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7．6　复数
(教师独具内容)
1．通过方程的解，认识复数．理解复数的代数表示与分类及其几何意义，理解两个复数相等的含义．掌握共轭复数的概念．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
2．掌握复数代数形式的加、减运算法则．会用复数代数形式的加、减运算法则进行简单的复数加、减运算．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．掌握复数乘、除运算的运算法则．会用复数乘、除运算的运算法则进行简单的复数乘、除运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．重点提升数学抽象、数学运算和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．本考点是高考必考内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式考查．命题的关注点在复数的乘法与除法运算．熟练掌握复数的基本运算法则，准确理解复数的相关概念是解决问题的关键．
2．考查方向有三个方面：一是复数的四则运算，主要考查复数的乘法与除法运算；二是复数的概念，以复数的基本运算为背景，考查复数的模、共轭复数以及实部、虚部等基本概念；三是复数的几何意义，与复数的基本运算相结合主要考查复数对应的点以及模的几何意义的应用．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．复数的定义与分类
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
(2)分类
满足条件(a，b∈R)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
2．复数的有关概念
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)
3．复数的几何意义
复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)平面向量
4．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(4)复数乘法的运算定律
对于任意z1，z2，z3∈C，复数乘法满足以下运算律：
交换律：z1z2＝z2z1；
结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
5．常用结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为________．
答案　1－i
解析　因为复数z＝＝＝1＋i，所以复数z的共轭复数＝1－i.
3．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.
答案　1
解析　因为(x－i)2＝x2－2xi＋i2＝x2－1－2xi为纯虚数，所以解得x＝1.
4．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为________．
答案　－
解析　解法一：z＝＝＝－－i，所以z的虚部是－.
解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2i(a＋bi)＝1－i，即－2b＋2ai＝1－i，所以－2b＝1，得b＝－.
5．已知i为虚数单位，复数z＝－－i的模为________．
答案　
解析　|z|＝＝.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
答案　C
解析　z(＋i)＝(2－i)(2＋i＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故选C.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限．故选A.
3．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1＋i.故选B.
4．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi,2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.故选C.
5．(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
答案　C
解析　由iz＝4＋3i两边同时乘i，得－z＝4i－3，所以z＝3－4i.故选C.
6．(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　)
A．－ B．－
C. D．
答案　D
解析　因为＝＝＋i，所以复数的虚部为.故选D.
一、基础知识巩固
考点　　复数的分类及有关概念
例1　已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－1或1 B．1
C．－1 D．3
答案　C
解析　∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴∴a＝－1.故选C.
例2　已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
答案　C
解析　由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i.故选C.
例3　设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D．
答案　C
解析　因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.故选C.
　1.已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　易知z＝＋＝＋i，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.
2．若(m2－m)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1或2
C．1 D．0或1
答案　A
解析　∵(m2－m)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，∴解得m＝0.故选A.
3．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.
答案　
解析　|z|＝＝＝＝.
　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
考点　　复数的运算
例4　若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案　D
解析　由题意得z＝＝＝1＋i.故选D.
例5　已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．i B．i－1
C．－i－1 D．－i
答案　C
解析　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i.故选C.
例6　已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)
A．－i B．i
C．1－i D．1＋i
答案　B
解析　解法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝a＋＋bi＝1＋i，所以
解得所以z＝i.故选B.
解法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．
　4.若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，
整理得3a＋bi＝3－2i，
∴解得
∴z＝1－2i.故选B.
5．若z＝4＋3i，则等于(　　)
A．1 B．－1
C.＋i D．－i
答案　D
解析　z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.故选D.
6．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．
答案　D
解析　设z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，所以解得b＝.故选D.
　
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，解题时要注意把i的幂写成最简形式．
考点　　复数的几何意义
例7　设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
例8　(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案　C
解析　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
例9　(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
答案　2
解析　解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，
∵|z1|＝|z2|＝2，
∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，
∵z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝＋i，
∴a＋c＝，b＋d＝1，
∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，
∴2ac＋2bd＝－4，
∵z1－z2＝a＋bi－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i，
∴|z1－z2|＝
＝
＝
＝
＝2.
解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，
∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝＋i，
∴两式平方作和，得
4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，
化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－.
∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i|
＝
＝
＝
＝2.
　7.(2021·武汉模拟)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案　A
解析　因为复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，所以解得m<－1.所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．故选A.
8．(2021·福州质检)设复数z满足|z＋1|＝|z－i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．x＝0 B．y＝0
C．x－y＝0 D．x＋y＝0
答案　D
解析　复数z满足|z＋1|＝|z－i|，
∴＝，化简，得x＋y＝0.故选D.
9．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　因为(x－2)＋yi是虚数，所以y≠0.又因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3(y≠0)．因为是复数x＋yi对应的点与原点连线的斜率，如图所示，所以max＝tan∠AOB＝，所以的最大值为.故选D.
　准确理解复数的几何意义
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段所表示的向量即复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
二、核心素养提升
例1　(多选)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面内对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cosθ
D.的实部为
答案　BCD
解析　因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1＝＝2cosθ，故C正确；
＝
＝
＝，的实部是＝，故D正确．故选BCD.
例2　在复平面内，满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应的点的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　B
解析　设复数z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝，结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.故选B.
准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应Z(a，b)一一对应.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式．
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点(a，b)一一对应．
课时作业
一、单项选择题
1．复数的共轭复数是(　　)
A．2＋i B．－2＋i
C．－2－i D．2－i
答案　B
解析　因为＝＝－2－i，所以复数的共轭复数是－2＋i.故选B.
2．(2021·广东珠海高三模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝＋ai(a∈R)为实数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　D
解析　因为z＝＋ai＝－1－2i＋ai＝－1＋(a－2)i为实数，所以a＝2.故选D.
3．(2021·福建泉州高三模拟)法国数学家棣莫弗(1667～1754)发现的公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4＝(　　)
A．1 B．i
C．－1 D．－i
答案　B
解析　根据公式得4＝cos＋isin＝i.故选B.
4．(2021·江苏常州高三一模)已知z1＝2－i，z2＝1＋3i，则复数＋的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　A
解析　由题意，复数z1＝2－i，z2＝1＋3i，可得＋＝＋＝＋＝i，可得复数＋的虚部为1.故选A.
5．已知复数z＝，则下列说法正确的是(　　)
A．z的模为
B．z的虚部为－i
C．z的共轭复数为－－i
D．z的共轭复数表示的点在第四象限
答案　A
解析　z＝＝＝＝－i.z的模为 ＝，故A正确；z的虚部为－，故B错误；z的共轭复数为＋i，故C错误；z的共轭复数表示的点为，在第一象限，故D错误．故选A.
6．(2021·江门市培英高级中学高三模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足＝2i，则|z|＝(　　)
A. B．2
C．2 D．4
答案　C
解析　由＝2i，得z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，则|z|＝＝2.故选C.
7．复数z满足等式(2－i)·z＝i，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因为(2－i)·z＝i，所以z＝＝＝＝－＋i，故复数z在复平面内对应的点为，在第二象限．故选B.
8．(2021·重庆高三三模)若复数z满足|z－1＋i|＝|1－2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点(x，y)满足方程(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
答案　B
解析　由题意得z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1＋i|＝|1－2i|，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故选B.
二、多项选择题
9．设z为复数，在复平面内z，对应的点分别为P，Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有(　　)
A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线
B．当z＝1＋i时，△POQ为等腰直角三角形
C．对任意复数z，≠
D．当z为实数时，＝
答案　ABD
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.对于A，当z为纯虚数时，z＝bi(b≠0)，＝－bi对应的点分别为P(0，b)，Q(0，－b)，O，P，Q均在y轴上，所以P，O，Q三点共线，故A正确；对于B，当z＝1＋i时，＝1－i，所以P(1,1)，Q(1，－1)，所以|OP|＝|OQ|＝，而|PQ|＝2，所以|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，所以△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，＝(a，b)，＝(a，－b)，当b＝0时，＝＝(a,0)，故C错误，D正确．故选ABD.
10．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A．若z·＝0，则z＝0
B．若z－∈R，则z∈R
C．若z＝cos＋isin，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
答案　ABD
解析　若z·＝0，即|z|2＝0，|z|＝0，则z＝0，A正确；若z－∈R，即z的虚部为0，则z∈R，B正确；若z＝cos＋isin，则|z|＝
≠1，C错误；若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，即x2＋(y－1)2＝1，则|z|表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．故选ABD.
三、填空题
11．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．
答案　3
解析　∵m－3＋(m2－9)i≥0，∴解得m＝3.
12．(2021·安徽师范大学附属中学高三模拟)若复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则z2021－＝________.
答案　0
解析　由已知可得z＝－＋i，则z2＝2＝－i－＝－－i，所以z3＝＝1，所以z2021－＝z3×673＋2－＝z2－＝－＝0.
13．在复平面内，设点A，P所对应的复数分别为πi，cos＋isin(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是________．
答案　
解析　由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图．当t＝时，点P的坐标为P1，当t＝时，点P的坐标为P2，
向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和．由于P1，P2关于实轴对称，所以△AP1P2的面积等于△OP1P2的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积．因为∠P1OP2＝2×＝，所以扇形P1OP2的面积为××12＝.
14．已知实数x和复数m满足(4＋3i)x2＋mx＋4－3i＝0，则|m|的最小值是________．
答案　8
解析　设m＝a＋bi，∵(4＋3i)x2＋(a＋bi)x＋4－3i＝0，∴(4x2＋ax＋4)＋(3x2＋bx－3)i＝0，∴∴a＝－，b＝－，
∴|m|＝＝≥＝＝8，当且仅当x2＝1时“＝”成立．
四、解答题
15．已知复数z是虚数，ω＝z＋.
(1)当z＝1＋2i时，求ω的虚部；
(2)当ω∈R时，求|z|.
解　(1)当z＝1＋2i时，ω＝z＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋2－4i＝3－2i，因此ω的虚部为－2.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则ω＝z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋－i＝＋i，
因为ω∈R，则b－＝＝0，所以b＝0或a2＋b2＝10.
因为z为虚数，所以b≠0，故a2＋b2＝10，因此|z|＝＝.
16．已知复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R.
(1)当m为何值时，z为纯虚数？
(2)当m为何值时，z在复平面内对应的点在第三象限？
解　复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，
(1)由题意，得解得m＝0，所以当m＝0时，z为纯虚数．
(2)若z在复平面内对应的点在第三象限，则解得0所以当017．若z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，在复平面内z所对应的点为Z，且|z＋2－2i|＝1.
(1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并且求该图形的方程；
(2)求|z－2－2i|的最小值．
解　(1)由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，
因此复数z在复平面内对应的点Z在以z0＝－2＋2i对应的点Z0(－2,2)为圆心，1为半径的圆上，
方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
如图所示．
(2)设t＝|z－2－2i|，则t是点Z到2＋2i对应的点A(2,2)的距离．又|AZ0|＝4，
∴由图知tmin＝|AZ0|－1＝3.

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