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10．1.2　两角和与差的正弦
学习指导 核心素养
1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程．2.能够运用两角和与差的正弦公式解决求值、化简等问题． 数学运算、逻辑推理：两角和与差的正弦公式及其应用．
两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正弦 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S(α＋β) α，β为任意角
两角差的正弦 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β S(α－β)
公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立．(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．sin 115°cos 55°－cos 115°sin 55°＝(　　)
A． B．　　　
C． D．－
解析：选A．sin 115°cos 55°－cos 115°sin 55°＝sin 60°＝.
3．设α∈，若sin α＝，则2sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
4．已知α∈，且sin ＝，则sin α＝______，cos ＝______．
解析：根据α∈，可以求得cos ＝＝，
所以sin α＝sin ＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝；
cos ＝cos ＝－sin ＝－.
答案：　－
探究点1　给角求值
求下列各式的值．
(1)sin 105°；
(2)sin 165°；
(3).
【解】　(1)sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝×＋×＝.
(2)sin 165°＝sin (180°－15°)＝sin 15°＝sin (45°－30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.
(3)
＝
＝
＝
＝sin 30°＝.
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．　
1．求值：sin 15°＋sin 75°＝________．
解析：原式＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝2sin 45°cos 30°＝.
答案：
2.＝________．
解析：由题意可得，
＝
＝
＝＝sin 60°＝.
答案：
探究点2　给值求值
已知α∈.
(1)若sin α＝，求sin 的值；
(2)若cos ＝，求sin α的值．
【解】　(1)因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，
所以sin ＝sin α＋cos α＝＋＝.
(2)因为α∈，所以α＋∈，
又因为cos ＝，所以sin ＝，
所以sin α＝sin ＝sin －cos
＝－＝.
给值(式)求值的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　
已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝.
(1)求tan α的值；
(2)求sin β的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝.
(2)因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，因为cos (α＋β)＝，
所以sin (α＋β)＝，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)·sin α＝×－×＝.
探究点3　辅助角公式
(1)sin －cos 的值为(　　)
A．0　 B．－　　　
C．2 D．
(2)在△ABC中，A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为________．
【解析】　(1)sin －cos ＝2(sin －
cos )＝2sin ＝2sin ＝－.
(2)由A＝120°，A＋B＋C＝180°，得sin B＋sin C＝sin B＋sin (60°－B)＝cos B＋sin B＝sin (60°＋B).显然当B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.
【答案】　(1)B　(2)1
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．　
1．化简3sin x－3cos x＝________．
解析：3sin x－3cos x＝
6＝6sin .
答案：6sin
2．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a，b，c的大小关系是________．(用“＜”连接)
解析：a＝sin (14°＋45°)＝sin 59°，
b＝sin (16°＋45°)＝sin 61°，c＝·＝sin 60°，由y＝sin x在(0°，90°)上单调递增可知a答案：a1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)
A． B．－　　　
C． D．－
解析：选D．原式＝sin (21°－81°)＝－sin 60°＝－.
2．函数y＝sin ＋sin 的最小值为(　　)
A．　 B．－2　　　　
C．－　 D．
解析：选C．因为y＝sin ＋
sin ＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋
sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x，所以所求函数的最小值为－.
3．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈.
(1)求sin (α＋β)的值；
(2)求出α＋β的值．
解：(1)由tan α＝－，α∈，可得sin α＝，cos α＝－，
由cos β＝，β∈，可得sin β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－.
(2)因为α∈，β∈，所以＜α＋β＜，
又由sin (α＋β)＝－，所以α＋β＝.
[A　基础达标]
1．sin 135°cos (－15°)＋cos 225°sin 15°＝(　　)
A．－　　 B．－
C． D．
解析：选C．sin 135°cos (－15)°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝，故选C．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin 的值为(　　)
A．　　　 B．－
C． D．－
解析：选C．因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，
所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×－×＝.
3．在△ABC中，若sin A cos C＝sin B，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法判断
解析：选C．因为sin A cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以cos A sin C＝0，又0＜C＜π，所以sin C≠0，故cos A＝0，
因为0＜A＜π，所以A＝，即△ABC的形状为直角三角形．故选C．
4．已知tan α＝－，且α∈(0，π)，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为tan α＝－，且α∈(0，π)，所以θ＝，
则sin θ＝，cos θ＝－，
故sin ＝＝sin α＋cos α＝，故选B．
5．已知α∈，β∈，sin β＝－，且cos (α－β)＝，则α的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝，
因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)，
因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝，
因为sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)·sin β
＝×＋×＝，又α∈，所以α＝，故选B．
6．cos 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin (90°＋105°)　
＝2cos 105°＝2cos (90°＋15°)
＝2sin (－15°)＝2sin (30°－45°)
＝2(sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°)
＝2
＝.
答案：
7．已知cos (α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝________．
解析：由α∈，β∈得0＜α－β＜π，所以sin (α－β)＝，cos β＝，
从而sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)·sin β
＝×＋×＝.
答案：
8．《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_____________.
解析：令AC＝1，∠ACB＝α，∠BCE＝β，则BC＝cos α，AB＝sin α，
所以CE＝cos αcos β，
BE＝cos αsin β，
BF＝sin αcos β，
AF＝sin αsin β，
所以CD＝CE－DE＝CE－AF＝cos αcos β－sin αsin β，
AD＝EF＝BF＋BE＝sin αcos β＋cos αsin β，
在直角三角形ADC中，
CD＝cos (α＋β)·AC＝cos (α＋β)，
AD＝sin (α＋β)·AC＝sin (α＋β)，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
答案：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(或sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，答案不唯一，写出一个即可)
9．化简下列各式：
(1)sin ＋2sin －cos ；
(2)－2cos (α＋β).
解：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10．已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－.
(1)求sin (α－β)和cos (α＋β)；
(2)求角α.
解：(1)由＜β＜α＜，得0＜α－β＜，sin (α－β)＞0，
所以sin (α－β)＝＝，
又因为π＜α＋β＜，则cos(α＋β)＜0，
所以cos (α＋β)＝－＝－.
(2)sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)·cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)
＝－×＋×＝
－，因为π＜2α＜，所以2α＝，得α＝.
[B　能力提升]
11．(多选)下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
解析：选BD．因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos α·sin β＝sin α＋sin β，
所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，
因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
故选BD．
12．对任意锐角α，β，下列不等关系中正确的是(　　)
A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos (α＋β)＜sin α＋sin β
D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D．sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin α，sin β，cos α，cos β∈(0，1)，可知A，B不正确；当α＝β＝15°时，cos (α＋β)＞sin α＋sin β可知C不正确，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，所以D正确，故选D．
13．设a＝(sin 56°－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，c＝cos 80°，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选B．a＝(sin 56°－cos 56°)＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
b＝cos (90°－40°)cos (90°＋38°)＋cos 40°·cos 38°＝－sin 40°sin 38°＋cos 40°cos 38°＝cos 78°＝sin 12°，c＝cos 80°＝sin 10°，因为sin 12°＞sin 11°＞sin 10°，所以b＞a＞c，故选B．
14．已知α∈，β∈，cos α＝，且cos (α－β)＝，则sin ＝________，cos β＝________．
解析：因为α为第四象限角，cos α＝，
所以sin α＝－＝－.
所以sin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈(－π，0).
又因为cos (α－β)＝，
所以sin (α－β)＝－＝－.
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝.
答案：　
[C　拓展探究]
15．已知关于x的方程x2＋(sin α＋cos β)x－(cos α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根．
(1)求sin (α＋β)的值；
(2)若0＜α＜，π＜β＜，sin α＝，求sin β的值．
解：(1)因为方程x2＋(sin α＋cos β)x－(cos α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根，
所以判别式Δ＝(sin α＋cos β)2＋4×(cos α＋sin β)2＝0，
所以sin2α＋2sinαcos β＋cos2β＋cos2α＋2cosα·sin β＋sin2β＝0，
即2＋2(sinαcos β＋cos αsin β)＝0，
所以sin (α＋β)＝－1.
(2)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝，
因为sin(α＋β)＝－1，所以cos (α＋β)＝0，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝－.

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