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7.3　平面向量的数量积及应用
(教师独具内容)
1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会计算平面向量的数量积．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及向量投影的意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系．能用坐标表示平面向量的数量积，能运用数量积表示两个向量的夹角，能用坐标表示平面向量垂直的条件，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
2．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．
3．重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要是选择题或填空题，命题的重点是平面向量的夹角和模的求解问题以及平面向量的垂直问题．
2．考查方向有四个方面：一是考查平面向量数量积的含义：根据平面向量的模与夹角求平面向量的数量积或结合平面向量的线性运算进行考查；二是考查平面向量的夹角：根据向量的数量积求两向量的夹角；三是考查平面向量的模：利用向量数量积的公式求向量数量积的值或由模的值求参数等；四是考查平面向量垂直的坐标表示：利用平面向量垂直的坐标表示求参数．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．向量的夹角
(1)已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)当θ＝0时，a与b同向；
当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，a与b反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
注：向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5．平面向量数量积的有关结论
(1)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
(2)①两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
②平面向量数量积运算的常用公式
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的结果是向量．(　　)
(2)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　cosθ＝＝＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.故选B.
3．(2021·辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知向量a，b，a⊥b，|a|＝1，若|a＋2b|＝5，则|b|＝(　　)
A. B．2
C．3 D．2
答案　A
解析　因为a⊥b，所以a·b＝0.又|a＋2b|＝5，所以|a|2＋4|b|2＝25，所以|b|＝.
4．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a||b|cosθ＝|a||b|，所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，所以a∥b.当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a||b|cosθ＝±|a||b|.所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
5．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案　A
解析　取点O为BC的中点，根据题意作图，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴在上的投影向量为＝.故选A.
1．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
答案　AC
解析　对于A，因为||＝＝1，||＝ ＝1，所以A正确；对于B，因为||＝＝，||＝＝，所以B错误；对于C，因为·＝(1,0)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos(α＋β)，·＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以·＝·，所以C正确；对于D，因为·＝(1,0)·(cosα，sinα)＝cosα，·＝(cosβ，－sinβ)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(2β＋α)，所以D错误．故选AC.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
答案　－
解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
3．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
答案　3
解析　由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3.
4．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则＝________.
答案　－
解析　c＝a＋kb＝(3,1)＋k(1,0)＝(k＋3,1)，由a⊥c，得a·c＝0，所以3(k＋3)＋1＝0，解得k＝－.
5．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案　
解析　解法一：由题设知a－λb＝(1－3λ，3－4λ)．由(a－λb)⊥b，得(a－λb)·b＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得λ＝.
解法二：因为a＝(1,3)，b＝(3,4)，所以a·b＝1×3＋3×4＝15.由(a－λb)⊥b，得(a－λb)·b＝a·b－λb2＝15－λ(32＋42)＝15－25λ＝0，解得λ＝.
6．(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案　
解析　因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a＋b|＝＝＝＝1，所以2a·b＝－1，所以|a－b|＝＝＝.
7．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
答案　
解析　由题意可得a·b＝1×1×cos45°＝，∵ka－b与a垂直，∴(ka－b)·a＝0，∴ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
一、基础知识巩固
考点　　平面向量数量积的运算
例1　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
答案　B
解析　如图，由条件可知＝－，＝＋＝＋＝＋，所以·＝(－)·＝2－·－2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，所以·＝－－＝.
例2　在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案　12
解析　解法一(定义法)：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
解法二(坐标法)：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
　1.已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　A
解析　∵||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.故选A.
2．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
答案　－1
解析　解法一：在等腰三角形ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos30°＋5×2×cos180°－12－2×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.
解法二：在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABDcos30°－sin∠ABDsin30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.
3．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
答案　
解析　在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×12×cos60°＋××12×cos120°＝.
　解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
考点　　平面向量数量积的应用
例3　已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)
A．6 B．3
C．2 D．3
答案　D
解析　∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos，∴|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3.故选D.
例4　已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　D
解析　∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为.故选D.
例5　已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
答案　
解析　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×12×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，又a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.
例6　若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
答案　∪
解析　∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为∪.
例7　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
答案　
解析　因为⊥，所以·＝0.又＝λ＋，＝－，所以(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0，解得λ＝.
　4.(2021·山东省德州市高三上期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)·(a＋3b)＝－13，则a与b的夹角为(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　由(a－b)·(a＋3b)＝a2＋2a·b－3b2＝－13，即2a·b－11＝－13，得a·b＝－1，则cosθ＝＝－.∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a与b的夹角为.
5．(2022·昆明调研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)
A. B．2
C． D．10
答案　C
解析　解法一：因为a＝(－1,2)，所以2a＝(－2，4)，因为b＝(1,3)，所以2a－b＝(－3,1)，所以|2a－b|＝.故选C.
解法二：|2a－b|＝ ＝ ，∵|a|＝＝，|b|＝＝，a·b＝－1×1＋2×3＝5，∴|2a－b|＝＝.故选C.
6．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　A
解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×＝4，则||＝2.故选A.
7．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)
A. B．
C．6 D．4
答案　A
解析　因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与的夹角为60°，所以·＝3×2×cos60°＝3，所以·＝(－)·(m＋n)＝(m－n)·－m||2＋n||2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝.故选A.
8．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案　5
解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|＋3|＝(0≤y≤b)．当y＝b时，|＋3|min＝5.
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
二、核心素养提升
例1　设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
答案　A
解析　a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1.故选A.
例2　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
答案　C
解析　设⊥，且＝a，＝b，＝c，D为线段AB的中点，因为|a|＝|b|＝1，所以AB＝，AD＝，(a－c)·(b－c)＝·＝||2－||2＝||2－＝0，所以||＝，上式表明，是有固定起点，固定模长的动向量，点C的轨迹是以为半径的圆，因此|c|的最大值就是该轨迹圆的直径.故选C.
例3　如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
答案　2
解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则·＝2－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号，所以·的最大值为2.
极化恒等式
(1)极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．
(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即a·b＝(||2－||2)．
(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝2－2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．
课时作业
一、单项选择题
1. 如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，下列条件能确定·的值的是(　　)
A．已知圆的半径长
B．已知弦长|AB|
C．已知∠OAB的大小
D．已知点O到弦AB的距离
答案　B
解析　如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得C是AB的中点，所以·＝·(＋)＝·＝·＝||2，所以·的大小只跟||有关，故已知弦长|AB|可以确定·的大小．故选B.
2．若等边三角形ABC的边长为1，点D满足＝λ(λ＞1)，若·＝3，则实数λ的值为(　　)
A. B．2
C． D．3
答案　B
解析　如图，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，所以·＝·(＋)＝·＋·＝λ×1×cos60°＋λ×(λ－1)cos0°＝λ2－＝3，解得λ＝2(负值舍去)．故选B.
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，则·＋·＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案　D
解析　如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴·＋·＝·(＋)＝2＋2＋·＝×22＋×22＋0＝4.故选D.
4．已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)·＝4，若AD＝，则·的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案　A
解析　由AD为高，得·＝·＝0，因为(＋)·＝4，所以(＋＋＋)·＝4，即·＝2，即||||cos0＝2，所以||＝2，·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝2＋||·||cosπ＝2－||||＝PD2－AD2＝4－2＝2.故选A.
5. 在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BC边的中点，·的值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　D
解析　根据题意，可得AB＝2，AD＝CD＝1，AC＝，∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝45°，在△ABC中，根据余弦定理可得，BC＝
＝，即AC2＋BC2＝AB2，即△ABC为等腰直角三角形，又因为E为BC边的中点，故有＝＋，因此可得·＝·＝·＋2＝×2××cos45°＋×()2＝2.故选D.
6．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
答案　B
解析　(建系法)：建立平面直角坐标系如图(1)所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设P点的坐标为(x，y)，
图(1)
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－，当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.
(几何法)：如图(2)所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，
图(2)
则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．又||＋||＝||＝2×＝，∴||||≤2＝2＝，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故选B.
7．在△ABC中，A＝，B＝，BC＝2，AC的垂直平分线交AB于点D，则·＝(　　)
A．－1 B．2
C．3 D．－3
答案　D
解析　设AC的中点为M，在△ABC中，∵A＝，B＝，BC＝2，∴＝ AC＝＝，∴·＝·(＋)＝·＋·＝－2＝－3.故选D.
8．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D．
答案　C
解析　∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)，∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，∴2(2k－3)＋1×(－6)＝0，解得k＝3.故选C.
二、多项选择题
9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b＋3a|＝，则(　　)
A．a⊥b B．|a－b|＝1
C．|a＋b|＝3 D．a与b的夹角为60°
答案　BD
解析　因为|b＋3a|＝，即|b|2＋9|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＝1＋9＋6cos〈a，b〉＝10＋6cos〈a，b〉＝13，所以cos〈a，b〉＝，即向量a与b的夹角为60°，故D正确，A错误；又因为|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝1＋1－2×＝1，所以|a－b|＝1，故B正确；|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝1＋1＋2×＝3，所以|a＋b|＝，故C错误．故选BD.
10．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，下列说法正确的是(　　)
A．a·(a－b)＝0
B．(a－2b)⊥(a＋2b)
C． λ∈R，使|a－λb|＝
D． λ∈R，|a－λb|≥|a－b|恒成立
答案　BD
解析　对于A，a·(a－b)＝|a|2－a·b＝4－1＝3，故A错误；对于B，∵(a－2b)·(a＋2b)＝|a|2－4|b|2＝4－4＝0，∴(a－2b)⊥(a＋2b)，故B正确；对于C，由|a－λb|＝，得(a－λb)2＝，即|a|2－2λ(a·b)＋λ2|b|2＝，∴4－2λ＋λ2＝，整理，得4λ2－8λ＋7＝0，Δ＝64－112＝－48<0，方程无解，故C错误；若|a－λb|≥|a－b|恒成立，则(a－λb)2≥(a－b)2，即a2－2λ(a·b)＋λ2b2≥a2－2a·b＋b2，整理，得(λ－1)2≥0，此式恒成立，即 λ∈R，|a－λb|≥|a－b|恒成立，故D正确．故选BD.
三、填空题
11．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D为“弦”BC上一点(不含端点)，且△ABD满足勾股定理，则(－)·＝________.
答案　
解析　由等面积法可得AD＝＝，依题意可得，AD⊥BC，所以(－)·＝·＝||2＝.
12. 如图，在△ABC中，D为BC中点，AD⊥AB，AD＝1，则·＝________.
答案　2
解析　由题图可知·＝(＋)·＝(＋2)·＝[＋2(－)]·＝(－＋2)·＝－·＋22＝2×12＝2.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且·＝4，则△ABC的面积S为________．
答案　2
解析　因为sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，因为·＝4，所以·＝||·||cosA＝bccosA＝bc＝4，所以bc＝8，故S＝bcsinA＝×8×＝2.
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且(2a－b)⊥b，则a与b的夹角的余弦值是________．
答案　
解析　∵向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且(2a－b)⊥b，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×1××cos〈a，b〉－3＝0，∴cos〈a，b〉＝＝.∴a与b的夹角的余弦值为.
四、解答题
15．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
16．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝sinx.
若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cosx≠0，于是tanx＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
17. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解　(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝2＋，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为.
(2)由题意得C(cosθ，sinθ)，m＝＝(cosθ＋1，sinθ)，则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.

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