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10．1.3　两角和与差的正切
学习指导 核心素养
1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 数学运算、逻辑推理：两角和与差的正切公式及其应用．
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan (α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan (α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan (α＋β)与tan (α－β)吗？
提示：tan (α＋β)＝＝
＝＝.
tan (α－β)＝＝
＝＝.
运用两角和与差的正切公式应注意的问题
(1)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
(2)当tan α，tan β，tan (α＋β)或tan (α－β)中任意一个的值不存在时，则不能使用两角和或差的正切公式解决问题，但可改用诱导公式或其他方法解题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan 能用公式tan (α＋β)展开．(　　)
(2)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(3)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．已知tan α＝2，则tan ＝(　　)
A．－3 B．3
C．－4 D．4
答案：A
3．tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
答案：D
4.＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：A
探究点1　正切公式的活用
求值：(1)tan 105°；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
【解】　(1)tan 105°＝tan (45°＋60°)＝＝＝－2－.
(2)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1.
(3)因为tan 60°＝＝，
所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
所以tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan ；＝tan ．
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．　
＝________．
解析：原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.
答案：
探究点2　给值求角(值)
已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π.
(1)求tan (α－β)；
(2)求α＋β的值．
【解】　(1)因为tan α＝2，tan β＝－，
所以tan (α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan (α＋β)＝＝＝1，
又因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，在与之间，
只有的正切值为1.所以α＋β＝.
解决给值求角(值)问题的常用策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan .
解：tan ＝tan
＝＝＝.
探究点3　三角恒等式的证明
证明下列恒等式．
(1)tan (45°＋θ)＝；
(2)tan (x＋y)tan (x－y)＝.
【证明】　(1)左边＝＝＝＝右边．
(2)左边＝·＝＝右边．
对于三角恒等式的证明主要是观察等式的特点，可以由等式的一边证到另一边，也可以由两边证明得到同一结果．　
已知sin β＝m sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝tan α.
证明：由sin β＝m sin (2α＋β) sin (α＋β－α)＝m sin (α＋β＋α)，
故sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝m[sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α]，
合并同类项有(1－m)sin (α＋β)cos α＝(1＋m)cos (α＋β)sin α，
所以＝，
左边上下同除以cos (α＋β)cos α有＝，
即tan (α＋β)＝tan α.
1．若tan α＝，tan β＝－，则tan (α＋β)＝(　　)
A．－　 B．
C． D．－
解析：选C．因为tan α＝，tan β＝－，
则tan (α＋β)＝＝＝，故选C．
2．tan 15°＋tan 105°－tan 15°tan 105°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选D．因为tan 15°＋tan 105°＝tan (15°＋105°)(1－tan 15°tan 105°)
＝－(1－tan 15°tan 105°)＝－＋tan 15°tan 105°，
所以tan 15°＋tan 105°－tan 15°tan 105°＝－，故选D．
3．tan ＋tan ＋tan tan 的值为________．
解析：tan ＋tan ＋tan tan
＝tan ·＋tan tan
＝＋tan tan ＝.
答案：
4．在斜三角形ABC中，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B tan C．
证明：因为tan (A＋B)＝，
所以tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)，
又tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＋tan C
＝－tan C(1－tan A tan B)＋tan C＝－tan C＋tan A tan B tan C＋tan C
＝tan A tan B tan C．
[A　基础达标]
1．已知cos ＝2cos (π－α)，则tan ＝(　　)
A．－4　　 B．4
C．－ D．
解析：选C．因为cos ＝2cos (π－α)，
所以－sin α＝－2cos α tan α＝2.
所以tan ＝＝－.
2.＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A．原式＝＝＝＝－＝－＝－.故选A．
3．若tan (α－β)＝，tan (α＋β)＝，则tan 2β＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C．tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，故选C．
4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题可知∠DEA＝，tan ∠CEB＝，所以有tan ∠CED＝tan (∠DEA－∠CEB)＝tan ＝＝，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED＝，选B．
5．(多选)下列式子结果为的是(　　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
解析：选ABC．对于选项A，利用正切的变形公式可得原式＝；
对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝.
对于选项C，原式＝＝tan 60°＝.
对于选项D，原式＝＝，故选ABC．
6．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________．
解析：因为B为锐角，sin B＝，
所以cos B＝，
所以tan B＝，
所以tan (A＋B)＝＝＝1.
因为0答案：
7．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是________．
解析：因为α＋β＝，可得tan (α＋β)＝tan ＝1，
又由tan (α＋β)＝＝1，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
答案：2
8.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ，则tan ＝________．
解析：由题意，设折断处离地面的高为x尺，
则由勾股定理得x2＋32＝(10－x)2，化简得20x＝91，解得x＝4.55.
所以tan θ＝＝，所以tan ＝＝－.
答案：－
9．已知tan α＝，tan (β－α)＝－2，且<β<π，求β.
解：tan β＝tan [α＋(β－α)]＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
10．已知α，β∈，且sin (α＋2β)＝sin α.
(1)求证：tan (α＋β)＝6tan β；
(2)若tan α＝3tan β，求α的值．
解：(1)证明：由sin (α＋2β)＝sin α，得sin [(α＋β)＋β]＝sin [(α＋β)－β]，
整理得6cos (α＋β)sin β＝sin (α＋β)cos β.
又α，β∈，所以tan (α＋β)＝6tan β.
(2)由(1)知＝6tan β，又tan α＝3tan β，
所以＝2tanα.
又α∈，所以tan α＝1，所以α＝.
[B　能力提升]
11．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．tan (A＋B)＝－ B．tan A＝tan B
C．cos B＝sin A D．tan A tan B＝
解析：选BCD．因为∠C＝120°，所以A＋B＝60°.
所以2(A＋B)＝C，所以tan (A＋B)＝＝.
所以A错．
因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，
所以tan A tan B＝①，所以D正确．
又因为tan A＋tan B＝②，由①②联立解得
tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A．故B，C正确．综上，B，C，D正确．故选BCD．
12．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选D．如图，
设BC＝x，AC＝y(y＞x)，则，解得.所以tan θ＝.
所以tan ＝＝＝.故选D．
13．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．tan ＝tan
＝＝＝＝，故选B．
14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，试判断△ABC的形状．
解：tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝－，而0°tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
[C　拓展探究]
15．已知tan α，tan β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个根，α＋β∈(0，π).
(1)求α＋β；
(2)若cos (θ－α－β)＝，θ∈，求sin θ.
解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p，tan α·tan β＝p＋1，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)cos (θ－α－β)＝cos ＝，由θ∈，得θ－∈，
所以sin ＝.
sin θ＝sin ＝sin cos ＋
cos sin ＝×＝.

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