资源简介

7．4　正弦定理、余弦定理
(教师独具内容)
1．借助向量的运算，通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．通过教材实例理解正弦定理、余弦定理的推导，结合教材实例掌握正弦定理、余弦定理及其应用．
2．能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题．能够综合运用余弦定理、正弦定理解决实际问题．
3．重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养．
(教师独具内容)
1．解三角形问题是高考的高频考点，属于中低档题目，三种题型都有可能考查，大多放在解答题的第一题或第二题，命题的关注点在于两个定理的简单应用．正确掌握正弦定理与余弦定理，这是实现边角互化的基础；熟练掌握三角恒等变换，这是准确简化已知条件求角的基础．
2．高考中经常将三角恒等变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角恒等变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
3．正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化．正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律．
4．涉及应用正弦定理、余弦定理的另一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)＝.(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
余弦定理的常见变形 (1)cosA＝.(2)cosB＝.(3)cosC＝
注：(1)应用正弦定理及三角形内角和定理可以求解以下两类解三角形问题：已知两角和任一边，求其他的边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
(2)应用余弦定理可以求解以下三类解三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和求其他两个内角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)．
(2)S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
(4)S△ABC＝，其中p＝(a＋b＋c)．
4．常用结论
(1)三角形中的三角函数关系
①sin(A＋B)＝sinC；
②cos(A＋B)＝－cosC；
③sin＝cos；
④cos＝sin；
⑤在△ABC中，最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是；
⑥在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB，sinB＞cosC，sinC＞cosA.
(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列 B＝，A＋C＝.
(3)在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(4)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝bcosA＋acosB.
(5)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞b sinA＞sinB cosA＜cosB.
(6)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(7)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c等．
5．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinAb
解的个数 1 2 1 1
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.故选C.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝(　　)
A. B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　因为A＝，B＝，所以C＝.由＝，得a＝＝3.故选C.
4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．a2＝b2＋c2－2bccosA
B．asinB＝bsinA
C．a＝bcosC＋ccosB
D．acosB＋bcosA＝sinC
答案　ABC
解析　对于A，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正确；对于B，由正弦定理得＝，∴asinB＝bsinA，故B正确；对于C，由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝a，故C正确；对于D，由余弦定理得acosB＋bcosA＝a·＋b·＝c≠sinC，故D错误．故选ABC.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
答案　2
解析　因为＝，所以sinB＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.
1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
答案　D
解析　解法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D.
解法二：由正弦定理＝，得sinC＝，从而cosC＝(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D.
2．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　∵在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，∴AB＝3，∴cosB＝＝＝.故选A.
3．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解　(1)因为2sinC＝3sinA，所以2c＝2(a＋2)＝3a，
则a＝4，故b＝5，c＝6，
cosC＝＝，所以C为锐角，
则sinC＝＝，
因此S△ABC＝absinC＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cosC＝
＝＝<0，
解得－1由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，
可得a>1，
又a∈Z，故a＝2.
一、基础知识巩固
考点　　利用正弦、余弦定理解三角形
例1　在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B．
C． D．2
答案　A
解析　因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4.故选A.
例2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝asinB.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，B＝，求b，c的长．
解　(1)由bcosA＝asinB及正弦定理，得sinBcosA＝sinAsinB，
又sinB≠0，所以tanA＝，因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由bcosA＝asinB，a＝2，B＝，得b×＝×2×，解得b＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋c2－2×4×c×＝8，
即c2－4c＋8＝0，解得c＝2＋2或c＝2－2，又C＝π－A－B＝，C＞B，所以c＝2＋2.
　1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　∵asinBcosC＋csinBcosA＝b，∴由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，即sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB.∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，即sinB＝.∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝.故选A.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝30°，C＝105°，则b＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
答案　C
解析　∵A＝30°，C＝105°，A＋B＋C＝180°，∴B＝45°.由正弦定理可知＝，即＝，解得b＝2.故选C.
　应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝，sinB＝，sinC＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
考点　　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例3　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　B
解析　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．故选B.
例4　(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形
C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案　ACD
解析　∵tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC>0，∴A，B，C均为锐角，∴A正确；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴B错误；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴D正确．故选ACD.
　3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosA＝bcosB，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
答案　D
解析　因为acosA＝bcosB，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A，B∈(0，π)，故可得A＝B或A＋B＝.由c2＝a2＋b2－ab，得cosC＝，又C∈(0，π)，故可得C＝.综上所述，A＝B＝C＝，故△ABC是等边三角形．故选D.
4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是(　　)
A．sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)
B．＝
C．cos2＝
D．acosB－bcosA＝c
答案　ACD
解析　sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，利用正弦定理角化边有a＋b＝c(cosA＋cosB)，整理得ccosB＋bcosC＋acosC＋ccosA＝c(cosA＋cosB)，有(a＋b)cosC＝0，因为a＋b＞0，所以cosC＝0 C＝，故A正确；可知当三角形为等边三角形时，＝同样成立，故B错误；cos2＝，根据半角公式，得＝ ccosB＝a ccosB＝ccosB＋bcosC，整理得bcosC＝0 C＝，故C正确；acosB－bcosA＝c，因为在任意的三角形中都有acosB＋bcosA＝c，所以两式相减可得2bcosA＝0 A＝，故D正确．故选ACD.
　判断三角形形状的方法
(1)化边：通过因式分解、配方等得到边的相对应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论)．
注：(1)钝角三角形：a2＞b2＋c2或A＞90°.
(2)锐角三角形：a为最大边，且满足a2＜b2＋c2或A为最大角，且A＜90°.
考点　　与三角形面积有关的问题
例5　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解　(1)由已知条件可得tanA＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)解法一：如图，由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1，又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.
解法二：由余弦定理得cosC＝，
在Rt△ACD中，cosC＝，所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2×＝.
解法三：∠BAD＝，由余弦定理得cosC＝，在Rt△ACD中，cosC＝，所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠BAD＝.
例6　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为，且a＋c＝8，求边b的长度．
解　(1)由正弦定理及诱导公式得＝－，整理得2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，
即2sinAcosB＋sinA＝0，
即sinA(2cosB＋1)＝0，
∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，
∴cosB＝－，又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵△ABC的面积为，
∴S△ABC＝acsinB＝ac＝，可得ac＝15，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝82－15＝49，因此b＝7.
例7　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解　(1)在△ABC中，其外接圆的半径是1，
∴＝＝＝2R＝2，
∴sinA＝，sinB＝，sinC＝.
又2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，
∴2＝(a－b)·，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵C＝，∴A＋B＝，即B＝－A.
∵＝＝2，即a＝2sinA，b＝2sinB，
∴S△ABC＝absinC＝2sinAsinBsin
＝sinAsinB＝sinAsin
＝sinA＝sinAcosA＋sin2A＝sin2A＋(1－cos2A)＝＋＝sin＋，
∵A∈，
∴2A－∈，
当2A－＝，即A＝时，△ABC的面积取得最大值为＋.
　5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．
C．3 D．
答案　B
解析　由条件可知c2＝a2＋b2－2ab＋6，①
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，②
所以由①②可知6－2ab＝－ab，即ab＝6，则△ABC的面积为S＝absinC＝×6×＝.故选B.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
答案　6
解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，a＝4，∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解　(1)由正弦定理可得，sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA，从而可得，sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA，
又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是cosA＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，
4＝b2＋c2－2bc·≥2bc－bc，当且仅当b＝c时取等号，
所以bc≤4(2＋)，所以S＝bcsinA≤2＋.所以△ABC面积的最大值为2＋.
　
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
二、核心素养提升
例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c的值为________．
答案　4
解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc.又＝2sinAsinB，故由正、余弦定理可得＝2ab，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.又b＝6，所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4.
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sinC＝.若a＋b＝11，则△ABC的面积为________．
答案　6
解析　在△ABC中，因为sinC＝，所以cosC＝±.当cosC＝时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得49＝121－2ab－，所以ab＝30.所以解得或所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝6.当cosC＝－时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，此时方程组无解．综上，△ABC的面积为6.
例3　已知四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，E为AB上一点，AC与DE相交于点F，若DF＝2FE，则的值为________．
答案　
解析　如图，在矩形ABCD中，CD＝AB＝，CD∥AB，则△AEF∽△CDF，所以＝＝，所以AE＝.在△DAE中，由正弦定理得＝＝＝.
“解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，易出现公式记忆不准确；在三角函数公式的变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等问题．解决此类问题要强化以下三个意识：一、边角互化；二、函数与方程思想的应用；三、认知图形．
课时作业
一、单项选择题
1．已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于(　　)
A．150° B．90°
C．60° D．30°
答案　D
解析　由正弦定理，得＝，得sinA＝.又a2．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　解法一：bsin2A＝asinB，则sinB·2sinAcosA＝sinAsinB，因为sinAsinB≠0，所以cosA＝，又A∈(0，π)，故A＝.由c＝2b，得sinC＝2sinB＝2sin，化简整理得cosC＝0，且C∈(0，π)，故C＝，B＝，＝＝＝.故选D.
解法二：由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝，又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋a＋c)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案　C
解析　因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．故选C.
4．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案　C
解析　如图，设BC边上的高为AD，则BC＝3AD.结合题意知BD＝AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD，AB＝AD.由余弦定理，得cosA＝＝＝－.故选C.
5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．7.5 B．7
C．6 D．5
答案　D
解析　解法一：∵bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.故选D.
解法二：由正弦定理得sinBcosA＋sinAcosB＝csinC，即sin(A＋B)＝sinC＝csinC，所以c＝1，故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.故选D.
6．(2022·山东菏泽一中模拟)在△ABC中，下列四个命题中不正确的是(　　)
A．若AB．若sinAC．若A>B，则>
D．若Acos2B
答案　C
解析　若A0，故C不正确；若A1－sin2B，所以cos2A>cos2B，故D正确．故选C.
7．(2022·河北唐山模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝(　　)
A. B．2
C． D．
答案　C
解析　由题意，得2bcosB＝acosC＋ccosA，由正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA，即2sinBcosB＝sin(A＋C)＝sinB，故cosB＝，则B＝.又△ABC外接圆的半径为1，则b＝2RsinB＝.故选C.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝.则S△ABC＝(　　)
A. B．
C． D．2
答案　C
解析　因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝.故选C.
二、多项选择题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)
A．b＝7，c＝3，C＝30°
B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60°
D．a＝20，b＝30，A＝30°
答案　BC
解析　对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝＞1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．故选BC.
10．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且＋＝，则(　　)
A．a，b，c成等比数列
B．sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶
C．若a＝4，则S△ABC＝
D．A，B，C成等差数列
答案　BC
解析　因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝2sinB，即a＝2b.又因为＋＝，所以＋＝＝＝＝，即sin2C＝sinAsinB，c2＝ab，所以a，c，b成等比数列，故A错误；因为a＝2b，c2＝ab，所以a∶b∶c＝2∶1∶，即sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶，故B正确；若a＝4，则b＝2，c＝2，则cosB＝＝，因为0＜B＜π，所以sinB＝.故S△ABC＝×4×2×＝，故C正确；若A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C.又因为A＋B＋C＝π，则B＝.因为a∶b∶c＝2∶1∶，设a＝2k，b＝k，c＝k，k＞0，则cosB＝＝≠，故D错误．故选BC.
三、填空题
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则c＝________.
答案　3
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去)．
12．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
答案　4＋4
解析　由cosB＝，得sinB＝，由三角形面积公式可得acsinB＝ac×＝4，则ac＝12　①，由b2＝a2＋c2－2accosB，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24　②.联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
13．在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC的面积S的最大值为________．
答案　
解析　由C＝60°及＝＝2，可得c＝.由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，∴S＝absinC≤×3×＝，∴△ABC的面积S的最大值为.
14．已知在△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.
答案　
解析　因为AC＝，BC＝，△ABC的面积为＝AC·BCsin∠ACB＝×××sin∠ACB，所以sin∠ACB＝，所以∠ACB＝或，若∠ACB＝，则∠BDC＝<∠BAC，可得∠BAC＋∠ACB>＋>π，
与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，所以在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝＝，所以AB＝AC，所以B＝，所以在△BDC中，由正弦定理可得CD＝＝＝.
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A＋sinAsinB.
(1)求角C的大小；
(2)若A＝，△ABC的面积为4，M为BC的中点，求AM.
解　(1)由cos2B－cos2C＝sin2A＋sinAsinB，得sin2C－sin2B＝sin2A＋sinAsinB.
由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，
所以cosC＝＝＝－.
因为0(2)因为A＝，所以B＝.所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝.
因为S△ABC＝absinC＝a2＝4，
所以a＝4.
在△MAC中，AC＝4，CM＝2，C＝，
所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CMcosC＝16＋4－2×4×2×＝28，
所以AM＝2.
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC外接圆的直径；
(2)求a＋c的取值范围．
解　(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.根据正弦定理得，△ABC外接圆的直径2R＝＝＝1.
(2)解法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.
由(1)知△ABC外接圆的直径为1，根据正弦定理得＝＝＝1，
所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin＝＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜，
所以＜sin≤1，
从而＜sin≤，
所以a＋c的取值范围是.
解法二：由(1)知，B＝，
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，
因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤，
又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤，所以a＋c的取值范围是.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a－c)(sinA＋sinC)＝(b－c)sinB.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2bcosC，试判断△ABC的形状并给出证明．
解　(1)∵(a－c)(sinA＋sinC)＝(b－c)·sinB，∴由正弦定理得(a－c)(a＋c)＝(b－c)b，
∴＝，根据余弦定理知cosA＝.又角A为△ABC的内角，∴A＝.
(2)△ABC为等边三角形．证明如下：
∵a＝2bcosC，
∴由正弦定理得sinA＝2sinBcosC.
由三角形内角和公式得A＝π－(B＋C)，
故sinA＝sin(B＋C)，
∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，
整理得sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin(B－C)＝0，
又B－C∈(－π，π)，
∴B＝C.又由(1)知A＝，
∴△ABC为等边三角形．

展开更多......

收起↑