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7．2　平面向量基本定理及坐标表示
(教师独具内容)
1．理解平面向量基本定理及其意义．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．会用坐标表示平面向量的加减运算．
2．会用坐标表示平面向量的加减运算与数乘运算．能用坐标表示平面向量共线的条件．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要是选择题或填空题，命题的重点是平面向量共线的坐标表示．
2．主要考查平面向量的坐标运算，根据给出点的坐标，求向量的坐标以及利用向量共线求参数的值或范围．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
注：(1)e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
5．常用结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
(4)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案　D
解析　∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝.∴a－b＝＝(－1,2)．故选D.
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
答案　A
解析　＝＋＝(4,6)．故选A.
4．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案　BD
解析　设b＝(x，y)，依题意有解得或故选BD.
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为CO的中点．若＋＝λ，则λ＝________.
答案　
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＋＝＝2，又＝，∴＋＝，又＋＝λ，故λ＝.
1．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A. B．2
C．5 D．50
答案　A
解析　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.故选A.
2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案　
解析　因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝.
3．(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案　
解析　由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝.
一、基础知识巩固
考点　　平面向量基本定理的应用
例1　在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
答案　C
解析　＝＋＝＋＝(－)－＝－－＝－a－b.故选C.
例2　(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
答案　
解析　由题图可设＝x(0因为＝λ＋μ，与不共线，
所以λ＝，μ＝x，所以＝.
例3　如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，＝，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解　(1)由题意知，A是CB的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，得解得
故实数λ的值为.
　1. (2022·河南联考)如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　解法一：由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，则＝(＋)，又＝，＝n，从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，又M，P，N三点共线，所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ.又，不共线，所以解得λ＝3，n＝.故选A.
解法二：设＝λ，因为＝，＝n，所以＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，又知＝2，所以＝＝＋，所以解得λ＝，n＝.故选A.
2. 如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示.
解　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b.
又A，M，D三点共线，
∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴消去t，得m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.①
∵C，M，B三点共线，∴与共线．
∴存在实数t1，使得＝t1.
∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∴a＋nb＝t1，
∴消去t1，得4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.
　应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
考点　　平面向量的坐标运算
例4　向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
答案　4
解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
例5　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)解法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
解法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．
又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
　3.(2021·长沙模拟)设向量a＝(1,1)，b＝(3，－2)，则3a－2b＝(　　)
A．(－3,7) B．(0,7)
C．(3,5) D．(－3,5)
答案　A
解析　因为向量a＝(1,1)，b＝(3，－2)，所以3a－2b＝3(1,1)－2(3，－2)＝(3,3)－(6，－4)＝(－3,7)．故选A.
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B．
C．(3,2) D．(1,3)
答案　A
解析　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，∴∴故选A.
　
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
考点　　向量共线的坐标表示
例6　(2022·惠州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．
答案　－2
解析　∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)，又a－b与b共线，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.
例7　已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.
答案　45°
解析　由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝，
所以cos2θ＝，∴cosθ＝或cosθ＝－，又θ为锐角，∴θ＝45°.
例8　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3,3)
解析　解法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，
因为＝(4,4)，且与共线，
所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．
例9　设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
答案　
解析　由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即整理得2a＋b＝2，所以＋＝(2a＋b)＝≥＝(当且仅当b＝a时等号成立)．
　5.已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝(　　)
A．－3 B．3
C．1 D．－1
答案　D
解析　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，所以＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D.
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)．若c∥(a＋b)，则m＝________.
答案　－1
解析　因为a＋b＝(1，m－1)，c∥(a＋b)，所以－(m－1)＝2，解得m＝－1.
7．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
答案　－
解析　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
二、核心素养提升
例1　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．1 B．
C. D．2
答案　B
解析　解法一：如图，设∠AOC＝α，则α∈.过点C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则四边形ODCE是平行四边形，所以＝＋＝cosα＋sinα，又＝x＋y.所以x＝cosα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝sin.又α∈，则≤α＋≤，所以1≤x＋y≤，即x＋y的最大值是.故选B.
解法二：因为点C在以O为圆心的圆弧A上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1≥，所以x＋y≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x＋y的最大值为.故选B.
例2　在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．
答案　1
解析　以点A为原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D，所以＝(1,0)，＝.设，的夹角为θ，则P，所以＝，则由题意有＝λ(1,0)＋μ，
所以所以所以λ＋μ＝－sinθ＋cosθ＋sinθ＝sinθ＋cosθ＝sin.因为0<θ<，所以<θ＋<，所以sin的最大值为1，即λ＋μ的最大值为1.
课时作业
一、单项选择题
1．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在线段AB上，则实数m＝(　　)
A．－12 B．13
C．－13 D．12
答案　C
解析　因为点C在线段AB上，所以与同向．又＝(－7，－2)，＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13.故选C.
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝(　　)
A.a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
答案　D
解析　取a＝，b＝作为基底，则＝a＋b.因为BF＝3FE，所以＝＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b.故选D.
3. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)
A．(2,2)
B．(－2，－2)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
答案　D
解析　因为A(2,2)，B(1,1)，所以＝(－1，－1)．故选D.
4．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)
A. B．
C．－3 D．0
答案　D
解析　因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0.故选D.
5．(2021·山东省枣庄、滕州高三上期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)∥c，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
答案　C
解析　由题意a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，∵(a－λb)∥c，∴2(1－3λ)＝1＋λ，解得λ＝.故选C.
6．(2021·太原模拟)设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
答案　A
解析　向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意．故选A.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
答案　A
解析　因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.故选A.
8. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD.若P为△ABC边上的一个动点，且＝m＋n，则下列说法正确的是(　　)
A．满足m＝的点P有且只有一个
B．m－n的最大值不存在
C．m＋n的取值范围是
D．满足m＋n＝1的点P有无数个
答案　C
解析　A中，当P与C重合时，P为AB的中点时，m＝，所以满足m＝的P点有两个，A错误；B中，当P与B重合时，m－n取最大值为1，B错误；C中，当P与A重合时，m＋n有最小值0，当P与C重合时，m＋n有最大值，C正确；D中，连接BD交AC于E，P与E，B重合时，m＋n＝1，所以满足m＋n＝1的点P有两个，D错误．故选C.
二、多项选择题
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
答案　ABD
解析　若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．故选ABD.
10．(2022·辽宁盘锦高三期末)在直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝2，点M，N在过点P的直线上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　　)
A.＋为常数
B．m＋2n的最小值为3
C．m＋n的最小值为
D．m，n的值可以为m＝，n＝2
答案　ABD
解析　如图所示，由＝2，可得－＝2(－)．∴＝＋.若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则＝，＝，
∴＝＋.∵M，P，N三点共线，∴＋＝1，∴＋＝3.当m＝时，n＝2，故A，D正确；m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确；m＋n＝(m＋n)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当n＝m时，等号成立，故C错误．故选ABD.
三、填空题
11．设向量a＝(2,1)，b＝(m，－4)，若(a＋b)∥(a－b)，则实数m＝________.
答案　－8
解析　因为a＝(2,1)，b＝(m，－4)，所以a＋b＝(m＋2，－3)，a－b＝(2－m,5)，又因为(a＋b)∥(a－b)，所以(m＋2)×5＝－3×(2－m)，解得m＝－8.
12. 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　设＝a，＝b，则＝－a＋b，＝a＋b，由＝λ＋μ＝λ＋μ＝a＋b，得解得所以λ＋μ＝.
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是________．
答案　或0
解析　如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0，3)．由＝m＋，
得＝m(＋)＋(＋)，整理得＝－2m＋(2m－3)＝－2m(4,0)＋(2m－3)(0,3)＝(－8m,6m－9)．又因为AP＝9，所以64m2＋(6m－9)2＝81，解得m＝或m＝0.当m＝0时，＝(0，－9)，此时C，D重合，CD＝0；当m＝时，直线PA的方程为y＝x，直线BC的方程为＋＝1，联立两直线方程可得x＝m，y＝3－2m，即D，∴CD＝＝.∴CD的长度是或0.
14. 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝2，AB＝6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
答案　
解析　如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,2)，C(2,2)，B(6,0)，
则直线BD的方程为x＋3y－6＝0，点C到BD的距离d＝＝.所以以C为圆心且与BD相切的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝.设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(0,2)，＝(6,0)，又＝m＋n(m，n∈R)，所以(x，y)＝(6n,2m)，则x＝6n，y＝2m，所以n＝，m＝，所以m＋n＝＋.因为动点P在圆上，所以(x－2)2＋(y－2)2＝.设直线＋－b＝0与(x－2)2＋(y－2)2＝有交点，则圆心C(2,2)到＋－b＝0的距离为≤，解得1≤b≤，则1≤＋≤，所以1≤m＋n≤.故m＋n的取值范围是.
四、解答题
15．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)解法一：∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
解法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，
当cosθ＝0时，sinθ＝0，与sin2θ＋cos2θ＝1
矛盾，所以cosθ≠0，故tanθ＝，
所以＝
＝＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
即1－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5，
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－，
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，
所以2θ＋＝或2θ＋＝，
因此θ＝或θ＝.

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