，有＝＋，则可知＝，故四边形ABCD为平行四边形．故选D.
5. (2022·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)
A.＋ B．－
C.＋ D．－
答案　B
解析　由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝－＝－＝－.故选B.
6. 如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，　①
由＝λ＋μ，得·＝·(λ＋μ)，即＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，　②
由①－②，得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.
7．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案　B
解析　作∠BAC的平分线AD.因为＝＋λ，所以＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，所以＝·，所以∥，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B.
8．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3××(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选D.
二、多项选择题
9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
答案　AB
解析　对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由平面向量共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C错误；对于D，已知在梯形ABCD中，＝a，＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.
10．如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝－
D.＝＋
答案　ABC
解析　由＝＋＝＋，知A正确；由＝(＋)，得＝(＋)，知B正确；由＝＝－＝－，知C正确；由N为线段DC的中点，知＝＋＝－，知D错误．故选ABC.
三、填空题
11．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．
答案　－
解析　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
12．在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
答案　－
解析　因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，所以＝，所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.
13．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
答案　3
解析　如图，由已知条件得＋＝－，∴M为△ABC的重心，∴＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.
14. (2022·珠江模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
答案　
解析　∵＝＋＝－，∴＝m＋n＝m＋n－n＝＋n，∵C，P，B三点共线，∴m－n＋n＝1，即m＋n＝1，∴＋＝＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝＝，即m＝4－2，n＝时取等号．
四、解答题
15．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
解　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有
解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
16. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
解　(1)在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明：因为＝－a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝，
所以＝，与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．
17．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n为正实数．
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值．
解　(1)证法一：设＝a，＝b.由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而消去λ得＋＝3.
证法二：如图，延长OG交AB于点D，
∵G为△OAB的重心，
∴D为AB的中点，
∵＝m，＝n，
∴＝，＝，＝＝×(＋)＝＋＝＋，
∵P，G，Q三点共线，
∴＋＝1，
∴＋＝3.
(2)由(1)知，＋＝3，于是m＋n＝(m＋n)＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.

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